КОС для текущего контроля по Элементам высшей математики

Департамент образования города Москвы
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования города Москвы
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ № 42
Образовательная программа
среднего профессионального образования
Комплект
контрольно-оценочных средств
по учебной дисциплине
МАТЕМАТИКА
программы подготовки специалистов среднего звена
230113 «Компьютерные системы и комплексы»
для текущего контроля знаний
Москва, 2014год
Согласовано: Утверждаю:
Предметная (цикловая) комиссия Зам. директора по КОД
математических и естественно-
научных дисциплин _______________/Н.А. БокатюкПротокол № ____ «__» _________ 2014 г.
от «__» _________ 2014 г.
Председатель ПЦК
__________/Шмельков В.Ю.
Составитель: Кирсанова Н.Ю., преподаватель математики, ГБОУ СПО Политехнический колледж №42
1. Общие положения.
Контрольно-оценочные средства (КОС) являются составной частью образовательной программы среднего профессионального образования по подготовке специалистов среднего звена 230113 «Компьютерные системы и комплексы» и предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся в ходе освоения ими программы учебной дисциплины «Элементы высшей математики».
КОС включают контрольные материалы для проведения текущего и рубежного контроля знаний и умений по учебной дисциплине.
КОС разработаны на основании:
Положения о Фонде оценочных средств (ФОС);
Рекомендаций по разработке контрольно-оценочных средств (КОС);
рабочей программы учебной дисциплины;
ФГОС СПО по специальности 230113 «Компьютерные системы и комплексы».
2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке.
КОС для текущего контроля направлены на проверку и оценивание результатов обучения, знаний и умений:
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания) Коды формируемых профессиональных и общих
компетенций Основные показатели оценки
У 1выполнять действия над матрицами, вычислять определители матриц, решать системы линейных уравнений по формулам Крамера. методом Гаусса и с помощью обратной матрицы.
З 1 основные понятия линейной алгебры. ОК 1- ОК 9
ПК 1.1
ПК
1.2
ПК
1.4
Операции над матрицами. Вычисление определителей матриц.
Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы.
Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы.
У2 находить пределы функции; исследовать функции с помощью производных,
строить графики функций по результатам исследования интегрировать функции, вычислять определенные интегралы; находить частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных; вычислять двойные интегралы; выполнять действия над комплексными числами;
выполнять разложение функций в ряд Тейлора;
решать дифференциальные уравнения
первого и второго порядка.
З 2 Основные понятия математического анализа: определение и свойства пределов, определение производной и дифференциала сложной функции; определение интеграла; основные понятия и свойства функции нескольких переменных; определение двойного интеграла и его свойства; определение и формы записи комплексных чисел; определение. основные понятия и свойства рядов, разложение функций в степенные ряды; определение и виды дифференциальных уравнений.
ОК 1- ОК 9
ПК 1.1
ПК 1.2
ПК1.4
ПК2.3
ПК3.3 Вычисление предела функции. Раскрытие неопределенности.
Исследование функций.
Вычисление определенных интегралов и площадей плоских фигур.
Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных.
Вычисление двойных интегралов.
Решение задач на приложения двойных интегралов
Действия над комплексными числами
Нахождение суммы ряда. Исследование сходимости положительных и знакочередующихся рядов.
Нахождение радиуса и интервала сходимости степенных рядов.
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
Решение дифференциальных уравнений второго порядка.
У3 составлять уравнения прямых, кривых второго порядка и строить их графики.
З 3 основы аналитической геометрии на плоскости: общие и параметрические уравнения прямой и плоскости; уравнения окружности, эллипса, гиперболы, сферы. ОК 1- ОК 9
ПК 1.1
ПК 1.2
ПК 1.4
ПК 2.3
ПК 3.3 Составление общего и параметрического уравнений прямых на плоскости.
Составление уравнений кривых второго порядка и построение их графика
Общие компетенции:
ОК 1.Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2.Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3.Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
ОК 4.Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5.Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.
ОК 6.Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, пофтребителями.
ОК 7.Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя ответственности за результат выполнения заданий.
ОК 8.Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9.Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10.Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Профессиональные компетенции:
ПК1.1. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.
ПК1.2. Выполнять требования технического задания на проектирование цифровых устройств.
ПК 1.4 Определять показатели надежности и качества проектируемых цифровых устройств.
ПК 2.3. Осуществлять установку и конфигурирование персональных компьютеров и подключение периферийных устройств.
ПК 3.3. Принимать участие в отладке и технических испытаний компьютерных систем и комплексов; инсталляции, конфигурировании настройке операционной системы.драйверов, резидентных программ.
3. Кодификатор контрольных заданий
Функциональный признак оценочного средства
(тип контрольного задания) Код контрольного задания
Теоретическое задание (устный или письменный опросы) ТЗ
Практическое задание ПЗ
Расчетно-графическое задание РГ
4. Содержательно-компетентностная матрица оценочных средств
текущего контроля
Содержание учебного материала
по программе УД Код контрольного задания
У 1 З 1 У 2 З 2 У 3 З 3
Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
Тема 1 .1. Матрицы и определители. ТЗ
1-22
ПЗ 1-10
СР 2,7 ТЗ
1-22 Тема 1. 2.Системы линейных уравнений.
ТЗ
169-171
ПЗ 3
СР 4,7 ТЗ
169-171 ПЗ 3
СР 4,7 Раздел 2
Элементы математического анализа.
Тема 2.1. Теория пределов. Непрерывность. ТЗ
23-27
ПЗ 8 ТЗ
23-27 ПЗ 8 Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
ТЗ
28-46
ПЗ 9,10, ПЗ 11
РГ 12 ТЗ
28-46
ПЗ 9,10, ПЗ 11
РГ 12 Тема 2.3
Интегральное исчисление функции одной переменной. ТЗ
47-65
ПЗ 13
РГ 14 ТЗ
47-65 ПЗ 13
РГ 14 Тема 2.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных.
ТЗ
172-173
ПЗ 15 ТЗ
172-173
ПЗ 15 Тема 2.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных ТЗ 66
ТЗ 66
Тема 2.6. Комплексные числа. ТЗ
67-93
СР 5,7
ПЗ 6
ТЗ
67-93
СР 5,7
ПЗ 6
Тема 2.7. Теория рядов.
ТЗ
115-129
ПЗ 18,19
ТЗ
115-129
ПЗ 18,19
Тема 2.8. Обыкновенные дифференциальные уравнения. ТЗ
94-114
ПЗ 16,17 ТЗ
94-114
ПЗ16,17 Раздел 3.
Тема3.1.
Прямая на плоскости.
ТЗ
130-151
СР 7
ПЗ 20,21 ТЗ
130-151
СР 7
ПЗ 20,21
Тема3.2.
Кривые второго порядка. ТЗ
152-168
СР 22
ТЗ
152-168
СР 22
5. Распределение КОС по темам учебной дисциплины.
Контрольно-оценочные средства для текущего контроля представляют собой:
перечень теоретических вопросов и практических заданий для устного и письменного опроса;
варианты самостоятельных работ;
варианты домашних заданий
КОС, используемые для текущего контроля, охватывают все разделы, темы учебной дисциплины:
Содержание учебного материала
по программе № заданий ,включенных в КОС
ТЗ ПЗ РГ СР
Раздел 1.
Тема 1.1. Матрицы и определители. №1-22 № 1-10 - №2,7
Тема 1.2. Системы линейных уравнений. №169-171 №3 - №4,7
Раздел 2.
Тема 2.1 Теория пределов. Непрерывность. №23-27 №8
- -
Тема 2.2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. №28-46 ПЗ № 9-11 РГ №12 -
Тема 2.3. Интегральное исчисление функции одной переменной. №47-65 №13 РГ №14 -
Тема 2.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных. № 172-173 №15 - -
Тема 2.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных №66 - - -
Тема 2.6.
Комплексные числа. № 67-93 №6 СР №5,7
Тема 2.7. Теория рядов. № 115-129 №18,19 - -
Тема 2.8. Обыкновенные дифференциальные уравнения. № 94-114 № 16,17 - -
Раздел 3.
Тема 3.1.
Прямая на плоскости. № 130-151 № 20,21 - № 7
Тема 3.2.
Кривые второго порядка. № 152-168 - - №22
6. Содержание КОС.
6.1. Теоретические задания (ТЗ):
Матрицы и определители. Вопросы для устного опроса по теме.
Что называется матрицей?
Что называется матрицей-строкой, матрицей столбцом?
Какие матрицы называются прямоугольными, квадратными?
Какие матрицы называются равными?
Что называется главной диагональю матрицы?
Какая матрица называется диагональной?
Какая матрица называется единичной?
Какая матрица называется треугольной?
Что значит транспонировать матрицу?
Что называется суммой матриц?
Что называется произведением матрицы на число?
Как найти произведение двух матриц?
В чем состоит обязательное условие существования произведения матриц?
Что называется определителем матрицы?
Как вычислить определитель третьего порядка по схеме треугольников?
Что называется минором?
Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?
Как разложить определитель по элементам столбца или строки?
Перечислите свойства определителя.
Какая матрица называется невырожденной?
Какая матрица называется обратной по отношению к данной?
Каков алгоритм нахождения обратной матрицы?
Системы линейных уравнений. Вопросы для устного опроса по теме.
169. Сформулируйте теорему Крамера.
170. Запишите формулы Крамера.
171. В чем заключается метод Гаусса.
Теория пределов. Непрерывность. Вопросы для устного опроса по теме.
23.Дайте определение предела в точке.
24.Объясните раскрытие неопределенности 00.
25.Дайте определение предела функции на бесконечности. Объясните основной метод раскрытия неопределенности ∞∞.
26.Сформулируйте теоремы о пределах.
27.Сформулируйте и напишите первый и второй замечательные пределы.
Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Вопросы для устного опроса по теме.
28.Что называется приращением независимой переменной и приращением функции?
29.Дайте определение непрерывной функции. Какими свойствами на отрезке она обладает?
30.Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? Дайте определение производной.
31.Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
32.Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?
33.Можно ли вычислить производную любой функции, пользуясь определением производной?
34.Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования функций.
35.Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?
36.Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?
37.В чем заключается механический смысл производной?
38.Что называется производной второго порядка и, каков ее механический смысл?
39.Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?
40.Повторите определения возрастающей и убывающей функций. В чем заключается признак возрастания и убывания функций?
41.В чем заключаются необходимый и достаточный признаки существования экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью первой производной.
42.В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений?
43.Как пишется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке?
44.Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?
45.Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.
46.Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?
Интегральное исчисление функции одной действительной переменной.
Вопросы для устного опроса по теме.
47.Что является основной задачей интегрального исчисления?
48.Какая функция называется первообразной для заданной функции?
49.Почему при интегрировании функций появляется произвольная постоянная?
50.Почему одна функция имеет целую совокупность первообразных?
51.Как записать всю совокупность первообразных функций?
52.Что называется неопределенным интегралом?
53.Почему интеграл называется неопределенным?
54.Что означает постоянная С в определении неопределенного интеграла?
55.В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?
56.В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?
57.Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?
58.Напишите основные формулы интегрирования.
59.Как проверить результата интегрирования?
60.В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
61.Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?
62.Что такое определенный интеграл?
63.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
64.В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
65.Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?
66.Какие интегралы называются несобственными?
Частные производные функции нескольких переменных.
172.Дайте определение частной производной функции нескольких переменных.
173. Дайте определение частной производной второго порядка функции z = f(x, y).
Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Вопросы для устного опроса по теме.
67.Дайте определение мнимой единицы.
68. Как вычисляют степени мнимой единицы?
69.Какое число называется комплексным?
70.Какие комплексные числа называются чисто мнимыми? Приведите примеры комплексных чисел, чисто мнимых чисел.
71.Какие комплексные числа называются равными?
72.Какие комплексные числа называются сопряженными?
73.Как выполняются сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме?
74.Как выполняется деление комплексных чисел в алгебраической форме?
75.Как геометрически изображаются комплексные числа?
76.Что называется модулем и аргументом комплексного числа?
77.Напишите формулы для модуля и аргумента комплексного числа.
78.Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом?
79.Как решить квадратное уравнение, если дискриминант его отрицателен?
Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Вопросы для устного опроса по теме.
81.Как записывается комплексное число в тригонометрической форме?
Как записывается комплексное число в показательной форме? Формула Эйлера.
82.Сформулируйте правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
83.Сформулируйте правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к показательной и обратно.
84.Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа к показательной и обратно.
85.Как умножаются комплексные числа, записанные в тригонометрической форме.
86.Как умножаются комплексные числа, записанные в показательной форме?
87.Сформулируйте правило деления комплексных чисел в тригонометрической форме.
88.Сформулируйте правило деления комплексных чисел в показательной форме.
89.Как возвести в степень комплексное число, записанное в тригонометрической форме.
90.Как возвести в степень комплексное число, записанное в показательной форме?
91.Сформулируйте правило извлечения корня n –й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
92.Сформулируйте правило извлечения корня n –й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме.
93.Сколько значений имеет корень n-й степени из комплексного числа?
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вопросы для устного опроса по теме.
94.Какое уравнение называется дифференциальным?
95.Какая функция называется решением дифференциального уравнения?
96.Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое называется частным?
97.Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?
98.Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?
99.Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить?
100.Сколько постоянных интегрирования имеет общее решение дифференциального уравнения первого, третьего порядка?
101.Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения?
102.Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического уравнения?
103.Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.
104.Каков общий вид дифференциальных уравнений первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными?
105.Как решается уравнение с с разделенными переменными?
106.Чем отличается уравнение с разделяющимися переменными от уравнения с разделенными переменными? Как разделяют переменные?
107.Каков алгоритм решения уравнения с разделяющимися переменными?
108.В чем заключается задача Коши? Каков его геометрический смысл?
109.Каков общий вид линейных дифференциальных уравнений первого порядка?
110.Какими величинами являются и от чего зависят коэффициенты p и q в линейном дифференциальном уравнении первого порядка?
111.С помощью какой подстановки решается линейное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение?
112.Какой вид имеет простейшее дифференциальное уравнение второго порядка? Как оно решается?
113.Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?
114.Что такое характеристическое уравнение?
Теория рядов. Вопросы для устного опроса по теме.
115.Дайте определение числового ряда.
116.Что является суммой ряда?
117.Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?
118.Назовите свойства сходящихся рядов.
119.Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
120.Назовите достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
121.В чем заключается признак сравнения?
122.Сформулируйте признак сходимости Даламбера.
123.В чем заключается признак Коши и интегральный признак?
124.В чем отличие знакопеременного ряда от знакочередующегося?
125.Дайте определение абсолютно сходящегося ряда и условно сходящегося ряда
126.Сформулируйте признак Лейбница о сходимости знакопеременного ряда.
127.Понятие степенного ряда.
128.Ряд Тейлора.
129.Ряд Маклорена.
Векторы. Операции над векторами. Вопросы для устного опроса по теме.
130.Что называется вектором?
131.Что называется длиной вектора?
132.Какие векторы называются равными?
133.Как сложить два вектора?
134.Как найти разность двух векторов?
135.Как умножить вектор на число?
136.Какие векторы называются коллинеарными?
137.Как разложить вектор в декартовой системе координат?
138.Что называется базисом?
139.Что называется координатами вектора?
140.Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?
141.Как найти длину вектора, заданного двумя точками?
142.Как вычисляется длина вектора, заданного своими координатами?
143.Как выполняется сложение и вычитание векторов, заданных своими координатами?
144. Как умножить вектор, заданный своими координатами, на число?
145.Каким свойством обладают координаты коллинеарных векторов?
146.Запишите формулы деления отрезка в данном отношении.
147.Запишите формулы деления отрезка на две равные части.
148.Что называется скалярным произведением векторов?
149.Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?
150.Каким свойством обладает скалярное произведение векторов?
151.Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов?
Чему равно скалярное произведение коллинеарных векторов?
Прямая на плоскости. Кривые второго порядка. Вопросы для устного опроса по теме.
152.Что называется уравнением прямой?
153.Каким уравнением описывается прямая на плоскости?
154.Как записывается каноническое уравнение прямой?
155.Запишите уравнения осей координат.
156.Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.
157.Сформулируйте правило составления уравнения прямой на плоскости.158.Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
159.Сформулируйте условие параллельности прямых.
160.Сформулируйте условие перпендикулярности прямых.
161.Как найти угол между прямыми?
162.Каким уравнением описывается кривая на плоскости?
163.Запишите каноническое уравнение эллипса.
164.Что называется эксцентриситетом эллипса? Какова его величина?
165.Чему равен эксцентриситет окружности?
166. Запишите каноническое уравнение гиперболы.
167.Запишите уравнение равносторонней гиперболы.
168.Запишите каноническое уравнение параболы, директрисы параболы.
Вопросы к зачету.
Предел функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Предел суммы, произведения и частного двух функций.
Непрерывные функции, их свойства. Непрерывность элементарных и сложных функций. Замечательные пределы. Вычисление пределов функции с помощью замечательных пределов.
Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
Определение производной функции, её физический и геометрический смысл. Дифференцируемость функций. Дифференциал функции.
Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного.
Производные основных элементарных функций.
Производная сложной функции.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Возрастание и убывание функций, условия возрастания и убывания функций.
Экстремумы функций. Необходимое условие существования экстремума.
Нахождение экстремумов с помощью первой и второй производной.
Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Полное исследование функции. Построение графиков функций.
Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.
Метод замены переменной и метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Универсальная подстановка в неопределенном интеграле.
Определенный интеграл, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.
Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона – Лейбница, методом подстановки и методом интегрирования по частям.
Приложение определенного интеграла в геометрии. Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов.
Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Признаки сравнения, признак Даламбера.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Исследование сходимости знакочередующихся рядов.
Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Поведение степенного ряда на концах интервала сходимости. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Однородные уравнения 1- го порядка. Уравнения, приводящиеся к однородным дифференциальным уравнениям.
Линейные однородные и неоднородные уравнения 1- го порядка.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения 2- го порядка с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение степени.
6.2. Практические задания (ПЗ):
Практическое задание №1.
Операции над матрицами. Вычисление определителей.
Найдите матрицу C = A + B, если A = 24-13, B = -1314.
Найдите матрицу C = A + B, если A = 3102-74652, B = 42-3570001.
Вычислите: 2A + 3B – C, если А = 2-1-34, В = 12-40, С = -7-418-8.Произведите умножение двух матриц а) 12-34-2431, б)23-4-1-131-251233-11122.
Вычислите определитель второго порядка 241-3.
Вычислите определитель третьего порядка 14332-1263.
Запишите все миноры определителя -12037-1542.
Найдите алгебраические дополнения А13,А21, А31 для определителя -12320-3325.
Разложите определитель 312-1250-42 по:
а) элементам первой строки;
б) элементам второго столбца.
Найдите обратную матрицу для матрицы А = 1230-12307.
Самостоятельная работа №2
Вариант 1.
Найдите матрицу C = А2+ 2В, если А= 2-103, В = -745-3.
Найдите: А В – В А, где А = 121212123, В = 411420121.
Вычислите: 3А 2В, если А = 2-10000321, В = -120200-310.
Найдите обратную матрицу для матрицы А = 2413624-1-3.
Вариант 2.
Найдите матрицу C = А2+ 2В, если А= -1-230, В = -47-35.
Найдите: А В – В А, где А = 213121321, В = 31201-1211.
Вычислите: 3А 2В, если А = -1-21000032, В = 2-101001-30.
Найдите обратную матрицу для матрицы А = 13-632525-3.
Системы линейных уравнений.
Практическое задание №3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Задания для совместной работы.
Решите систему линейных уравнений методом Крамера.
а)5x+3y=12,2x-y=7. б) 2x+3y=7,4x-5y=2. в)3x+2y+z=3,5x-2y-2z=3,x+y-z=-2. г)x-y+z=6,x-2y+z=9,x-4y-2z=3.Решите систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными методом Крамера7x1+6x2+3x3+7x4=3;3x1+5x2+7x3+2x4=-1;5x1+4x2+3x3+5x4=1;5x1+6x2+5x3+4x4=2.Используя метод Гаусса решите систему линейных уравнений
а)3x+2y-z=4,2x-y+3z=9,x-2y+2z=3. б) x1-2x2+x4=-3,3x1-x2-2x3=1,2x1+x2-2x3-x4=4,x1+3x2-2x3-2x4=7.Самостоятельная работа №4.
Вариант 1.
2x+3y-2z=8y-3z=33x-y+z=1;Вариант 2.
x-y+4z=0x+y-2z=6y+z=7;
Вариант 3.
2x+y-z=9x-y+3z=-1y-2z=4;
Вариант 4.
x+2y-5z=93x-y=2z=2y-5z=1;
Вариант 5.
5x-2y+3z=1x+y-5z=36x-2y=0;
Вариант 6.
x+y-3z=5x-2z=0x+2y-6z=8;
Вариант 7.
y-3z=32x+y-2z=8x+y-4z=4;
Вариант 8.
2x+3z=7x-y+z=-33x-y+z=1;
Вариант 9.
3x-y+z=1x+y-2z=6y+2z=8;
Вариант 10.
x=y+5z=12x+y-3z=7y-3z=3;
Вариант 11.
3x-y+3z=3x+2y-4z=10y-z=5.
Самостоятельная работа №5. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Вариант 1.
Вычислите: i43+i48+i44+i45.
Выполните действия: а) (5 – 4i)(3 + 2i); б) (-1+i32)3.
Решите уравнение x2+4x +53 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если
z1= 1 + i и z2 = -2+2i3.
Вариант 2.
Вычислите: i6+i20+i30+i51.
Выполните действия: а)2i(1 2+i32)(-12 + i32); б)1-i1+i.
Решите уравнение x2- 6x +13 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= 5 и z2 = 3 – i.
Вариант 3.
Вычислите: i15+i24-i49-i37∙i51.
Выполните действия: а) (3 + i)+(-3 - 8i); б) (2-3i)-i+52.
Решите уравнение x2+25= 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= 3 +i и z2 = 5.
Вариант 4.
Вычислите: (i13+i17)2i - (i4+i24)∙6.Выполните действия: а) (3 – 5i)(2 - 3i); б)1-3ii-2+4i+13i-1.
Решите уравнение 36z2+36z+13=0. Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если
z1= -3 + 3i и z2 = 22-2i6.
Вариант 5.
Вычислите: i∙i2∙i3∙i4.
Выполните действия: а) (0,2 +0,1 i)+(0,8 – 1,1i); б)11+i.
Решите уравнение x2- 2x +5 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= 1 -i и z2 = 3i.
Вариант 6.
Вычислите: i1+i11+i21+i31+i41.
Выполните действия: а) (12-i14)-(35+i23)+(34-i56)); б)1+i1-i.
Решите уравнение x2+3x +4 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если
z1= 6i и z2 = 1 - i3.
Вариант 7.
Вычислите: i1+i2+i3+i4+i5.
Выполните действия: а) (1-i)-(7-3i)-(2+i)+(6-2i); б)3-2i1+3i.
Решите уравнение x2- 10x + 34 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1=2 – 2i3 и z2 = 6i.
Вариант 8.
Вычислите:1i13+1i23+1i33.
Выполните действия: а) (5 + 3i)(5 - 2i); б) -1+i3-2+i6.Решите уравнение 4x2- 20x +26= 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= -33 +3i и z2 = -2 - 2i.
Практическое задание №6. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.
Вариант 1.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=5i;б) z=1+i.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а)z=3(cosπ4+isinπ4);б) z=5(cos11π6+isin11π6).Даны комплексные числа z1=3cos330°+isin330° и z2=2(cos60°+isin60°).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
Вариант 2.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=-6;б) z=1-i.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а) z=2,5(cos3π2+isin3π2);б) z=8(cos15π4+isin15π4).Даны комплексные числа z1=3cos5π4+isin5π4 и z2=5(cosπ2+isinπ2).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
Вариант 3.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=-2-2i;б) z=3.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а) z=10(cosπ3+isinπ3);б) z=8(cosπ4+isinπ4).Даны комплексные числа z1=2cos2π3+isin2π3 и z2=5(cosπ+isinπ).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
Вариант 4.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=-2i;б) z=-33+3i.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а) z=4(cosπ2+isinπ2);б) z=(cosπ+isinπ).Даны комплексные числа z1=0,5cosπ4+isinπ4 и z2=2(cosπ6+isinπ6).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
Самостоятельная работа №7.
Вариант 1.
1. Найдите матрицу С= А2+ 3В, если
А=3201, В=-1123.
2. Решите систему уравнений
3x+2y+z=3,5x-2y-2z=3,x+y-z=-2.3. Найдите скалярное произведение векторов a3;-1;2 иb4;2;-3.4. Выполните действия и найдите модуль комплексного числа
1-2i1+i.
5. Представьте в показательной и тригонометрической форме комплексное число
z=3 –i.
Вариант 2.
1. Найдите матрицу С= А2- 2В, если
А=12-20, В=2-113.
2. Решите систему уравнений
x-y+z=6,x-2y+z=9,x-4y-2z=3.3. Найдите скалярное произведение векторов a=i+3j-k и b=-2i-4i+3k.4. Выполните действия и найдите модуль комплексного числа
-2-i1+i.
5. Представьте в алгебраической и показательной форме комплексное число
Z=2 (cosπ4 + isinπ4).
Вариант 3.
1. Найдите матрицу С = 4А - В2, если
А = 322-1, В = 011-1.
2. Решите систему уравнений
4x+2y-z=1,5x+3y-2z=2,3x+2y-3z=0.3. Найдите угол между векторами a(-2;2; -1) и b(-6;3;6).
4. Вычислите i6+ i20+ i30+i36+ i54.
5. Найдите произведение комплексных чисел z1 и z2 в тригонометрической форме и представьте полученное число в алгебраической форме
z1 = 2 cosπ3+isinπ3, z2=5cosπ4+i sinπ4.
Вариант 4.
1. Найдите матрицу С = 3А - В2, если
А = 42-3-2, В = 012-1.
2. Решите систему уравнений
3x+y+3z=2,5x-2y+2z=1,2x+2y+3z=1.3. Даны векторы a=-4i-3j+5k и b=-2i+3j+k. Найдите угол между ними.
4. Вычислите 1i13+1i23+ii33.
5. Вычислите с помощью формулы Муавра и запишите полученное число в алгебраической форме
Z = 2cosπ24+isinπ246.
Практическое задание №8. Теория пределов. Непрерывность.
Цель работы:
На конкретных примерах научиться вычислять пределы различными способами.
Содержание работы:
Типы неопределенностей и методы их раскрытия
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
I. Неопределенность вида
Пример 1. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х2 -25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5), на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: . Подставив х=5, получим результат: ===
Пример 2. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

Пример 3. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом и его следствием . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

I I. Неопределенность вида
Пример 4. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности () видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:
==, т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.
Вариант 1.
Вычислите пределы.
limх→53х2-17х+103х2-16х+5;
limх→55-х3-2х-1;
limх→31+х2-13х2;
limх→∞2х3+х+13х3+х2+1;
limх→∞1-2хх.
Вариант 2.
Вычислите пределы.
limх→14х2-7х+33х2-2х-1;
limх→0х3+х-3-х;
limх→01-1-х2х2;
limх→∞5х4-х3+2хх4-8х3+1;
limх→∞1+3х-х.
Практическое задание №9. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной.
Цель работы: проверить умения нахождения производной функции.
Содержание работы:
Таблица производных основных элементарных функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Вариант 1.
Найдите производную следующих функций:
а) y=x2+4x+3;б)y=6x+2x;в) y=x6-4x+1x;г) y=3x-43;д) y=3x-47-2x;
е) y=3sin2x;ж) y=x2-4x;з) y=3+2x2x-3, y'(0,25)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
а) y=x3;
б) y=cos2x;в) y=ln3x2-2x+5.Вариант 2.
Найдите производную следующих функций:
а) y=x6-3x+8;б) y=4x-2x;
в) y=x5-3x2+2x;г) y=8-6x5;д) y=5x+2x-3;
е) y=5cos3x;ж) y=3x-x2;з) y=x2-3x2+3, y'(12)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
a) y=sinx;б)y=(5x+2)4;в)y=105-3x.Вариант 3.
Найдите производную следующих функций:
а) y=3x4-6x2+5;б) y=4x+4x;в) y=x3-9x2+5x;г) y=6x2-7x3;д) y=5x+13-2x;
е) y=2tg5x;ж) y=8x-7;з) )y=4x-14x+1, y'(0,25)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
а) y=x4;б) y=1+cosx;
в) y=xlnx.Вариант 4.
Найдите производную следующих функций:
а) y=x7-4x2+9;б) y=6x-5x;
в) y=4x+5234;г) y=3x2-x+1x;д) y=3+7x4-x;
е) y=5sin6x;ж) y=3x-1;з) y=2x+12x-1, y'(3)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
а) y=2x;
б) y=arcsinx2;
в) y=1+3x.
Практическое задание №10.
Вариант 1.Вычислите предел с помощью правила Лопиталя:
1. limх→2х3-4х2-3х=18х3-5х2+3х+9;
2. limх→1х2-х+1lnx;
3. limх→1ex-e-xsin⁡(x2-1).
Вариант 2.Вычислите предел с помощью правила Лопиталя:
1. limx→1x3+x2-5x+3x3-x2-x+1;
2. limx→135x-3-32x2tgπx;
3. limx→0x+2-2sin3x.
Вариант 3.Вычислите предел с помощью правила Лопиталя:
1. limx→-1x3-2x-1x4+2x+1;
2. limx→π1+cos3xsin27x;
3. limx→062x-7-2чsin3x-2x;
Вариант 4.Вычислите предел с помощью правила Лопиталя:
1. limx→1x3-5x2+8x-4x3-3x2+4;
2. limx→π4lntgxcos2x;3. limх→0e3x-e2xsin3x-tg2x.
Практическое задание №11. “Приложение производной к исследованию функций ”
Цель работы: используя схему исследования функции научиться строить графики функций. Содержание работы:
Общая схема исследования функции и построение её графика.
1. Найдите область определения функции.
2. Исследуйте функцию на четность или нечетность.
3. Найдите промежутки знакопостоянства.
4. Найдите промежутки монотонности функции, её экстремумы.
5. Найдите промежутки выпуклости графика функции, её точки
перегиба.
6. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.
7. Постройте график функции, используя полученные результаты
исследования.
Построить график функции:
D(y) = R
Функция не является четной и нечетной.
у = 0 при х = 0. Два промежутка знакопостоянства и
для ; для
Найдем производную данной функции:

при х = -1. Эта точка делит область определения функции на два промежутка Исследуемая функция на промежутке убывает, а на промежутке возрастает. Точка х = -1 – точка минимума
Найдем вторую производную данной функции:

при х = -2

для ,для
следовательно, графикследовательно, график
функции на этомфункции на данном
интервале выпуклыйинтервале выпуклый
вверх.вниз.
х = -2 - точка перегиба,
6. По полученным данным строим график
Вариант 1.
Найти промежутки монотонности функции y=ex-x.Исследовать на экстремум функцию y=x3-6x2+9x+3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=2x3-15x2+24x+3 на промежутке 2;3.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции y=13x3-3x2+8x-4.Вариант 2.
Найти промежутки монотонности функции y=2xex.
Исследовать на экстремум функцию y=-x3-3x2+24x-4.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=2x3+3x2-12x-1 на промежутке -1;2.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
y=x4-10x3+36x2-100.Вариант 3.
Найти промежутки монотонности функции y=2xex.Исследовать на экстремум функцию y=x3-3x2-9x-4.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=-x3-3x2+9x-2 на промежутке -2;2.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции y=x4-8x3+18x2-48x+31.Вариант 4.
Найти промежутки монотонности функции y=e1x+1.Исследовать на экстремум функцию y=-x3+6x2+15x+1.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x3-3x2-9x-4 на промежутке -4;4.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
y=x4-6x3+12x2-10.Расчетно-графическая работа№12.
Исследуйте и постройте график данной функции.
Вариант 1. y=2x3-6x+5.Вариант 2. y=x3-x2-x+3.Вариант 3. y=x4-10x2+9.Вариант 4. y=-x4+2x2+3.Практическое задание №13. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной.
Цель работы: на конкретных примерах научиться находить неопределенный интеграл различными способами. Содержание работы:
Таблица интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6. 7.
8.
9.
10.
11.
12. 13.
14.
15.
16.
Методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
Пример 1: Вычислите
Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:


Пример 2: Вычислите
Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы

2. Метод замены переменной (метод подстановки)
Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.
Пример 3: Вычислите
Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда , откуда . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо подставим ).

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.

Вариант 1. Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (2-3x4)dx; 2) (1x-4x)dx.
б) методом подстановки:
1) (x3+1)∙x2dx; 2) 5x+7dx.в) методом интегрирования по частям:
1) 4x-1exdx; 2) 3-xcosxdx.Вариант 2. Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (4+1x-x)dx; 2) (7x-3x5) dx.
б) методом подстановки:
1) ln3xxdx; 2) x7-x2dx.в) методом интегрирования по частям:
1) 5xexdx; 2) 6x+1cosxdx.Вариант 3. Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (1x-x34)dx; 2) (5-sinx)dx.
б) методом подстановки:
1) ln22xxdx; 2) 2x2xdx.в) методом интегрирования по частям:
1) 2xsinxdx; 2) 3xexdx.Вариант 4. Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (sinx+3x4-x)dx; 2) (17x-4-x32)dx.
б) методом подстановки:
1) xe-3x2dx; 2) 1xln4xdx.в) методом интегрирования по частям:
1) (2-x)exdx; 2) 6x-11cosxdx.Расчетно-графическая работа № 14. “Нахождение площади криволинейной трапеции”
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. Выполните рисунок.
Цель работы: 1. Познакомить с понятием криволинейной трапеции 2. На конкретных примерах научиться находить площадь криволинейной трапеции.
Содержание работы: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), двумя прямыми х=а и х=b и осью абсцисс, вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:





Пример 4: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , осями координат и прямой х=2.
Решение: Построим данные линии

Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох: , ,


Вариант 1.
y=-x2+4;y=0.y=sinx;x=0;y=0.y=x2; y=9.Вариант 2.
y=x2+3;x=0;x=2; y=0.y=cosx;x=0;x=π4;y=0.y=-x2+6; y=2.Вариант 3.
y=x2-2x;x=2;x=4; y=0.y=sinx;x=π6;x=3;y=0.y=x2+2; y=x+4.Вариант 4.
y=-x2+4x;x=2; y=0.y=cosx;x=-π6;x=π6;y=0.
y=x2; y=x+2.Практическое задание №15. Частные производные функции нескольких переменных.
Цель работы: На конкретных примерах научиться находить частные производные функции многих переменных. Содержание работы:
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом: .
Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами
Пример. Найти частные производные z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2.
Решение. = - 2y2 + 2x, = 4y3 - 4xy +2 +2y, , ,
Вариант 1
Найти частные производные функций.
.
.
.
Вариант 2
Найти частные производные функций.
.
.
.
Практическое задание №16. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
или
Пример1. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1.

- общее решение
при у(2) = 1 получаем
Итого: или - частное решение;
Пример2. Решить уравнение

Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.
Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.
Пример. Решить уравнение .
Введем вспомогательную функцию u. .
Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем переменные:
Интегрируя, получаем:
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
Решите дифференциальные уравнения.
Вариант 1.
dydx=dxx-1;y'=x, если y=0 при x=2;1+x3dy=3x2ydx.Вариант 2.
exdx=2ydy;2ydx=1+xdy, если y1=4;(1+x2)dy-2xydx=0.
Практическое задание №17.
Решите дифференциальные уравнения.
Вариант 1
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-4).
.
.
.
.
Решить задачу Коши: .
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6-12).
.
.
.
.
.
.
.
Вариант 2
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-4).
.
.
.
.
Решить задачу Коши: .
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6-12).
.
.
.
.
.
.
.
Практическое задание №18 . Теория рядов.
Числовые ряды. Признак Даламбера.
Вариант 1.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=1(2n+1)2n-1.
Найдите формулу общего члена ряда:
а) 1+32+53+…;б) 25+57+89+… .
Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞2n5n.
Вариант 2.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=n+1(2n-1)3n-1.
Найдите формулу общего члена ряда:
а) 51+92+133+…;б) 42+77+1012+… .
Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞5nn5.
Вариант 3.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=3n+2(3n-1)2n-1.
Найдите формулу общего члена ряда:
а) 12+34+56+78…;б) 24+49+616+825… .
Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞3nn(n+1)Вариант 4.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=3n+1(n2+1)3n-1.
Найдите формулу общего члена ряда:
а) 13+15+17+19…;б) 21+44+89+1616… .
Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞3nn2.
Практическое задание № 19 . Признак Лейбница. Промежуток сходимости.
Ряд Маклорена.
Вариант 1.
1.Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:
а) n=1∞(-1)n-1∙12n;
б) n=1∞(-1)n+1∙1n14.
2. Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞xnn2n.
3. Разложите в ряд Маклорена функцию fx=ln1+5x.Вариант 2.
1. Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда: а) n=1∞(-1)n+1∙n4n-1;
б) n=1∞(-1)n-1∙1n∙3n.
2. Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞xnnn.
3. Разложите в ряд Маклорена функциюfx=cosx3.Вариант 3.
Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда: а) n=1∞(-1)n+1∙n6n-1;
б) n=1∞(-1)n-1∙1(n+1)∙2n.
2. Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞nn2nxn3. Разложите в ряд Маклорена функцию fx=e4x.Вариант 4.
Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда: а) n=1∞(-1)n-1∙13n+1;
б) n=1∞(-1)n+1∙1(4n-1)2.
2. Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞xn(N+1)3n.
3. Разложите в ряд Маклорена функцию fxsin5x.Самостоятельная работа №20 . Векторы. Операции над векторами.
Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.
Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой

Рис 1.Сложение векторов Определение   Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис.1). Сложение векторов в соответствии с рисунком называется сложением по правилу параллелограмма      
Разностью векторов a и b называется сумма .         

Рис2.Правило треугольника Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 2. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис.3Умножение вектора на число
Определение Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием
1) и, если , то еще двумя условиями:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .
Произведение вектора a на число обозначается ( рис 3).
  Вариант 1.
1. Даны векторы: a2;-4;3, b-3;12;1. Найдите с=a+b.
2. Даны векторы: a1;-2;0, b-3;6;0, с0;-3;4. Найдите координаты вектора p, заданного своим разложением p = 2a - 13b - c.
3. Найдите значения m и n, при которых векторы a6;n;1 и bm;16;2.
4. Найдите: а) координаты вектора AB,
б) координаты точки С, которая является серединой отрезка АВ, если А(5; -1; 3), В(2;-2; 4).
5. Даны векторы b3;1;-2 и с1;4;-3. Найдите: а)2b-с, б) bc.
Вариант 2.
Даны векторы: a3;-5;4, b-2;13;-1. Найдите с=a+b.
Даны векторы: a2;-1;1, b3;4;0, с-1;0;2.
Найдите координаты вектора p, заданного своим разложением p = 2a + 23b - c.
Найдите значения m и n, при которых векторы a2;n;1 и bm;12;3.
Найдите: а) координаты вектораCD, б) координаты точки A, которая является серединой отрезка CD, если C(6; 3; - 2), D(2; 4; 5).
Даны векторы a5;-1;2 и b3;2;-4. Найдите: а)a-2b, б)a ∙b.
Вариант 3.
Даны векторы: a-1;3;-3, b12;-2;1. Найдите с=a+b.
Даны векторы: a3;-2;1, b-2;4;-2, с-3;6;0. Найдите координаты вектора p, заданного своим разложением p = a + b - 13c.
Найдите значения m и n, при которых векторы a3;n;3 и bm;2;1.
Найдите: а) координаты вектора AB, б) координаты точки С, которая является серединой отрезка АВ, если А(3; -2; 0), В(1; 2; -1).
Даны векторы b4;-1;2 и с2;5;-3. Найдите: а)2b-с, б) bc.
Вариант 4.
Даны векторы: a6;-4;0, b-2;-1;-2. Найдите с=a+b.
Даны векторы: a-3;-1;6, b2;3;0, с1;-2;-12. Найдите координаты вектора p, заданного своим разложением p = -13a - b + 2c.
Найдите значения m и n, при которых векторы an;3;18 и b2;m;6.
Найдите: а) координаты вектораCD, б) координаты точки A, которая является серединой отрезка CD, если C(9; -2; 3), D(-5; -1; 6).
Даны векторы a3;-2;1 и b7;-4;2. Найдите: а)a-2b, б)a ∙b.
Практическое задание № 21. Прямая на плоскости.
Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение прямой
    а) a = 0, b ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси абсцисс и пересекающую ось ординат в точке с координатой
    б) b = 0, a ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке с координатой
    в) c = 0. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.
2. - уравнение прямой, проходящей через 2 точки (х1, у1); (х2, у2).
3. - параметрические уравнения прямой4. - уравнение прямой, проходящей через точку А(х0, у0) и направляющий
5. - уравнение прямой в отрезках
6. А(x-х0) + В(y-у0) = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку А(х0, у0) и нормальный вектор
Составление уравнений прямых и кривых 2-го порядка, их построение.
Проверьте принадлежат ли точки А(3; 14), В(4; 13), С(-3;0), Д(0; 5) прямой 7x-3y+21=0.
Постройте прямые: 1) x = 5; x = -3, x=0; 2) y = 4, y = -2, y = 0.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(2; -4) и перпендикулярной вектору n= (4; 2).
Вычислите длину отрезка прямой 3x + 4y – 24 = 0, заключенного между осями координат.
На прямой 2x + y – 6 = 0 найдите точку М, равноудаленную от точек А(3; 5) и В(2; 6).
Вычислите углы наклона к оси Ох для прямых: 1) у = х; 2) у = -х.
Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат, если её угловой коэффициент: 1) k = 6; 2) k =-2.
Найдите острый угол между прямыми 5х – 2у -16 = 0 и 3х+4у – 12 = 0.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; -4) параллельно прямой 2х -3у + 16 = 0.
Проверьте, перпендикулярны ли следующие прямые:
1) 3х – 4у + 12 = 0 и 4х+ 3у – 6 = 0;
2) 4х + 4у – 8 = 0 и 3х – 2у + 4 = 0.
Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 1), В (-2; 6), С (-5; -2).
Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках В1(-8; 0) и В2(8; 0), а фокусы - в точках F1(0; -6) и F2(0; 6).
Составьте уравнение гиперболы, если её вершины находятся в точках А1(-3; 0) и А2(3; 0), фокусы – в точках F1(-5; 0) и F2(5; 0).
Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если её директрисой служит прямая х = -3.
Самостоятельная работа №22.
Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
Определение Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Пример 1   Нарисуйте кривую .
Решение. Выделив полные квадраты, получим

Итак, центр окружности -- , радиус равен 2

Определение Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
 
Определение Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии - центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.         Пример 2   Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.
Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение
, .


, . Фокусы -- , , эксцентриситет --        
Определение   Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.      

, - асимптоты гиперболы
Определение   Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением, с осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками (0, -в) и (0,в) называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом Пример 3   Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет.
Решение. Разделим обе части уравнения на 4. , .
Проводим асимптоты и строим гиперболу.

. Тогда фокусы -- , , .  Определение 12.7   Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.     
директриса имеет уравнение  Пример 4   Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.
Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, 2р=3, р=1,5. Для построения найдем несколько точек параболы.. Возьмем точки , , .

Фокус F лежит на оси Ох на расстоянии от вершины, то есть имеет координаты (0,75;0). Директриса имеет уравнение , то есть х=-0,75.     
Вариант 1.
В треугольнике АВС ВМ – медиана, А(-1; 2; 2), В(2; -2; -1).
Найти: а) координаты точки С; б) длину стороны ВС.
Вычислить угол между прямыми АВ и СD, если А(3; 1; 0), В(0; 0; 22), С(0; 2; 0), D(3; 1; 22).
Составьте уравнение окружности с центром в точке (-3; 0) и проходящей через
точку (2; 4).
Составьте уравнение гиперболы, если её вершины находятся в точках (-3; 0) и (3; 0), а фокусы – в точках (-35; 0) и (35; 0).
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(-2; 3; 4) и параллельной плоскости x +2y -3z + 4= 0.
Вариант 2.
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, А(1; 3; -1), В(-2; 1; 0), О(0; 1,5; 0). Найдите: а) координаты точки С; б) длину стороны ВС.
Вычислить угол между прямыми АВ и СD, если А(6; -4; 8), В(8; -2;4), С(12; -6; 4), D(14; -6; 2).
Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (0; -8) и (0; 8), а фокусы - в точках (-5; 0) и (5; 0).
Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси ОХ, если её действительная ось равна 26, а мнимая ось равна 42.
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1; 3) и параллельной вектору k-2;2;1.
Вариант 3.
В треугольнике АВС ВМ – медиана, А(-2; 4; 4), В(4; -4; -12), М(2; 2; -2). Найти: а) координаты точки С; б) длину стороны ВС.
Вычислить угол между прямыми ВА и ВС, если А(-1; 4; 1), В(3; 4;-2), С(5; 2; -1).
Составьте уравнение окружности с центром в точке (5; -7) и проходящей через точку (2; -3).
Составьте уравнение гиперболы, если её вершины находятся в точках (-3; 0) и (3; 0), а фокусы – в точках (-5; 0) и (5; 0).
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 2; -2) и параллельной плоскости x +2y -3z = 0.
Вариант 4.
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, А(2; 6; -2), В(-4; 2; 0), О(0; 3; 0). Найдите: а) координаты точки С; б) длину стороны ВС.
Вычислить угол между прямыми АВ и СD, если А(3; -2; 4), В(4; -1;2), С(16; -3; 2), D(17; -3; 1).
Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (0; -6) и (0; 6), а фокусы - в точках (-3; 0) и (3; 0).
Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси ОХ, если её действительная ось равна 24, а мнимая ось равна 40.
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 2; 1) и параллельной вектору k-2;3;1.7. Критерии оценки:
7.1. Теоретические задания.
Формы проверки выполнения теоретического задания: устный или письменный развернутый ответ.
Оценивание – по 5-балльной системе:
оценка «5» (отлично) выставляется, если дан развернутый ответ (необходимые определения и формулы), подкрепленный приведенными примерами;
оценка «4» (хорошо) – если приведены формулы и дано верное определение.
7.2. Практические задания.
Процент результативности (правильных ответов) Оценка уровня подготовки
балл (отметка) вербальный аналог
90 ÷ 100 5 отлично
80 ÷ 89 4 хорошо
70 ÷ 79 3 удовлетворительно
менее 70 2 неудовлетворительно
8. Перечень материалов, оборудования и информационных источников, используемых при проведении текущего контроля.
Основные источники:
Башмаков М.И. «Математика»: учебник для СПО М: ОИЦ «Академия», 2010г ;Мордкович А.Г. и др. «Алгебра и начала анализа», профильный уровень, учебник и задачник, М: Мнемозина, 2007г ;С.Г. Григорьев и др. «Математика»: учебник для СПО – М: ОИЦ «академия», 2011г ;А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа»: учебник – М: Просвещение, 2005г ;Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике»: учебное пособие для СПО, М: Высшая школа, 2010г.
В.А. Гусев и др. «Математика», учебник для профессий и специальностей социально - экономического профиля. М. ,изд. «Академия», 2010г.
Дополнительные источники:
В.С. Шипачев и др. « Основы высшей математики», учебник, М. «Высшая школа», 2003г.
П.Е. Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах», в двух частях, М. «Высшая школа», 2007г
Интернет –ресурсы
Академик, большая научная энциклопедия, Матрицы
http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/165884/Матрица
Образовательные математические сервисы метод Крамера решения систем уравнений)http://www.webmath.ru/web/prog12_1.phpВысшая математика – просто и доступно! Матричный метод решения систем уравнений
http://www.mathprofi.ru/pravilo_kramera_matrichnyi_metod.htmlВысшая математика – просто и доступно! Задачи с производной
http://www.mathprofi.ru/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi.htmlВысшая математика – просто и доступно! Ряды
http://www.mathprofi.ru/ryady_dlya_chajnikov.htmlВысшая математика – просто и доступно! Комплексные числа
http://www.mathprofi.ru/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov.htmlВысшая математика – просто и доступно! Дифференциальные уравнения
http://www.mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.htmlВысшая математика – просто и доступно! Уравнение прямойhttp://www.mathprofi.ru/uravnenie_pryamoi_na_ploskosti.htmlБиблиотека «Учёба легко»! Уравнения окружности, эллипса
http://uchebalegko.ru/lections/viewlection/uravneniya_okrujnosti_i_pryamoy/lec_ellips