Рабочая тетрадь по темеРешение тригонометрических уравнений
Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством преподавателя) изучение обучающимися темы «Тригонометрические уравнения».
Структура рабочей тетради соответствует разделам «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов.
Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие тригонометрического уравнения», «Частные случаи тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических уравнений».
В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно.
Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний обучающихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.
Содержание
1. Решение уравнений вида cos x = a
2. Решение уравнений вида sin x = a
3. Решение уравнений вида tg x = a
4. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному
5. Решение однородных тригонометрических уравнений
6. Проверь себя
Решение уравнений вида cos x = a
Уравнение cos x = a имеет решение, если
·1
· a
· 1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Учитывая периодичность функции косинус, получим множества корней уравнения cos x = a:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Частные случаи решения уравнения cos x = a.
Уравнение
Решение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 1. ______________
Значение а при решении уравнения cos x = a откладывается на оси ______
В каком промежутке находится arccos a ? _______________________
Arccos (- а) = ________________________________________
Решение уравнения cos x = 1 _______________________________________
Решение уравнения cos x = - 1 ________________________________________
Решение уравнения cos x = 0 _________________________________________
Обрати внимание на решение примеров:
cos x = 13 EMBED Equation.3 1415 cos x = - 13 EMBED Equation.3 1415
х = 13 EMBED Equation.3 1415 arccos 13 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z х = 13 EMBED Equation.3 1415 arccos (-13 EMBED Equation.3 1415) + 213 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z
т.к. arccos 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, то т.к.. arccos (- 13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, то
х = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z х = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z
Попробуй решить сам:
cos x = 13 EMBED Equation.3 1415 cos x = - 13 EMBED Equation.3 1415
________________________ __________________________
_______________________ _
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ЗАПОМНИ!
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение уравнений вида sin x = a
Уравнение sin x = a имеет решение, если
·1
· a
· 1.
x1 =
·1; x2 =
·2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Учитывая периодичность функции синус, получим множества корней уравнения
sin x = a:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Частные случаи решения уравнения sin x = a
Уравнение
Решение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение уравнений вида tg x = a
Уравнение tg x = a имеет решение при любом а, так как область значений тангенса вся числовая ось.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Значит, уравнение tg x = a на этом интервале имеет единственный корень. Учитывая, что тангенс периодическая функция, то множества решений уравнения записывают так:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
tg x это ордината точки Т, пересечения прямой ОР1 с линией тангенсов Р0Т.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В каком промежутке находится arctg a? _________________________________
Общая формула для решения уравнения tg х = а _________________________
arctg (-а) = __________________________________________
Обрати внимание на решение примеров:
Tg x = 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Т.к. arctg 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, то т.к. arctg (- 13 EMBED Equation.3 1415)= - 13 EMBED Equation.3 1415, то
x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Попробуй решить сам:
Tg x = 13 EMBED Equation.3 1415
_________________________________
_________________________________
_______________________________
Tg x = -1
_______________________________
______________________________
ЗАПОМНИ!
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
ТЕБЕ ПРИГОДИТСЯ!!!
Справедливы соотношения:
SIN13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415= 1 - COS13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (1);
COS13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415= 1 - SIN13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (2).
Формулы корней уравнения:
Sin x = a
(3)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
cos x = a
(4)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
tg x = a
(5)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
ах13 EMBED Equation.3 1415 + bx + c =0
x =13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному.
Рассмотри решение следующих уравнений:
8 sin2 x – 6 sin x – 5 = 0;
Введём обозначение Sin x = a, тогда данное уравнение можно записать в виде 8а13 EMBED Equation.3 1415– 6а – 5 = 0.
Решаем это квадратное уравнение относительно а.
а = 13 EMBED Equation.3 1415; а13 EMBED Equation.3 1415 = - 13 EMBED Equation.3 1415, а13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, Sin x = - 13 EMBED Equation.3 1415 или Sin x = 13 EMBED Equation.3 1415.
Решим уравнение Sin x = - 13 EMBED Equation.3 1415
х = (- 1)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z .
Решим уравнение Sin x = 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение корней не имеет, так как Sin x не может быть больше единицы.
8cos2 x + 6 sin x - 3 = 0;
Заменяя cos2 x через 1 - SIN13 EMBED Equation.3 1415х, получим 8(1 - SIN13 EMBED Equation.3 1415х) + 6 sin x - 3 = 0;
8 sin2 x – 6 sin x – 5 = 0
Пришли к уравнению, рассмотренному в первом примере.
Попробуй решить сам
3 sin2 x – 5 sin x – 2 = 0;
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2 sin2 x + 3 cos x = 0.
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6 sin2 x – 5 cos x + 5 = 0;
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
cos2 x + 2 sin x + 2 = 0;
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение однородных тригонометрических уравнений
. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла.
Уравнения вида asinx + bcosx = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени;
Уравнения вида asin2х + bcosx sinx+ ccos2x = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Ознакомься с решением примеров:
2sinx - 3cosx = 0
Поделив уравнение на cosx 13 EMBED Equation.3 14150, получим 2 tgх – 3 = 0, решаем это уравнение:
Tgх =13 EMBED Equation.3 1415, х = arctg13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z.
Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 =
·1, y2 =
·3, отсюда
1) tg x = –1, 2) tg x = –3,
x = - 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z . x = - arctg 3+ 13 EMBED Equation.3 1415n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z
Попробуй решить сам:
13 EMBED Equation.3 1415cos x + sin x = 0
_______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
______________________________________________________________
sin x = 2 cos x
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________ ______________________________________________________________
______________________________________________________________
3 sin2 x – 4 sin x cos x + cos2 x = 0;
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
6 sin2 x = 5 sin x cos x – cos2 x
_______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________________________
Запомни!
Алгоритм решения уравнения a sin2+ bcosxsinx+ ccos2x =0
Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2х.
Если этот член содержится, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующем введением новой переменной y =tgx.
Если asin2х не содержится, то уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Решите уравнение, упростив левую часть:
а) cos13 EMBED Equation.3 1415 x - sin13 EMBED Equation.3 1415x = 13 EMBED Equation.3 1415; б) 2 sin13 EMBED Equation.3 1415x cos 2x = 1;
в) sin 3x cos (x + 13 EMBED Equation.3 1415) + cos 3x sin (x + 13 EMBED Equation.3 1415) = 0.
Решите уравнение, сделав подстановку:
а) 2sin13 EMBED Equation.3 1415x – 5sin x + 2 = 0; б) 2 cos13 EMBED Equation.3 1415x + 5 sin x – 4 = 0;
в) cos 2x + 5 sin x – 3 = 0; г) 2 tg x + 2 ctg x = 5.
Решите уравнение методом разложения на множители:
а) 5 sin x + 3 sin 2x = 0; б) sin 7x – sin x = 0;
Решите уравнение, используя однородность:
а) sin x - 13 EMBED Equation.3 1415 cos x = 0;
б) sin13 EMBED Equation.3 1415x – 3 sin x cosx + 2 cos13 EMBED Equation.3 1415x = 0;
в) sin x cos x - 13 EMBED Equation.3 1415 cos13 EMBED Equation.3 1415 x = 0;
13 PAGE \* MERGEFORMAT 141215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native