Презентация по математике по теме Интеграл и его применение

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Джорж Сантаяна Проблемная конференция «Интеграл и его применение» ИСТОРИКИ;МАТЕМАТИКИ;ФИЗИКИ;ЭКОНОМИСТЫ;ПРОГРАМИСТЫ. Иоган Кеплер Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц Леонард Эйлер Иоганн Бернулли Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка Fґ(х)=f(х). Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(х)+С, Где F(х) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная ln|sin х|+С ctg x -ln|cos x|+С tg х arctg x+С 1/х2+1 аrcsin х+С 1/√1-х2 ех+С ех ln‌|х|+С 1/х ах/ln а+С ах Первообразная F(х) Функция f(х) -ctg х+С 1/sin2 x tg х+С 1/cos2 x sin х+С сos х -cos х+C sin х 2√х+С 1/√х хn+1/n+1+С хn k+С K Первообразная F(х) Функция f(х) Правило 1. Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.Правило 2. Если F есть первообразная для функции f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.Правило 3. Если F(х) - есть первообразная для функции f(х), а k и b – постоянные, причём k≠0, то 1/k·F(kх+b) есть первообразная для f(kх+b). Выражение F(х)+С называется неопределённым интегралом ∫ f(х)dх=F(х)+С Фигуру, ограниченную графиком функции f(х), непрерывной и не меняющей знак на отрезке [а;b], отрезком[а;b] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией. у а) x a b 0 y б) x a b 0 y в) x a b 0 y г) x a b 0 Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [а;b]функция, а F – первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а;b], т.е. S=F(b)-F(а). b ∫ f(х)dхаa, b – пределы интегрирования (а – нижний предел, b – верхний предел);f – подынтегральная функция;х – переменная интегрирования;∫ - знак интеграла. b ∫ f(х)dх=F(b)-F(а) аформула Ньютона-Лейбница. b b ∫f(х)dх= F(х)|=F(b)-F(a) a a Алгоритм вычисленияопределённого интеграла 1. Найти первообразную функцию F(х) для функции f(х). 2. Вычислить значение F(х) при х=b. (b – верхний предел интегрирования). 3. Вычислить значение F(х) при х=а. (а – нижний предел интегрирования). 4. Вычислить разность F(b)-F(а). Алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции. 1. В одной системе координат построить графики данных функций.2. Выделить фигуру, площадь которой нужно найти.3. Найти пределы интегрирования (абсциссы точек пересечения графиков).4. Определить, графиком какой функции ограниченаискомая площадь. b5. Подставить найденные элементы в формулу S=∫f(х)dх, aвычислить интеграл. 6. Записать ответ. Ответы на вопросы теста Вариант 1.1. F΄(х)=f(х). b2. ∫f(х)dх=F(b)-F(а). а 33. S=∫(-х2+4х)dх. 1 4. в) 5. а) . Вариант 2. 1.F(х)+С. b2. S=∫f(х)dх. а 53. S=∫(3х+3)dх. 24. б) 5. б) Критерий оценкивыполнения теста: за 5 правильно выполненных задания – оценка «5»за 4 правильно выполненных задания – оценка «4»за 3 правильно выполненных задания – оценка «3»за 1-2 правильно выполненных задания – оценка не ставится, вам требуется дополнительная консультация. Вычисление пути, пройденного материальной точкой. t2 S=∫v(t)dt t1 Работа переменной силы. b А=∫ f(х)dх а Если f(t) – производительность труда в момент t, то T Q=∫f(t)dt0 есть объём выпускаемой продукции за промежуток [0;T].