Пособие по алгебре и началам анализа в профильных классах старшей школы
МОУ «Киреевская районная гимназия»
Тульской области
Кафедра физико-математических наук
Научно - методическое пособие
по алгебре и началам анализа
в профильных классах
старшей школы
Составитель: Дюжина А.С., учитель математики
г. Киреевск, 2005 год
В данном учебном пособии приведены примеры решения задач, входящих в разряд повышенной сложности по темам курса алгебры и начал анализа для 10 - 11 классов всех профилей, дополнительных тем углубленно-
го изучения данного курса в классах физико - математического профиля.
Материал разбит на темы. В начале каждой темы дана краткая справочная информация. Каждую тему сопровождают типовые задачи с решениями.
Овладение предложенными методами решения способствует выработке навыков самостоятельного поиска нестандартных решений. Для закрепления полученных знаний и умений предложены задачи для самостоятельного решения, даны рекомендации по составлению контрольных работ.
Пособие может быть использовано на уроках алгебры и начал анализа в профильных физико - математических классах, при подготовке к олимпиадам, экзаменам.
Тема I
Тригонометрические функции числового аргумента.
Свойства и графики функций.
Информация.
1.Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.
2. Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то она соответствует и числу вида t + 2Пk, где k - любое целое число.
3. Если функция y = f (x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить часть его на любом промежутке длины Т , а затем сдвинуть эту часть по оси x вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т. д.
4. Построение графика функции y = f (kx), где k < 0 осуществляют в три шага:
1) построить график функции y = f (x) ;
2) произвести его сжатие (растяжение) к оси y с коэффициентом IkI;
3) сжатый (растянутый) график подвергнуть преобразованию симметрии
относительно оси y.
5. При построении графика функции y = f IxI строят график функции y = f (x) для x>0 и отображают его симметрично оси y.
6. При построении графика функции y = If (x)I отображение части графика функции y = f(x), лежащей под осью х , происходит симметрично оси x.
7. Для графика функции IyI = f (x) берут часть графика функции y = f (x) (f (x)>0 ) и проводят преобразование симметрии относительно оси x.
1, если x > 0,
8. Функция y = sgn x такова: f (x) = sgn x = 0, если x = 0,
-1, если x < 0.
Упражнения для самостоятельного решения:
1. Постройте график функции:
а) y = sin ( x + П /3) - 1;
б) y = - sin ( x – П /6) + 2;
в) y = I- 1/2 cos x I;
г) y = cos IxI /2 – 3;
д) y = -3cos ( 2x + П/3);
е) y = - tg ( x – П/2);
ж) y = I- tg xI + 1;
( 3sin x, если х < П/2,
з) f (x) = ( 2cos x, если х > П/2.
( -2cos x, если х < 0,
и) f (x) = ( 1/2 x, если х > 0.
2. Вычислите:
а) sgn ( x2 – 4x + 3);
б) sgn ( x3 – 2x2 – x + 2);
в) sgn ( 2х3 + 15х2 + 36х + 27);
2x - 1
г) sgn x - 2 .
В контрольные работы N 1 и N 2 рекомендуется включить задания:
1. Постройте график функции:
а) y = sin ( х – П);
б) y = cos (х + 3П/2);
в) y = -2sin x;
г) y = 1 – cos x;
д) y = I sin 2xI ;
е) y = cos IxI – 3.
2. Постройте часть графика функции:
а) y = sin x на [ -2П; 0 ];
б) y = cos x на [ П/6 ; П/6 + 2П ];
в) y = ctg x на ( 0; 2П);
г) y = tg x на (-П/2; 3П/2).
3. Найдите наибольшее (наименьшее) значение выражения:
а) 3cos x + 5sin x;
б) 4cos x + 7sin x.
4. Докажите, что при всех значениях х :
а) -8 < 3cos x + 5sin x < 8;
б) -11 < 4cos x + 7sin x < 11.
Тема II
Тригонометрические уравнения и неравенства.
Информация.
1. Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций.
2.Уравнение вида asinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида asin2 x + bcosx sinx + ccos2 x = 0 называют
однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
3. Методы решения тригонометрических уравнений:
а) введение новой переменной;
б) замена тригонометрической функции на другую с использованием
тригонометрических формул;
в) деление на синус (косинус) в степени, равной степени уравнения;
г) разложение левой части уравнения на множители;
д) нестандартные методы.
Упражнения для самостоятельного решения:
1. Решите уравнение:
а) V 2 sin 2 x/2 ( 1+cosx) = - sin (-x) – 5cosx ;
б) x - 2П = arcsin (3sinx + 1 );
в) сos2x + 4cos2 x – 2sin2x = sinx + cosx ;
sinx - cosx
г) Isin2xI = I V3 cos2xI;
д) V3 сtgx = 2 IcosxI;
е) IcosxI = 2cosx – V3 sinx;
ж) V16 – x2 sinx = 0;
з) ( V2 cosx – 1) V 4x2 – 7x + 3 = 0.
2. Найдите число корней уравнения:
а) ( 1/ sin2 x – 1) V x – x2 + 30 = 0;
б) ( sinx – 1/2) ( sinx + 1 ) = 0 на отрезке [ 0; 2П] ;
в) ( cosx + 1/2) ( cosx – 1) = 0 на отрезке [0; 2П ] ;
г) cosx = V3/2 на отрезке [ -П; П ] .
3. Решите неравенство:
а) sin2 x – 6sinx cosx + 5cos2 x > 0;
б) sin2 x – 6sinx cosx + 5cos2 x < 0.
4. Найдите область значений функции:
а) y = sinx + V – cos2 x;
б) y = cos3x + V cos2 3x – 1;
в) y = sin2x + V sin2 4x – 1.
В контрольную работу N 3 рекомендуется включить любые два из этих заданий.
Тема III
Введение в анализ.
Информация.
1. Пусть a - точка прямой, r - положительное число. Интервал (a-r; a+r ) называют окрестностью точки а, число r-радиусом окрестности.
2. Число b называют пределом последовательности ( уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
3. Равенство lim f(n) = b
n ~ означает, что прямая y = b является горизонтальной
асимптотой графика последовательности yn = f(n), т. е. графика функции y = f(x), x c N.
4. Если последовательность сходится ( имеет «точку сгущения»), то только к одному пределу.
5. Если последовательность сходится, то она ограниченна.
6. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.
7. Вычисление пределов:
1) предел суммы равен сумме пределов;
2) предел произведения равен произведению пределов;
3) предел частного равен частному пределов;
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела.
8. Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется соотношение lim f(x) = f(a).
x a
(Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если в этой точке выполняется следующее условие: если х 0, то y 0.)
9. Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
10. Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).
11. Для вычисления предела функции в точке, как и для предела на бесконечности, используют правила «предел суммы», «предел произведения», «предел частного».
12. Если функция разрывается в точке, определенной для нахождения предела, то её заменяют на тождественную, непрерывную в этой точке.
Тема IV
Первообразная и интеграл.
Информация.
Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство F’(x) = f(x).
Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.
Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции y = f(kx + m) служит функция y = 1/k F(kx + m).
Если y = F(x) – первообразная для функции y = f(x) на промежутке X , то у функции y = f(x) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y = F(x) + C.
Множество функций вида y = F(x) + C называют неопределенным интегралом от функции y = f(x) и обозначают
F(x)dx ( читают: неопределенный интеграл эф от икс дэ икс )
Геометрический смысл определенного интеграла – площадь
криволинейной трапеции, ограниченной линиями
y = f(x), y = 0, x = a, x = b.
Формула Ньютона – Лейбница :
b b
f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a).
a a
Тема V
Комплексные числа.
Информация.
1. Определение:
Числа вида a + bi , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.
Комплексными числами называются выражения вида a + bi, где а и b – действительные числа а i- некоторый символ, если для этих выражений следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения:
a + bi = c + di, если a = c, b = d
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a +bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
3) Комплексным числом z называют пару (а;b) действительных чисел a и b, взятых в определенном порядке. (a;b) и (c;d) задают одно и то же комплексное число в том и только в том случае, когда a = c , b = d.
2. Алгебраическая форма комплексного числа:
a + bi
a – действительная часть, bi – мнимая часть.
Если b = 0, то z = a – действительное число.
Если a = 0, то z = bi – чисто мнимое число.
3. ( a + bi) и ( a – bi) – сопряженные комплексные числа.
4. При нахождении частного комплексных чисел числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю.
5.Тригонометрическая форма комплексного числа:
z = cosx + isinx
x – аргумент комплексного числа,
r = IzI = V a2 + b2 – модуль.
cosx = a/r , sinx = b/r.
Любое комплексное число имеет бесконечное число аргументов (x + 2Пк, к c Z),
при к = 0 х – главное значение аргумента.
(r ; x) – полярные координаты точки z при геометрической интерпретации комплексного числа как вектора.
z1 z2 = r1 r2 ( cos(x1 + x2) + i sin(x1 + x2 ) ),
z1 / z2 = r1 / r2 ( cos(x1 – x2 ) + i sin(x1 – x2) ),
сложение и вычитание комплексных чисел в тригонометрической форме производится по законам сложения и вычитания векторов.
6. Показательная форма комплексного числа:
z = r eix (по формуле Эйлера)
7. Формула Муавра:
zn = rn (cosxn + isinxn)
nVz = nV r (cosx + i sinx)
8. i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
i5 = i
i6 = -1
i7 = -i
i8 = 1
i9 = i
---------
9.Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами:
Z1,2 = + V a2 + b2 + a + i sgnb V a2 + b2 – a
V 2 V 2
15