Материалы для повторения и подготовки к экзамену «(Экономическая задача) задача №19»

Материалы для повторения и подготовки к экзамену «(Экономическая задача) задача №19»
Вспомним:
1) 1% - это 0,01
2) Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:
Число a составляет p% от числа в:
a = b100·p = 0,01bp
Число а увеличили на p%:
a·(1+0,01p)
Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%:
a·(1+0,01p)·(1+0,01q)
Число а уменьшили на p%:
a·(1 - 0,01p)
3) Задачи, связанные с изменением цены
Пусть So – первоначальная цена, S – новая (окончательная ) цена.
Повышение цены на a% n раз на a%
S= So ·(1+0,01a) S= So ·(1+0,01a)n
Понижение цены на a% n раз на a%
S= So ·(1-0,01a) S= So ·(1-0,01a)n
Удобно пользоваться схематичной записью:
112966529972000 So ·(1+0,01a)
22567903111500a%
Sо d%

So ·(1+0,01a)( 1-0,01d)
Пример 1.
Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.Изменилась ли первоначальная цена и если да, то на сколько процентов?
S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)
2693035679450020510521717000So
5% 5%
Sо(1-5·0,01)
S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)= Sо(1-25·0,0001).
Ответ. Понизилась на 25%.
Пример 2.
После двух последовательных понижений цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго пониженения был на 5% больше, чем процент первого?
58737519240500x руб
У%
183197515176500 X(1 – 0,01y)=3200
(y+5)%
2400 руб.
Получаем систему: X(1 – 0,01y)(1-(y+5)·0,01) =2400,X(1 – 0,01y)=3200;
3200·(1-(y+5)·0,01) = 2400;
(1-(y+5)·0,01) = 34; (y+5)·0,01 = 14; y+5 = 25; y=20%
X(1 – 0,01·20)=3200; X·0,8=3200; X=4000.
Ответ: 4000руб; 20%.
Пример 3.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
1 способ.
Долг (руб.) Остаток (руб.)
31.12.2014 г 4 290 000 31.12.2015 г 4 290 000·1,145 = 4 912 050 4 912 050 - Х
31.12.2016 г (4 912 050 – Х) ·1,145= 5 624 297,25 – 1,145Х 5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0
Имеем уравнение: 5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0;
Х=2 622 050.
Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 622 050 руб.
Ответ: 2 622 050 руб.
2 способ.
Ответ: 2 622 050 руб.
Пример 4.
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение.
1 способ.
Долг Остаток
31.12.2014 г 6 902 000рублей 31.12.2015 г 6 902 000·1,125 = 7 764 750 7 764 750- Х
31.12.2016 г (7 764 750– Х) ·1,125=
= 8 735 343,75 – 1,125Х 8 735 343,75– 1,125Х – Х=
=8 735 343,75– 2,125Х
31.12.2017 г (8 735 343,75– 2,125Х) ·1,125 =9 827 261, 71875 – 2,390625Х 9 827 261, 71875 – 3,390625Х
31.12.2018 г (9 827 261, 71875 – 3,390625Х)·
·1,125 = 11055669,43359375-
-3,814453125Х 11055669,43359375-
-4,814453125Х = 0
Имеем уравнение: 11055669,43359375- 4,814453125Х = 0;
Х=2 296 350.
Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 296 350 руб.
Ответ: 2 296 350 руб.
2 способ.
Пусть S – cумма кредита, годовые а%. , в=1+0,01а .
31.12.2015 г. S1 = Sb-X
31.12.2016 г. S2 = S1b-X = (Sb-X)b-X = Sb2 – (1+b)X
31.12.2017 г. S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X=
= Sb3 – b3-1b-1X31.12.2018 г. S4 = S3b-X= Sb4 – (1+b+b2)bX-X= Sb4 – (1+b+b2+b3)X=
= Sb4 – b4-1b-1X.При S=6 902 000, в = 1,125 находим S из уравнения Sb4 – b4-1b-1X=0.Напомним: (a-1)(a2+a+1)= a3-1 отсюда a2+a+1 = a3-1 a-1
(a-1)(а3+a2+a+1)= a4-1 отсюда а3+ a2+a+1 = a4-1 a-1Пример 5.
31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит определенный транш. Антон выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. руб. Под какой процент банк выдал кредит Антону?
Решение. b=1+0,01a
Долг Остаток
31.12.2014 г 1 000 000 руб. 31.12.2015 г 1 000 000 · (1+0,01a)= 1 000 000 + 10 000a 1 000 000 + 10 000a -510 000= = 490 000+10 000a
31.12.2016 г (490 000+10 000a)· (1+0,01a)=100a2+14900a-4900 100a2+14900a-490000-64900=0
100a2+14900a – 159000 - 64900=0;
a2+149a - 1590=0;
a1=10; a2 = -159.
По смыслу задачи a>0, поэтому кредит выдан под 10%.
Ответ: 10%.
Пример 6.
31 декабря 2014 Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за з равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
1 способ.
Долг (руб.) Остаток (руб.)
31.12.2014 г 7 007 000 31.12.2015 г 7 007 000·1,2 = 8 408 400 8 408 400- Х
31.12.2016 г (8 408 400– Х) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Х 10 090 080 – 2,2Х
31.12.2017 г (10 090 080 – 2,2Х)·1,2=12 108 096-2,64Х 12 108 096-3,64Х
12 108 096-3,64Х =0
Х= 3 326 400; 3Х=9 979 200
Долг (руб.) Остаток (руб.)
31.12.2014 г 7 007 000 31.12.2015 г 7 007 000·1,2 = 8 408 400 8 408 400- Y
31.12.2016 г (8 408 400– Y) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Y 10 090 080 – 2,2Y
10 090 080 – 2,2Y =0; Y= 4 586 400; 2Y= 9 172 800
Значит, 3Х-2Y= 9 979 200 - 9 172 800 = 806 400.
Ответ: 806 400 руб.
II способ.
S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X= Sb3 – b3-1b-1XПо условию задачи Sb3 – b3-1b-1X =0, откуда Х = Sb3 (b-1)b3-1S2 = S1b-Y = (Sb-Y)b-Y= Sb2 – (1+b)Y, откуда Sb2 – (1+b)Y=0, Y = Sb2b+1Пример 7. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
1 способ.
Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.
Долг (руб.) Остаток (руб.)
31 декабря 2013 года S 31 декабря 2014 года Sb S1 = Sb-X
31 декабря 2015 года S1 b = (Sb - X)b S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X =
= Sb2 – (1+b)X
31 декабря 2016 года S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X=
= Sb3–(1+b+b2)X=
= Sb 3-b3-1b-1·XПо условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:
Sb3 -b3-1b-1·X =0. Откуда X=Sb3(b-1)b3- 1 .
Ответ. 3 993 000 руб.
Пример 8.В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же φксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Решение.
50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.
Будем рассуждать следующим образом:
Вкладчик ничего не добавляет к первоначальной сумме:
Первоначальная сумма Через
один год Через
два года Через
три года Через четыре года Через
пять лет 3 900 1,5·3 900 1,52·3 900 1,53·3 900 1,54·3 900 1,55·3 900 Первая добавка х рублей была внесена через год:
Первоначальная сумма Через
один год Через
два года Через
три года Через четыре года Через
пять лет
3 900 1,5·3 900 1,52·3 900 1,53·3 900 1,54·3 900 1,55·3 900
х 1,5х 1,52х 1,53х 1,54х
Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х руб.) каждый год:
Первоначальная сумма Через
один год Через
два года Через
три года Через четыре года Через
пять лет 3 900 1,5·3 900 1,52·3 900 1,53·3 900 1,54·3 900 1,55·3 900 3 900·8,25
х 1,5х 1,52х 1,53х 1,54х 3х·6524х 1,5х 1,52х 1,53х х 1,5х 1,52х х 1,5х Через 5 лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика:
а) Добавки принесли доход
1,5х +1,52х +1,53х +1,54х = x(1,5 +1,52 +1,53 +1,54)= Х·1,5(1,54-1)1,5-1 = 3·х·(1,54-1)= 3х·6524.
б) Известно, что размер вклада увеличился на 725%, т.е. увеличился в 8,25 раз
1,55·3 900 +3х·6524 = 3 900·8,25; 3х·6524 =3 900·8,25 - 1,55·3 900;
Х= 210.
Ответ: 210руб.
Примечание: Применим формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии:Sn=b1(qn-1)q-1Пример 9. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
1 способ.
Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.
Долг (руб.) Остаток (руб.)
31 декабря 2013 года S 31 декабря 2014 года Sb S1 = Sb-X
31 декабря 2015 года S1 b = (Sb - X)b S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X =
= Sb2 – (1+b)X
31 декабря 2016 года S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X=
= Sb3–(1+b+b2)X=
= Sb 3-b3-1b-1·XПо условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:
Sb3 -b3-1b-1·X =0. Откуда X=Sb3(b-1)b3- 1 .
Ответ. 3 993 000 руб.
Задача 10. УМК для экспертов
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение. Представим таблицей реальную ситуацию, описанную в условии задачи:
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в процентах от кредита) на начало месяца 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%
Долг (в процентах от кредита) к концу месяца 105 1,05·90=94,5% 1,05·80
=84% 1,05·70
=73.5% 1,05·60
=63% 1,05·50
=52,5% Процент выплаты кредита 105-90
=15% 94,5-80=
14,5% 84-70=
14% 73.5-60
=13,5% 63-50=
13% 52,5%
15%+14,5%+14%+13,5%+13%+52,5% =122,5%
122,5% - 100% = 22,5%
Ответ: 22,5.