Элективный курс ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Учебно-методическая разработка
Элективный курс
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Составители:
Астахова Татьяна Анатольевна,
учитель математики МОУ СОШ № 13
Беляева Ольга Петровна,
учитель математики МОУ лицея № 28 имени Н.А.Рябова
Дунюшина Дарья Анатоьевна,
учитель математики МОУ СОШ № 22
Кирина Елена Викторовна,
учитель математики МОУ СОШ № 13
Склярова Светлана Александровна,
учитель математики МОУ СОШ № 22
Юминова Зинаида Александровна,
учитель математики МОУ Тулиновская СОШ
Пояснительная записка.
В системе основного общего образования математическое образование занимает одно из ведущих мест, что определяется практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, представления о научных методах познания действительности. Данный элективный курс является естественным дополнением основного курса математики: развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы.
Элективный курс посвящен одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – функциональному методу. Под функциональным методом решения понимают метод, опирающийся на использование свойств функций, входящих в уравнение или неравенство.
Функциональный метод используется:
в обосновании классических методов решения уравнений и неравенств (теорем равносильности, метода интервалов и др.);
как единственный способ решения задачи;
как наиболее рациональный способ решения задачи;
при решении уравнений и неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений, нахождение интервалов монотонности функций.
Для использования функционального метода необходимо знание свойств элементарных функций. На начальных этапах изучения курса алгебры эти обоснования имеют эмпирический характер. Затем, по мере накопления опыта решения уравнений и неравенств, все большую роль приобретает дедуктивное пояснение процесса решения.
Целесообразность этого метода состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений или неравенств. Учебный материал, касающийся нестандартных методов решения уравнений и неравенств, содержится в учебных пособиях для подготовки к ЕГЭ по математике, к конкурсным экзаменам в вузы. Во временных рамках уроков полностью этот материал рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести его на курсы по выбору.
Цели курса:
углубление и расширение знаний учащихся;
привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач;
познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций;
формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанных с математикой;
подготовка учащихся к итоговой аттестации и к обучению в вузе.
Требования к подготовке учащихся.
В результате изучения данного элективного курса ученик должен
знать:
элементарные функции
(определение, графические интерпретации)
основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;
уметь:
определять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство;
решать уравнения и неравенства с использованием свойств входящих в них функций;
использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.
Тематика и содержание данного элективного курса отвечает следующим требованиям:
поддержание изучения базового курса алгебры;
социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности учащихся, расширяется их кругозор, удовлетворяются познавательные интересы в области математики;
обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).
Основная форма изложения теоретического материала – лекция. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: как индивидуально, так и в группах. Такая организация учебной деятельности способствует реализации поставленных целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих школьников.
Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. Численность учебной группы может быть любой.
Ожидаемый результат изучения курса:
знание учащимися методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций;
умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;
приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения уравнений и неравенств;
практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).
успешно решать задачи этой тематики, предлагаемые в тестах Единого государственного экзамена, вступительных экзаменах в ВУЗы, олимпиадных заданиях.
Контроль уровня достижений учащихся и критерии оценки. Уровень достижений учащихся определяется в результате:
наблюдения активности на практикумах;
беседы с учащимися;
анализа творческих, исследовательских работ;
проверки домашнего задания;
выполнения письменных работ;
Итоговая аттестация проводится по каждой теме в виде зачетной работы в форме теста, состоящего из трех блоков: А - задания с выбором вариантов ответа; В - задания с краткой записью ответа; С - задания, предполагающие развернутый ответ.
Итоговая оценка является накопительной, т.е. результаты выполнения предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса.
Содержание программы.
Программа рассчитана на второе полугодие 11 класса (1 час в неделю, всего 17 часов).
Функции и их основные свойства.(1час)
Понятие функции. Область определения и область значения функции. Монотонность функции. Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций. Элементарные функции. Свойства и графики элементарных функций.
Использование области определения функций.(2часа)
Решение уравнений и неравенств с использованием области определения входящих в них функций
Использование монотонности функций.(3 часа)
Теоремы о корне. Нахождение промежутков монотонности с помощью производной. Решение уравнений и неравенств. Уравнения вида .
Использование ограниченности (области значения) функции при решении уравнений.(4 часа)
Способы определения области изменения функции: с помощью построения схемы графика, введение нового неизвестного, сведение к простой функции с помощью преобразований. Решение уравнений и
неравенств. Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство.
Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.(2 часа).
Определение четности функций, входящих в уравнение и неравенство. Теоремы о симметричности корня. Алгоритмы определения множества решений для уравнений с четными функциями.
Решение комбинированных уравнений и неравенств Единого государственного экзамена (3 часа)
Систематизация задач, предлагаемых на итоговой аттестации. Способы решения задач комбинированного характера.
Итоговое повторение (2 часа)
Решение итоговых обобщающих тестов.
Учебно-тематическое планирование элективного курса
№ п/п Содержание учебного материала Всего часов В том числе
Лекц. Практ. Семин.
1 Функции и их свойства 1 1 2 Использование области определения для решения уравнений и неравенств 2 1 1
3 Использование монотонности функций для решения уравнений и неравенств 3 1 2 4 Использование ограниченности функций для решения уравнений и неравенств 4 1 2 1
5 Использование четности и нечетности функций для решения уравнений и неравенств 2 1 1 6 Решение заданий ЕГЭ 3 3 7 Итоговое повторение 2 2 Литература:
Алгебра и начала анализа 10-11класс : учебник для общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов [и др.]. М.: Просвещение.-2010.
Алгебра и начала анализа 11 класс. В 2 частях. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П.В.Семенов. – М.: Мнемозина, 2007.
Алгебра и начала анализа. 10-11 классы : учебник / Под ред. А.. Н.  Колмогорова. – М.: Просвещение, 1991.
Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.
Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений.: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.
Денищева, Л. О.,Глазков, Ю. О. Единый государственный экзамен 2007. математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / Л. О. Денищева, Ю. О. Глазков [и др.]. – М.: Интеллект-Центр, 2007.
Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / Г. И. Ковалева [и др.]. – Волгоград: Учитель, 2008.
Олехник, С. Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы [Текст]: учебно-методическое пособие / С. Н. Олехник [и др.]. – М.: Дрофа, 2004.
Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому экзамену. ЕГЭ-2006. Математика/ А.Г. Клово. – М.: Федеральный центр тестирования, 2006.
В.Л. Шагин. 30 задач за 90 минут. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2004.
В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2006.
М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. Алгебра и анализ элементарных функций. – М.: АО СТОЛЕТИЕ, 1996.
Функциональный метод решения уравнений и неравенств/О.П.Беляева, Е.В.Бучнева – Тамбов: ТГУ, 2011.
3000 конкурсных задач по математике/ Е.Д. Куланин и др. – М.: АЙРИС РОЛЬФ, 1997.
Содержание занятий
Занятие №1
Тема: «Функции и их основные свойства».
Цель : повторить и систематизировать знания по теме «Элементарные функции и их свойства»
Лекция по теме «Функции и их основные свойства».
Функции С (постоянная), xⁿ, ах, 1оgа х, sin х, соs х, tg х, ctg x, аrcsin х, аrccos х, аrctg х называются простейшими элементарными функциями.
Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями. Например, у = sin (xⁿ) — элементарная функция.
Элементарные функции нам известны из школьной математики.Способы задания функции:
●Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
●На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.
Определение функции.
Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.
Независимая переменная x называется также аргументом функции.
В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента x (её называют также областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями x и y (Область Y изменения функции обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений).
Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x из X отвечало не одно, а несколько значений y (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше.
Для указания того факта, что y есть функция от x, пишут:
y=f (x), y=g (x), y=F (x) и т.п.
Буквы f, g, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение x, отвечающее заданному y. Поэтому, если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента x, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой.
Хотя именно буква f связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же букву y: y=y(x). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, .
Теперь обратимся к самому правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости.
Наиболее просто осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия над постоянными числами и над значением x, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение y. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа.
Однако будет ошибочным думать, что это – единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция E(x) – “целая часть числа x”. Например,
E (1)=1, E (2,5)=2, E ()=3, E (-)=-4 и. т.,
хотя никакой формулы, выражающей E(x), у нас нет.
Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию обозначают C (f (x) = C).
Функция f(x) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство f(-x)=f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Oy.
Функция f(x) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.
Функция f (x) называется периодической, если существует число Т 0 такое, что для любого значения x из области определения функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T). Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то её периодом является также число – T, так как f (x-T) = f [(x - T) +T] = f (x).
Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT, где k – любое целое число (k=1, 2, 3; …). Действительно, f (x 2T) = f [(xT)T] = f (xT) = f (x), f (x 3T) = f [(x 2T) T] = f (x 2T) = f (x 2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.
Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).
Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).
Исследование элементарных функций .
Линейная функция. y = kx + b
1.Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x
2. Множеством значений линейной функции при k0 является множество R всех действительных чисел
3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .
4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.
5. Асимптоты графика функции не существуют.
6. Функция возрастает при k0, функция убывает при k0.
7. Функция не является ограниченной.
8. График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.
9. Точек перегиба не существует.
10. Не существует экстремальных точек.
148209023495) y=kx+b (k>0)
y=kx+b (k<0)
Степенная функция.
Степенная функция с натуральным показателем y=xn,
где n-натуральное число.
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений: E(f)= (0+∞);
3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);
4. Нули функции: y=0 при x=0;
5. Функция убывает при x(-∞;0];
6. Функция возрастает при x[0;+ ∞);
a) нет вертикальных асимптот
b) нет наклонных асимптот
8. Если n-четное, то экстремум функции x=0
Если n-нечетное, то экстремумов функции нет
9. Если n-четное, то точек перегиба нет
Если n-нечетное, то точка перегиба x=0
10. График функции:
a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;
b)Если п = 3, то функция задана формулой у = х3. Ее графиком является кубическая   парабола;
c)Если п — нечетное натуральное число, причем п 1, то функция обладает    свойствами теми же, что и у = х3.
n - нечетное
n – четное
44386552070 [1][2]
Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п1):
1.  Область определения функции: D(f)= R;
2.  Область значений [0,+∞];
3.  Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);
4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;
5.  Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).
6.  График функции: [1]
Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :
1.  Область определения функции: D(f)= R;
2.  Область значений: E(f)= R;
3.  Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);
4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;
5.  Функция возрастает на всей области определения.
6.  График функции: [2]
Показательная функция. Y = ax
Область определения функции: -∞ < х < +∞
Множество значений функции: 0 < y < +∞
Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x
Функция не является периодической.
Асимптоты графика функции:
Вертикальных асимптот не существует,
Горизонтальная асимптота у = 0
Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.2);
если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 1);
Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.
9. Не существует точек перегиба.
10. Не существует экстремальных точек.
[1] 232410027482800[2]
Логарифмическая функция.
Y = logax
Область определения функции: 0 < x < ∞
Множество значений функции: -∞ < y < +∞
Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)
Функция не периодическая
Асимптоты графика функции:
Вертикальные асимптоты х = 0
Горизонтальных асимптот не существует
Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);
если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);
Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями координат.
8. Не существует точек перегиба.
9. Не существует экстремальных точек.

262890016510-38101270

Тригонометрические функции.
Функция y=sin x
Свойства функции y=sin x:
Область определения функции: D(f)=R;
Область значений: E(f)=[-1;1];
Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;
Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;
Нули функции: sin x = 0 при x = πk, kZ;
Функция принимает положительные значения: sin x>0 при x( 2πk π+2πk), kZ;
Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при x( π+2πk 2π+2πk), kZ;
Функция возрастает на [-1;1] при x[ -+2πk +2πk], kZ;
Функция убывает на [1;-1] при x[+2πk +2πk], kZ;
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=+2πk, kZ;
Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=+2πk, kZ;
a) нет вертикальных асимптот
b) нет горизонтальных асимптот
13. Графиком функции является синусоида.
y=sinx

Функция y=cos x
Свойства функции y=cos x:
Область определения функции: D(f)=R;
Область значений: E(f)=[-1;1];
Функция является четной, т.е. cos (-x) = cos x;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π;
Нули функции: cos x = 0 при x = +πk, kZ;
Функция принимает положительные значения: cos x>0 при x( -+2πk; +2πk), kZ;
Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при x( +2πk +2πk), kZ;
Функция возрастает на [-1;1] при x[ -π+2πk 2πk], kZ;
Функция убывает на [1;-1] при x[2πk π+2πk], kZ;
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=2πk, kZ;
Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=π+2πk, kZ;
a) нет вертикальных асимптот
b) нет горизонтальных асимптот
Графиком функции является косинусоида:
y=cosx

Функция y=tg x
Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =+πk, kZ;
Область значений: E(f)=R;
Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
Нули функции: tg x = 0 при x = πk, kZ;
Функция принимает положительные значения: tg x>0 при x( πk; +πk), kZ;
Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при x( -+πk πk), kZ;
Функция возрастает на (-;+∞) при x(-+πk  +πk ), kZ;
a) вертикальные асимптоты x= + πn
b) наклонных асимптот нет
Графиком функции является тангенсоида: y=tgx


Функция y=ctg x
Свойства функции y=ctg x:
Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn , где n Z;
Область значений: E(f)=R;
Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
Нули функции: ctg x = 0 при x = +πn, nZ;
Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при x( πn; +πn), nZ;
Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при x( +πn π +πn), nZ;
Функция убывает в каждом из промежутков (πn  π +πn), nZ;
a) вертикальные асимптоты x= πn и x=0
b) наклонных асимптот нет
Графиком функции является котангенсоида: y= ctgx

Занятия №2,3
Тема: «Использование области определения для решения уравнений и неравенств».
Цель: изучение метода решения уравнений и неравенств, основанном на применении области определения, входящих в них функций.
Лекция по теме «Использование области определения для решения уравнений и неравенств».
Областью определения функции y=f(x) называется множество значений переменной x, при которых функция имеет смысл.
Рассмотрим уравнение fx=gx, где f(x) и gx- элементарные функции. Обозначим области определения функций D(f) и D(g) соответственно.
Если Df∩Dg=∅, то уравнение корней не имеет.
Если множество Df∩Dg состоит из конечного числа точек, то корни уравнения содержатся среди этих точек, и, следовательно, решить уравнение можно перебором элементов этого множества .
Пример 1. Решите уравнение 4cosx=8-cos12x-ctgx.Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:
-cos12x≥0, x≠πn, n∈Z; ⇔ cosx=0, x≠πn, n∈Z;⇔ x=π2+πk, k∈Z.
Подставляя найденные значения х в данное уравнение, получаем, что его левая и правая части равны 0, следовательно, все x=π2+πk, k∈Z - решения уравнения.
Ответ: π2+πk, k∈Z.
Пример 2. Решите уравнение 9-x-22-x=5x-5+1-10.
Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:
9-x-22≥0,x-5≥0; ⇔ -1≤x≤5,x≥5; ⇔ x=5.Подставляя значение x=5 в уравнение, получим, что его левая и правая части равны, следовательно, это и есть корень уравнения.
Ответ: 5.
Пример 3. Решите неравенство
4-4x2+4x6-1<4x-log32+x4.
Решение. Найдем ОДЗ данного неравенства:
4-4x2≥0, x6-1≥0;⇔-1≤x≤1,x≤-1,x≥1;⇔x=-1,x=1.Проверкой убеждаемся, что x=1 – единственное решение неравенства.
Ответ: 1.
Пример 4. Решите неравенствоlnx+3-x-2>2sinπx224+3x.
Решение. ОДЗ данного неравенства:
lnx+3-x-2≥0,x+3>0; ⇔lnx+3≥x+2,x>-3. Для решения первого неравенства системы рассмотрим функции fx=lnx+3 и gx=x+2. Df∩Dg=(-3;+∞). Обе функции на указанном промежутке являются возрастающими. Решив это неравенство (см. пример 10 стр. 17), находим, что x=-2 единственное его решение. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки x=-2.При x=-2 данное неравенство не выполняется, следовательно, оно не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Упражнения:
;
;
;
;
;
;
;
.
Занятия №4,5,6
Тема: «Использование монотонности функций для решения уравнений и неравенств».
Цели:
а) изучение метода решения уравнений и неравенств, основанном на применении монотонности функций;
б) обобщение и систематизация знаний учащихся о монотонности функций, способах исследования функции на монотонность.
Лекция по теме: «Использование монотонности функций для решения уравнений и неравенств».
Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. для любых x1,x2 из промежутка X, таких, что x2>x1, выполняется неравенство fx2>fx1 f(x2)<f(x1).
Функцию, возрастающую или убывающую на промежутке X, называют монотонной функцией на промежутке X.
Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций, которые лежат в основе функционального метода решения уравнений и неравенств:
ТЕОРЕМА 1. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.
ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X и функция g(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция
hx=fx+gx+c также возрастает (убывает) на промежутке X (c-произвольная постоянная).
ТЕОРЕМА 3. Если обе функции fx и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция hx=fg(x) – возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то hx=fg(x) - убывающая функция.
0
c
y=cy=fxx
yТЕОРЕМА 4. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение fx=c имеет на промежутке X не более одного корня (рис 2).
0cx0y=cy=fxxy
Рис. 2
0x0yy=gxy=fxxy=gxy=fxxyТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, а g(x) убывает на промежутке X, то уравнение fx=g(x) имеет на промежутке X не более одного корня (рис 3)
Рис 3
ТЕОРЕМА 6. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, то уравнение ffx=x равносильно на промежутке X уравнению fx=x.
Пример 1. Решите уравнение x∙2x=8.
Решение. Разделив обе части на x (x≠0), получим уравнение 2x=8x , левая часть которого возрастающая показательная функция, а правая часть – убывающая дробно-рациональная функция. Следовательно, по теореме 5 уравнение имеет не более одного решения. Подбором находим x=2 единственный корень.
Ответ: 2.
Пример 2. Решить уравнение: x+-x=12.
Решение. ОДЗ уравнения x≤0. Функции fx=x и gx=-x являются убывающими на промежутке -∞; 0. В силу теоремы 2 функция hx=x+-x убывает на промежутке -∞ ; 0 и, следовательно, она может принимать значение 12 не более чем в одной точке. Подбором находим x=-9 единственный корень уравнения.
Ответ: -9.Пример 3. Решите уравнение 1x-1-1=log5x.
Решение. Область допустимых значений уравнения распадается на два промежутка 1; 2 и (2;+∞). На каждом из этих промежутков левая часть уравнения fx=1x-1-1 является убывающей функцией, а правая часть gx=log5x – возрастающей функцией. Следовательно, на каждом из промежутков уравнение может иметь не более одного корней.
При x∈1; 2 функция f(x) принимает отрицательные значения, а g(x) – положительные, это означает, что на промежутке 1; 2 уравнение корней не имеет.
На промежутке (2; +∞) подбором находим x=5, удовлетворяющее уравнению. По теореме 5 делаем вывод, что x=5 – единственный корень.
Ответ:5.
Пример 4.
Найдите положительный корень уравнения cosπxx+4=22x-5.
Решение. ОДЗ уравнения x≠-4.
Правая часть равенства gx=22x-5 является возрастающей функцией. Левая часть равенства fx=cosπxx+4 – функция не монотонная на промежутках -∞; -4 и -4; +∞.
Заметим, что функция fx=cosπxx+4 является ограниченной, поэтому данное равенство возможно только в том случае, если 22x-5≤1, отсюда x≤2,5. Учитывая условие x>0, получаем, что при x∈(0;2,5) функция fx=cosπxx+4=cosπ-4πx+4=-cos⁡(4πx+4) является монотонно убывающей.
Подбором находим x=2. По теореме 5 утверждаем, что x=2 – единственный корень уравнения.
Ответ: 2.
Упражнения
;
;
;
;
;
;
.
Занятия № 7,8,9,10
Тема: «Использование ограниченности функций для решения уравнений и неравенств».
Цели:
а) изучение теоретического материала по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений»;
б) ознакомление с основными способами определения множества значений функции.
Лекция по теме «Использование понятия ограниченности функций при решении уравнений и неравенств».
Областью (множеством) значений функции y=f(x) называется множество значений y при допустимых значениях переменной x.
Если существует число A такое, что для любого x из множества X выполняется неравенствоf(x)≤A, то функция f называется ограниченной сверху на множестве X.
Если существует число a такое, что для любого x из множества X выполняется неравенство f(x)≥a, то функция f называется ограниченной снизу на множестве X.
Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве X. Геометрически ограниченность функции y=f(x) на множестве X означает, что ее график, лежит в полосе a≤y≤A.
Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.
Пусть дано уравнение fx=g(x), где fx, g(x) – элементарные функции. Обозначим область (множество) значений этих функций Ef, E(g) соответственно. Рассмотрим решения данного уравнения для различных результатов множества Ef∩Eg.Если для уравнения fx=g(x) выполняется Ef∩Eg=∅, то уравнение корней не имеет. Однако, если Ef∩Eg≠∅, (*)
то это не означает наличие корней, так как неравенство (*) является необходимым, но не достаточным условием существования решения уравнения.
Пусть для уравнения fx=g(x) выполняется Ef∩Eg={M}, т.е. найдется такое число M, что для любого x из области определения f(x) и g(x) имеем f(x)≤M и g(x)≥M. Тогда
fx=g(x) ⇔ fx=M,gx=M.
Рассмотрим аналогичную ситуацию для неравенства fx≥g(x):
fx≤M, gx≥M, fx≥gx;⇔fx=M,gx=M.Перечислим неравенства, которые полезно «держать под рукой», при нахождении множества значений функции.
НЕРАВЕНСТВО № 1. a+1a≥2 ∀a≠0,
т.е. a+1a≥2 при a>0 и a+1a≤-2 при a<0, причем равенство достигается только при a=±1.НЕРАВЕНСТВО № 2. a+b2≥ab, a≥0, b≥0.
НЕРАВЕНСТВО № 3. a+b2 ≤a2+b22 ∀a, b.НЕРАВЕНСТВО № 4. a cosx+bsinx≤a2+b2 ∀a, b.Пример 1. Решите уравнение cosx=-x2+x-1.
Решение. Правая часть уравнения является функцией
gx=-x2+x-1, где Eg=(-∞;-34], а левая часть - функцией
fx=cosx, где Ef=-1;1. Поэтому Ef∩Eg≠∅.
Так как функция fx=cosx является ограниченной, то данное равенство возможно только в том случае, если -x2+x-1≥-1⇔
⇔-x2+x≥0 ⇔ x∈0;1. Но при x∈0;1 выполняется cosx>0, т.е. функции fx, gx имеют разные знаки и уравнение не имеет решений.
Ответ: ∅.Пример 2. Решите уравнение 1π∙arcsin-x=12+x4+2x3+x2 .
Решение. По определению арксинуса -π2≤arcsin⁡(-x)≤π2 для допустимых значений x, следовательно, -12≤1π∙arcsin-x≤12.
Так как 12+x4+2x3+x2≥12, делаем вывод, что данное равенство справедливо, если 1π∙arcsin-x=12, 12+x4+2x3+x2=12.Решим первое уравнение системы: arcsin-x=π2 ⇔ -x=1 ⇔ ⇔x=-1. Проверкой убеждаемся, что это значение переменной удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, x=-1 является решением системы и уравнения.
Ответ: -1.Пример 3. Решите неравенство 1-cos2x2 +x4π+21-x4-1>0.
Решение. На ОДЗ неравенства, т.е. при x∈-1;1, имеем
1-cos2x2 +x4π≥021-x4≥1,следовательно,1-cos2x2 +x4π+21-x4≥1.Поэтому данное неравенство выполняется, если
1-cos2x2 +x4π+21-x4≠1 ⇔ 1-cos2x2 +x4π≠021-x4≠1.
Решая совокупность, получим x≠-1. Таким образом, решением неравенства является промежуток -1;1.Ответ: -1;1.Упражнения
Решите уравнения и неравенства:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Занятия №11,12
Тема: «Использование четности и нечетности функций для решения уравнений и неравенств».
Цели: знакомство с новым приемом решения уравнений и неравенств – использование свойств четности, нечетности и периодичности функций.
Лекция по теме «Использование четности и нечетности функций при решении уравнений и неравенств».
Функция fx называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение -x также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x=fx.
Функция fx называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение -x также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x=-fx.
Сформулируем некоторые свойства, используемые для решения уравнений и неравенств:
1) Области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля.
2) График четной (нечетной) функции симметричен относительно оси OY (начала координат O(0,0)).
Из свойства следует, что если fx- четная или нечетная функция, и x0 является корнем уравнения fx=0, то (-x0) также является корнем этого уравнения.
3) Если нечетная функция fx определена в точке x=0, то f0=0. Таким образом, чтобы решить уравнение fx=0, где fx – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записываются корни – числа противоположные найденным корням. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения fx. Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.
Пример 1. Решить уравнение x2=x-1+x+1.Решение. Левая и правая части равенства – четные функции. Для x≥0 найдем корни данного уравнения:
x2=x-1+x+1⇔x≥1, x2=x-1+x+1;0≤x<1, x2=1-x+x+1.Первая система совокупности имеет решение x=2. Вторая система решений не имеет. Учитывая свойства четных функций, делаем вывод: x=-2 также является корнем данного уравнения.
Ответ: ± 2.Пример 2.
Решите уравнение x-1x-12+1+2x4x2+1=0.
Решение. Рассмотрим функцию ft=tt2+1. Для любых значений t f't=3t2+1>0, следовательно, ft - монотонно возрастающая.
Данное уравнение можно записать в виде
fx-1+f2x=0⇔fx-1=-f2x.
Функция ft - нечетная, следовательно, fx-1=f-2x.
В силу монотонности функции ft последнее уравнение равносильно x-1=-2x, отсюда x=13. Ответ: 13.Упражнения
Решить уравнения (1-7):
1) 2x2=3-x
2) xx=3x3) x2-3x+2=0
4) 8x=2x+2+x-25) 2x+12+2x+12+3+3x2+9x2+3=06) 2x1+4x2+7+3x+11+(3x+1)2+7=07) sin2x+44sinx+cos2x+44cosx=08) Нечетная функция y=fx определена на всей числовой прямой. Для всех неположительных значений x значение функции совпадает со значением функции gx=xx-25x+84x+11. Сколько корней имеет уравнение fx=0?
9) Четная функция y=fx определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной значение функции совпадает со значением функции gx=3xx+25x-84x+11. Сколько корней имеет уравнение fx=0?
10) График четной функции y=fx пересекает ось OX в четырех точках. Найдите сумму всех корней уравнения fx+1=0?
11) График четной функции y=fx пересекает ось OX в пяти точках. Найдите сумму всех корней уравнения fx-2=0?
Занятия № 13,14,15 Тема: «Решение заданий ЕГЭ»
ТЕСТ № 1
А1. Найдите (корень или сумму корней, если их несколько) уравнения
sinπx+12+2∙2x2-6x+82=1.
1) 1 2) -1 3) 4) 2 5) -2А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень (или произведение корней) уравнения, если их несколько.
log0,22x-1=2x2-x-16.
1) 2,9;3,1 2) 2,8;2,9 3) 3,2;3,3 4) 2,7;2,8 5) 3,4;3,5А3. Найдите наибольшее целое значение функции y=7∙3,1sinlog7x+5.
1) 21,7 2) 7 3) -7 4) -21 5) 21
А4. Функция y=f(x) нечетная, периодическая с периодом 6, определенная
на всей числовой прямой. Для всех неположительных х значения этой
функции совпадают со значениями функции gx=xx+3x-2.
Укажите количество корней уравнения fx=0 на отрезке -3;9.
1) 6 2) 4 3) 3 4) 8 5) 5
А5. Значение выражения x02-1, где x0 - наименьшее целое положительное
решение неравенства 1-x1+x<2x принадлежит промежутку:
1) -1,2;0,5 2) -2,1;-1,9 3)0,2;1,9 4) [-2,8; -0,8) 5) 3,1;3,4А6. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
y=24πarcsinsinx∙cosx равна:
1)1 2) 8 3) 0 4) 12 5) 4
А7. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
log55x+24=x+2.
1)-3 2) -1 3) 0 4) 2 5) 4
А8. Количество целочисленных решений неравенства
lnx+2>4-2+x равно:
1) 1 2) 0 3) 2 4) 4 5) бесконечно много.
А9. Количество корней уравнения log3x2+4log23x=4-x-23 равно:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 0 5) бесконечно много
В1. Решите уравнение ln2x2-3x-9+4x3-8x-8=0. В ответе
укажите корень уравнения или произведение его корней, если их
несколько.
В2. Найти все а, при которых уравнение
log23-sinπx34=2cosπx2-π6-a имеет нечетное число корней.
В ответе укажите значение выражения a-3, где а – значение параметра.
ТЕСТ № 2
А1. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
cos2πx3=3x2-6x-271) 1 2) -1 3) 6 4) 27 5) -6А2. Корень (или произведение корней, если их несколько)
log0,253x+2=2x2+5x-19,5 принадлежит промежутку:
1) 0,9;1,4 2) 1,5;2,1 3) 0,3;0,8 4) 2,2;2,8 5) -0,4;0,2А3. Наибольшее значение функции y=2∙4,3cosex+x3-3 равно:
1) 8,6 2) -8,6 3) 8 4) -8 5) 2
А4. Функция y=f(x) четная, периодическая с периодом 4, определенная на всей числовой прямой. Для всех неотрицательных значений х значения
этой функции совпадают со значениями функции gx=x2x2-4.
Сколько корней имеет уравнение fx=0 на отрезке -8;2?
1) 6 2) 4 3) 3 4) 8 5) 5
А5. Значение выражения x02+1, где x0 - наименьшее целое положительное
решение неравенства 1+x1-x<0,5x принадлежит промежутку:
1) -1,9;1,5 2) 2,7;3,9 3)0,2;2,7 4) [-2,1; 0,6) 5) 4,1;5,4А6. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
y=12πarccossinx∙cosx равна:
1) 1 2) 8 3) 0 4) 4 5) 2
А7. Корень (или сумма корней) уравнения log7490-3∙7x=x+1 равен:
1) 1 2) 2 3) -2 4) -1 5) 7
А8. Для неравенства 6-9x-14<logπx2-4 укажите число
целочисленных решений.
1) 0 2) 1 3) 3 4) бесконечно много 5) 2
А9. Число корней уравнения 2sinπ(x+1)6+4,5sin-1π(x+1)6=6-x2 равно:
1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) бесконечно много
В1. Решите уравнение
arctg4+2x2-x-2+6x4+x3+2x2-x-3=0.
В ответе укажите корень уравнения или произведение его корней,
если их несколько.
В2. Найти все а, при которых уравнение x∙tgx+1∙x-a=ax2+1cosx
имеет нечетное число корней.
Занятие №16, 17
Тема: «Итоговое повторение».
Зачетная работа.
Вариант 1.
Часть 1
При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.
А1. Решите уравнение .
1) -2;2) 2;3)1;4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корень только один, и он положительный;
2) корень только один, и он отрицательный;
3) корней два, и они разных знаков;
4)корней два, и они отрицательные.
А3. Найдите область значений функции .
1)[-2;0];2)[-2;1];3)[-3;1];4)[-2;2].
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение
В3. Решите неравенство
Часть 3
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
С1. Найдите нули функции
Вариант 2.
Часть 1
При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.
А1. Решите уравнение .
1) -5;2) 5;3)4;4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корней два, и они разных знаков;
2) корней два, и они положительные;
3) корень только один, и он положительный;
4) корень только один, и он отрицательный.
А3. Найдите область значений функции .
1)[3;+∞);2)(-∞;+∞);3)(-∞;3);4)(3;+∞).
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение
В3. Решите неравенство
Часть 3
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
С1. Найдите нули функции .
Ответы к зачетной работе.
Номер задания А1 А2 А3 В1 В2 В3 С1
Вариант 1 2 2 3 0 3 0 -2
Вариант 2 2 3 2 1 0 3 Нет решений
Критерии оценок:
Часть А: каждое задание оценивается по 1 баллу. Всего можно получить 3 балла.
Часть В: за верное выполнение задания выставляется 1 балл. Всего – 3 балла.
Часть С: максимум – 3 балла, если приведена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования выполнены верно, получен верный ответ;
2 балла – приведена верная последовательность всех шагов решения, при решении одного из уравнений допущена одна описка, или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения;
1 балл приведена верная последовательность всех шагов решения, допущена грубая ошибка в тождественных преобразованиях, в результате которой получен неверный ответ;
0 баллов – все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.
Оценка: «5» – 7-9 баллов;
«4» – 5-6 баллов;
«3» – 2-4 балла;
Не зачтено – 0-1 балл.