Салу есептерін шешу ?дістері бойынша о?у — ?дістемелік ??рал
Мазмaны:
Кiрiспе
1 тарау. ГеометриялыK салулар теориясыныS кейбiр м‰селелерi
1. Конструктивтi геометрияныS негiзгi aCымдары мен аксиомалары
2. ГеометриялыK салу Kaралдары
3. Салу есептерi
4. Jарапайым геометриялыK салулар
5. Салу есептерiн шешу ‰дiстемесi
6. Салу есептерiне мысалдар
2 тарау. Салу есептерiн шешу ‰дiстерi
§1. НГО ‰дiсi
1.1 НГО aCымы
1.2 Jарапайым НГО
1.3 НГО iздеу
1.4 НГО ‰дiсiмен шешiлетiн геометриялыK салуларCа мысалдар
§2. Т_рлендiрулер ‰дiсi
2.1 Параллель к™шiру ‰дiсi
2.2 Осьтiк симметрия ‰дiсi
2.3 Центрлiк симметрия ‰дiсi
2.4 Бaру ‰дiсi
2.5 `Kсас т_рлендiру ‰дiсi
2.6 Т_рлендiрулер ‰дiсiмен шешiлетiн геометриялыK салуларCа мысалдар
§3. АлгебралыK ‰дiс
3.1 Карапайым формулалармен берiлген негiзгi кесіндiлердi салу
3.2 Квадрат теSдеудiS т_бiрлерiн тaрCызу
3.3 Тригонометриялык т_рде ™рнектелген кесiндiнi салу
3.4 АлгебралыK ‰дiс бойынша шешiлетiн салу есептерiне мысалдар
§4. Инверсия ‰дiсi
4.1 ИнверсияныS аныKтамасы, Kарапайым Kасиеттерi
4.2 Инверсияда н_ктенiS образын тaрCызу
4.3 Салу есептерiн инверсия ‰дiсiмен шешу барысында Kолданылатын
теоремалар
4.4 Аполлоний есебi
4.5 Инверсия ‰дiсiмен шешiлетiн салу есептерiне мысалдар
ПайдаланылCан ‰дебиеттер
Кіріспе
ГеометриялыK салуларCа б.э.д. VI - V Cасырларда ежелгi грек математиктерi ерекше назар аударCан. Пифагор (б.э.д.VI C) ж‰не оныS ш‰кiрттерi, Гиппократ (б.э.д. V C), Евклид, Архимед, Аполлоний (б.э.д. III C), ежелгi отырарлыK €л-Фараби (870 – 950 ж.ж.) геометрияныS осы саласына ™з _лестерiн Kосып, оны дамытты.
Пифагор мектебiнiS математиктерi дaрыс бесбaрыш салу сияKты к_рделi есептердi шеше бiлдi. Б.э.д. V Cасырда д™SгелектiS квадратурасы, кубты екi еселеу, бaрыштыS трисекциясы секiлдi атаKты есептер пайда болды. Циркуль мен сызCыштыS к™мегiмен салынбайтыны белгiлi болCан бaл есептер к™птеген Cасырлар бойы зерттеушiлердiS назарында болCан.
ГеометрияныS ж‰не математиканыS кейбiр басKа салаларыныS тарихы геометриялыK салулар теориясыныS дамуымен тыCыз байланысты болды. Б.э.д. 300 жылдары KaрылCан Евклид геометриясыныS «кез-келген н_ктеден кез-келген н_ктеге дейiн т_зу сызыK ж_ргiзуге болады», «шектелген т_зудi керегiнше (шексiз) созуCа болады», «кез–келген центрден кез–келген ™лшеммен шеSбер сызуCа болады» т.б. аксиомалары геометрияныS кaрылуында салулардыS ролi KаншалыKты маSызды болCандыCын к™рсетедi.
ГеометриялыK салулар ІХ – ХV Cасырларда Араб ж‰не Таяу ШыCыс елдеріндегі aлы математиктердіS де назарында болды. €л – ФарабидіS «ТабиCат сырын геометриялыK фигуралар арKылы танытарлыK рухани айла ‰рекеттері» деп аталатын шыCармасы т_гелдей геометрия м‰селелеріне арналып, 150 – ге тарта салу есептері шыCарылCан. Он бес есеп сызCыш пен адымы тaраKты циркуль арKылы шешіледі. €л – ФарабидіS негізгі жетістігі - ‰р жерде шашырап ж_рген геометриялыK салу есептері туралы материалдарды жинастырып, ж_йеге келтірген «принциптер» таCайындады ж‰не геометрияныS белгілі бір саласына айналдырды.
ХVІ Cасырда салу есептерін шешумен aлы суретші Cалым Леонардо да Винчи (1452 – 1519) айналысKан. ОныS салуларында, тіпті €л – Фарабимен д‰л келетін жерлері бар. €л–Фараби, €бу ‰л Вафа, Леонардо да Винчи, т. б. Cалымдардан басталCан геометриялыK салу есептерін ж_йелеу ‰рекеттері XVIIІ – XІX Cасырларда белгілі математиктер Э. Маскерони, Я. Штейнер еSбектерінде ™з жалCасын тауып, Kазіргі конструктивтік геометрияныS Kалыптасуына бастама болды.
Дегенмен, ортаCасырларда конструктивтi геометрия м‰селелерiмен к™птеген математиктер еSбектенсе де, бaл салада айтарлыKтай ™згерiстер болмады. Тек XVII-XX C.C. математиканыS жаSа салаларыныS ™ркендеуiне байланысты геометриялыK салулар теориясы дами бастады. Бiр жаCынан, конструктивтi геометрияныS м‰селелерi жаSа математикалыK теориялар мен ‰дiстердiS ™ркендеуiне ыкпалын тигiздi. €сiресе геометриялыK салулармен тыCыз байланыста дамыCандар: аналетикалыK геометрия, проективтiк геометрия, алгебралыK ж‰не трансценденттiк сандар теориясы, аналетикалыK функциялар теорясы ж‰не т.б.
Р.Декарт (1596-1650), Ньютон (1643-1727), Эйлер (1707-1783), Гаусс (1744-1808), Ферма, т.б. математиктер конструктивтi есептермен шa-CылданCан. М‰селен, Декарт ж‰не Ньютон конустыK KиманыS к™мегiмен бaрыштыS трисекциясы туралы есептi шешсе, Ньютон мен Эйлер Аполлоний есебiн шешудiS ™з ‰дiстерiн жасады. XVIIІ – XІX Cасырларда белгілі матема-тиктер Э.Маскерони, Я.Штейнер еSбектері Kазіргі конструктивтік геометрия-ныS Kалыптасуына бастама болды.
XIX - XX Cасырларда геометриялыK салулар теориясында к™птеген еSбектер жазылды. Ф.Клейн мен ЭнриквестiS «ГеометриялыK салулар теориясы» кiтабы, Лебег пен БибербаханыS, А.АдлердiS еSбектерi жарияланды. 1881 жылы жарыKKа шыKKан И.И.АлександровтыS «Гео-метриялыK салу есептерiн шешу ‰дiстерi» атты кiтабы еS _здiк туындылардыS бiрi болды. ГеометриялыK салулар теориясыныS дамуы физикадаCы, сызудаCы кейбiр м‰селелердi шешуге к™мектестi. Мысалы, физикалыK шамалардыS ™згерiсiн графиктiк жолмен сипаттауда, геометриялыK фигуралардыS сызбаларын орындауда Kолданылды. Инженерлер мен техниктер кейбір практикалыK жaмыстарды графиктер мен сызбалардыS к™мегімен орындады.
Математиканы оKытуда салу есептерiне аса к™Siл б™лiнедi, себебi ондай есептер мазмaны жаCынан да, Kaрылымы жаCынан да оKушыларCа т_сiнiктi. Бaл - наCыз шаCын математикалыK зерттеу. ГеометриялыK салулар оKушыныS математикалыK белсенділігін, кеSiстiкті елестету тапKырлыCы мен алCырлыCыныS дамуына, яCни болашаK маман иесiне Kажет KасиеттердiS дамуына ‰сер етедi. Салу есептерiн шешу барысында «кескіндеу сауаттылыCыныS» теориялыK ж‰не практикалыK негiздерi Kалыптасады, яCни оKушы есептi шешудiS жиi Kолданылатын ‰дiстерi мен ‰рт_рлi шарттарCа с‰йкес Kолданылатын Kaрал - жабдыKтармен танысады. Бaл, ‰детте, есептi формальды KабылдауCа жол бермейдi. Мектептегі геометрия курсыныS ‰рбір тарауыныS соSында салу есептерін шешу оKушыларды осы таKырыпты тереS меSгеруіне ‰сер етеді.
1 тарау. ГеометриялыK салулар теориясыныS
кейбiр м‰селелерi
1. Конструктивтi геометрияныS негiзгi aCымдары мен аксиомалары
ГеометриялыK салуларды оKытатын геометрияныS б™лiмi конструктивтi геометрия деп аталады. Конструктивтi геометрияныS негiзгi aCымы геометриялыK фигураны салу болып табылады. Бaл aCым аныKтамасыз Kабылданады. ОныS наKты маCынасы практикада жиi Kолданылатын «сызу» (сызыKты), «ж_ргiзу» (шеSбер немесе т_зуді), «к™рсету» (н_ктенi) ж‰не т.б. с™здерiнiS маCынасымен пара - пар.
Конструктивтi геометрияныS негiзгi талаптары (постулаттар) сызба жaмысыныS еS басты кезеSдерiн абстрактылы т_рде бейнелейдi. Олар д‰лелсiз KабылданCан аксиомалар болып табылады ж‰не конструктивтi геометрияны логикалыK негiздеуде Kолданылады. Постулаттарды салу Kадамдары деп те атайды. Олар мыналар:
П1. ТaрCызылCан екі н_кте арKылы т_зу салу.
П2. Берілген н_ктені центр етіп алып, берілген радиуспен шеSбер салу.
П3. ТaрCызылCан параллель емес екі т_зудіS Kиылысу н_ктесін салу
П4. Егер тaрCызылCан шеSбер мен т_зу Kиылысатын болса, олардыS Kиылысу н_ктесін салу.
П5. Егер тaрCызылCан екі шеSбер Kиылысса, олардыS Kиылысу н_ктесін салу. Ендi геометриялыK салулар теориясыныS аксиомаларын KарастырайыK:
I. Jандай да бiр фигура «берiлген» болса, онда ол салынCан (тaрCызылCан) деп есептелiнедi.
II. Егер екі (немесе одан да к™п) фигура салынса , онда осы фигуралардыS бiрiгуi де салынCан болып есептеледi.
III. Егер екi фигура салынса, онда олардыS айырмасы кaр жиын болу-болмауын аныSтауCа болады
IV. Егер салынCан екi фигураныS айырмасы кaр жиын болмаса, онда бaл айырма да салынCан.
V. Егер екi фигура салынса, онда олардыS Kимасы кaр жиын болатын -болмайтынын аныKтауCа болады.
VI. Егер салынCан екi фигураныS Kимасы кaр жиын болмаса, онда бaл Kима да салынCан болып есептеледi.
VII. ТaрCызылCан екi фигураныS кез-келген саны шектi ортаK н_ктелерiн салу-Cа болады, егер олар бар болса.
VIII. ТaрCызылCан фигураCа тиiстi н_ктенi салуCа болады, егер олар бар болса.
IX. ТaрCызылCан фигураCа тиiстi емес н_ктенi салуCа болады.
I - IX аксиомалары конструктивтi геометрияныS жалпы аксиомалары деп аталады.
2. ГеометриялыK салу кaралдары
Ежелгi грек математиктерi салу есептерiн шешу барысында сызCыш пен циркульды пайдаланCан ж‰не «шын геометриялыK салу» деп, осы екі KaралдыS к™мегімен шешілетін есептерді атады. ЕвклидтіS постулаттарына с‰йкес сызCыш шексіз, ‰рі бір жаKты Kaрал, циркуль кез - келген ™лшемді шеSбер салу Kaралы делінді. Бaлардан басKа да салу Kaралдары болCан. Мысалы, Платон б.э.д. 400 жылдар шамасында кубты екі еселеу туралы есепті екі тікбaрыштыS к™мегімен шешсе, Архимед бaрыштыS трисекциясы туралы есепті тікбaрышты сызCышты Kолданып шешеді. Д‰л осы есепті ‰рт_рлі KисыKтардыS к™мегімен Никомед (конхойданы пайдаланып), Диоклес (циссойданы пайдаланып), Папп ж‰не басKалары шешті.
XVII - XIX Cасырларда геометриялыK салу KaралдарыныS жаSа т_рлері ойлап шыCарылды. Леонардо да Винчи (1452-1549) сызCыш ж‰не тaраKты ашалы циркульдыS к™мегімен шешілетін есептерді, Датчани Мор (1672) мен итальяндыK Маскерони (1779) тек Kана сызCыш пен циркульды Kолданып шешілетін салуларды зерттеген ж‰не олардыS ішінде тек циркульмен шешілетіндерін тапKан. Осындай зерттеулердіS негізінде салу есептерінде екі жаKты сызCыш, тікбaрыш сияKты Kaралдар Kолданыла бастады. БіраK конструктивтік геометрияныS еS негізгі Kaралдарына бір жаKты сызCыш пен циркуль жатады ж‰не оларды классикалыK Kaралдар деп атайды, ал KалCандары Kосымша Kaралдар болып саналады.
Конструктивті геометрия _шін Kолданылатын KaралдардыS д‰л сипат-тамасы к™рсетілуі керек. Мaндай сипаттамалар аксиомалар т_рінде беріледі.
А. СызCыш аксиомасы
СызCышпен келесі геометриялыK салулар орындалады:
1) тaрCызылCан екі н_ктені Kосатын кесінді салу;
2) салынCан екі н_кте арKылы т_зу ж_ргізу;
3) салынCан н_ктеден бастап екінші салынCан н_кте арKылы ™тетін с‰уле ж_ргізу.
В. Циркуль аксиомасы
ЦиркульдыS к™мегімен мына геометриялыK салулар орындалады:
1) берілген центрі мен радиусKа теS кесіндісі (немесе кесіндініS aштары) бойынша шеSбер салу;
2) берілген центрі мен кез - келген доCасыныS aштары бойынша шеSбердіS доCасын салу.
Циркуль мен сызCыштыS к™мегімен орындалатын негізгі салулар:
1) Берілген екі н_ктені Kосатын кесіндіні салу (А.1);
2) Берілген екі н_кте арKылы т_зу ж_ргізу (А.2);
3) Берілген н_ктеден бастап екінші берілген н_кте арKылы ™тетін с‰уле ж_ргізу (А.3);
4) Берілген центрі мен радиусKа теS кесіндісі (немесе кесіндініS aштары) бойынша шеSбер салу (Б.1);
5) Берілген центрі мен кез-келген доCасыныS aштары бойынша шеSбердіS екі доCасыныS кез-келгенін салу (Б.2);
6) ТaрCызылCан екі фигураныS саны шекті ортаK н_ктелерін салу, егер олар бар болса (акс.VII);
7) Jандай да бір тaрCызылCан фигураCа тиісті н_кте салу (акс.VIII);
8) Jандай да бір тaрCызылCан фигураCа тиісті емес н_ктені салу (акс.IX).
3. Салу есептері
Салу есебі деп берілген элеметтері бойынша геометриялыK KaралдардыS (сызCыш ж‰не циркуль) к™мегімен белгілі бір шарттарды KанаCаттандыратын геометриялыK фигураны салуды айтады. Ондай есептерді шешудіS белгілі бір алгоритмі жоK. Cалу есебін шешу ізделінді фигураны Kалай салуCа болатынын талдаудан басталады. Есеп шешілді деп санау _шін фигураны салу т‰сілі к™рсетіліп, салу жaмыстарын орындау н‰тижесінде шынында да ізделінді фигура салынCандыCын д‰лелдеу керек. Сонымен, салу есебініS шешімі деп, берілген шартты KанаCаттандыратын ‰рбір фигураны айтады. Салу есебініS шешімін табу деп оны саны шектеулі негізгі салуларCа келтіруді, яCни ретімен орындаCанда ізделінді фигура конструктивті геометрияныS аксиомаларыныS негізінде салынды деп есептелінетіндей негізгі салулардыS шекті тізбегін к™рсетуді айтады. Негізгі салулар тізбегі Kандай Kaралдарды пайдалану керектігіне байланысты.
Салу есебініS барлыK шешімдерін табу оны шешу деп аталады. Салу есебі жалпы т_рде келесідей тaжырымдалады: салынCан (негізгі) B1, B2 , ... ,Bк фигураларыныS жиыны берілген ж‰не ізделінді Ф фигурасын сипаттайтын Kасиеттер к™рсетілген. П1 – П5 постулаттарын Kолданып, салынCан ж‰не ізделінді фигураларды Kамтитын шекті жиын табу керек.
Есеп шартын KанаCаттандыратын фигура формасы ж‰не жазыKтыKта орналасуы бойынша ажыратылады. ФигураныS жазыKтыKта орналасуын ескеру - ескермеу есептіS Kaрылысына байланысты.
1) Егер есепте ізделінді фигураныS берілген фигураCа Kатысты орналасуы Kарастырылмаса, онда тек есеп шартын KанаCаттандыратын ™зара теS емес барлыK фигураларды тауып к™рсетеміз. Онда салу есебі шешілген деп есептелінеді, егер
- есеп шартын KанаCаттандыратын ™зара теS емес кейбір Ф1, Ф2, ..., Фn фигуралары салынса,
- есеп шартын KанаCаттандыратын кез - келген фигура осы фигуралардыS біріне теS болатыны д‰лелденсе.
Бaл жаCдайда есептіS ‰р т_рлі n шешуі бар делінеді.
2) Егер есептіS шартында ізделінді фигураныS берілген фигураCа Kатысты наKты орналасуы к™рсетілсе, онда толыK шешу берілген шартты KанаCаттандыратын барлыK фигураларды салу болып табылады (егер мaндай фигуралардыS саны шекті болса). Сондай-аK мaнда берілген фигураCа Kатысты ‰р т_рлі Kалыпта орналасKан теS фигуралар есептіS ‰р т_рлі шешулері болып саналады.
Кейде есеп шартын KанаCаттандыратындай фигура болмауы м_мкін. Мысалы, берілген тікт™ртбaрыш квадрат болмаса, оCан іштей шеSбер сыза алмаймыз немесе концентрлі екі шеSберге ортаK жанама ж_ргізілмейді.
Кейде есептіS шешімі бар, біраK ол берілген KaралдардыS к™мегімен салынбауы м_мкін. Онда салу есебін шешу деп ізделінді фигура берілген KaралдардыS к™мегімен салынбайтындыCын д‰лелдеп к™рсетуді айтады.
4. Jарапайым геометриялыK салулар
Jарапайым есептердіS шешулерін негізгі салуларCа келтіру _шін де к™птеген логикалыK Kадамдар жасауCа тура келеді. Ал KиыныраK есептерді шешудіS логикалыK структурасын тaрCызу одан да KиынCа соCады. СондыKтан к_рделі есептерде Kарапайым салу есептерін біле отырып, салу Kадамдарын _немдеуімізге болады, яCни Kарапайым салуларды болашаKта негізгі салуларCа келтірмей - аK Kолдана аламыз.
К_рделі есептердіS б™лігі ретінде жиі кездесетін Kарапайым геометриялыK салулар мектеп курсыныS бірінші ОларCа мыналар жатады:
Берілген кесіндіні KаK б™лу
Берілген бaрышты KаK б™лу (бaрыш биссектрисасын салу)
Берілген кесіндіге теS кесінді салу
Берілген бaрышKа теS бaрыш салу
Берілген т_зуге одан тысKары н_кте арKылы параллель т_зу ж_ргізу
Берілген т_зуге одан тысKары жатKан берілген н_кте арKылы перпен-дикуляр тaрCызу.
Берілген кесіндіні берілген Kатынаста б™лу
Берілген _ш KабырCасы бойынша _шбaрыш салу
Берілген KабырCасы мен сол KабырCаCа іргелес екі бaрышы бойынша _шбaрыш салу
Берілген екі KабырCасы ж‰не олардыS арасындаCы бaрышы бойынша _шбaрыш салу
Берілген шеSберге берілген н_кте арKылы жанама ж_ргізу
Берілген гипотенузасы мен катеті бойынша тікбaрышты _шбaрыш салу
5. Салу есептерін шешу ‰дістемесі
Конструктивті есептерді шешудіS схемасын таSдау ‰дістемелік сaраK болып табылады. ГеометриялыK салу есептерін шешу т™мендегі схема бойынша ж_ргізілгенде Cана дaрыс деп саналады:
1) Берілгендерді таSдауда барлыK м_мкіндіктерді Kамтитын жаCдайлардыS аKырлы саны белгіленеді;
2) €рбір жаCдай _шін есептіS шешуі болу - болмауы ж‰не шешімі болса, олардыS саны аныKталады;
3) €рбір жаCдай _шін есептіS шешімі болса, к™рсетілген геометриялыK KaралдардыS к™мегімен оларды салу т‰сілдері беріледі немесе оныS берілген Kaралдармен салынбайтындыCы к™рсетіледі.
К_рделі есептерде оны шешудіS м_мкін болатын жаCдайларын, барлыK шешімдерін, шыCарылу т‰сілін ж‰не т.б. аныKтау _шін Kалай талдау жасау керектігі ж™нінде сaраK туады. СондыKтан конструктивті есептер мына схема бойынша шешіледі:
Талдау
Салу
Д‰лелдеу
Зерттеу
€рине, бaл схема міндетті ж‰не ™згеріссіз емес, оныS кейбір сатыларын KатаS т_рде ажыратып, к™рсетілген Kалыпта Cана орындау м_мкін бола бермейді. Алайда конструктивті есептерді шешуде бaл схеманыS к™мегі мол. Енді схеманыS ‰р этаптарына жеке тоKталып ™тейік:
1.Талдау. Бaл - салу есебін шешудіS еS негізгі ж‰не «‰зірлеуші» б™лімі, себебі есепті шешудіS кілті осында. ТалдаудыS маKсаты – есептіS ізделінді элементтері мен берілгендері арасындаCы байланысты таCайындау арKылы оныS шешу т‰сілдерін іздестіру. ОCан берілген мен ізделінді фигураларды есеп шартында к™рсетілгендей Kалыпта орналастыратын к™мекші сызба арKылы Kол жеткіземіз. Бaл сызбаны «Kолдан» сызуCа болады. €детте, талдау жасау «есеп шешілді делік» деген с™здермен басталады. К™мекші сызбаны, негізінен, берілгендерден емес, ізделінді фигуралардан бастап салCан дaрыс. Мысалы, бір т™бесінен ж_ргізілген медиана, биссектриса ж‰не биіктігі бойынша _шбaрыш салу керек болса, алдымен кез - келген _шбaрыш сызып, содан соS оныS есеп шартында к™рсетілген сызыKтарын ж_ргізген ыSCайлы. Егер к™мекші сызбадан ізделінді фигураны салудыS т‰сілдері аныK к™рінбесе, онда ізделіндініS б™лігін немесе оны тaрCызу кезінде Kолданылатын Kандай да бір фигураны табамыз.
2.Салу. Бaл б™лімде н‰тижесінде ізделінді фигура шыCатындай негізгі салу-лар (немесе бaрын шешілген, шыCарылCан есептер) тізімі беріледі. СалудыS ‰рбір Kадамы к™рсетілген KaралдыS к™мегімен графикалыK к™ркемделіп отырылады. Мысалы, к™ршілес екі KабырCасы ж‰не олардыS арасындаCы бaрышы бойынша параллелограмм салу есебініS салу жоспары т™мендегіше болады (1-сурет):
1) кез - келген р т_зуі
2) АD(р кесіндісі
3) (DАL(( бaрышы ((-берілген)
4) АВ(АL кесіндісі (берілген KабырCа)
5) В н_ктесі арKылы t // р т_зуі
6) ВС(АD, ВС(t кесіндісі
7) С, D н_ктелерін Kосамыз
АВСD-ізделінді параллелограмм.
3.Д‰лелдеу. Д‰лелдеудіS маKсаты – салынCан фигура шынымен де есеп шартын KанаCаттандыратынын к™рсету. СалудыS ‰р KадамыныS орындала-тындыCын д‰лелдеу, ‰детте, с™йлем т_рінде беріледі. Д‰лелдеуде мынаны ескеру керек: талдаудан шыCатын салдар д‰лелдеудіS шарты болып табылады ж‰не, керісінше, талдаудыS шарты д‰лелдеудіS салдары болады.
4.Зерттеу. Салу есептіS Kандайда бір жалCыз шешімін тaрCызумен шектеледі ж‰не ондаCы барлыK Kадамдар орындалады деп есептелінеді. Ал есептіS толыK шешуін табу _шін мына сaраKтарCа жауап беру керек:
1) берілген фигуралардыS кез-келген орналасуында салу жоспары орындала ма(
2) егер таSдалCан салу ‰дісін басKа жаCдайлар _шін KолдануCа болмаса, ізделінді фигура Kалай тaрCызылады(
3) берілген фигуралардыS ‰рт_рлі орналасуында есептіS м_мкін болатын шешулерініS саны Kанша(
Осы сaраKтардыS ‰рKайсысына жауап беру есепті зерттеу болып саналады. Демек зерттеудіS маKсаты – есептіS шешілу шартын аныKтап, оныS шешімдерініS санын табу.
Зерттеу, негізінен, «салу бойынша», «салу барысында» с™здерімен басталады. Бaлай KабылдаудыS негізгі маKсаты – салудаCы ‰р KадамCа тоKталып, ондаCы іс - ‰рекеттердіS ‰рдайым орындалу - орындалмауын тексеру, егер орындалса, неше ‰діспен екендігін аныKтау.
Есепті осылайша талKылаудыS н‰тижесінде берілген т‰сілмен ізделінді фигураны салу м_мкіндігі белгілі болады. Бaл жерде «егер салудыS Kандай да бір т‰сілін ™згертсе, есептіS жаSа шешулері пайда болмай ма(» деген сaраK туады. Кейде есептіS ‰рбір шешуі оныS бaрын аныKталCан шешуімен с‰йкес келетінін д‰лелдеуге болады. Онда зерттеуді ары Kарай ж_ргізіп Kажет емес. Ал егер с‰йкес келмейтіндігі д‰лелденсе, онда басKа ‰діспен аныKталатын
шешулер болуы м_мкін болCандыKтан, талдауCа Kайта оралып, берілген немесе ізделінді фигуралардыS орналасуыныS басKа жаCдайлары Kарастырылады. Ал есеп айтарлыKтай жеSіл болCанда, кейбір сатылар, мысалы талдау немесе зерттеу Kарастырылмайды.
6. Салу есептеріне мысалдар
Есеп1: Бір т™бесінен ж_ргізілген биссектрисасы, медианасы ж‰не биіктігі бойынша _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, АВС – ізделінді _шбaрыш (2-сурет), АН – оныS биіктігі, АМ – медианасы, АD – биссектрисасы.
АВС _шбaрышына сырттай шеSбер сызылCан шеSбердіS центрін О деп белгілейік, онда ОМ т_зуі ВС хордасына перпендикуляр болCандыKтан, ол осы хордамен керілетін шеSбердіS ‰рбір екі доCасын теS екіге б™леді. АD биссектрисасы да ( шеSберініS ВАС бaрышы тірелетін д‰л осы доCасын теS екіге б™леді. Олай болса, ОМ т_зуі мен АD биссектрисасы сырттай сызылCан шеSбердіS Р н_ктесінде Kиылысады. О н_ктесінен АР – Cа т_сірілген перпендикулярдыS табаны – АР-ныS ортасы, яCни S н_ктесі болады.
Салу: 1) АD = ва гипотенузасы, АН = hа катеті бойынша АНD _шбaрышы
2) (А, mа) шеSбері
3) (А, mа) ( DН = М н_ктесі
4) М(l ж‰не l ( DН т_зуі
5) l ( АD = Р н_ктесі
6) t - АР кесіндісініS орта
перпендикуляры
7) t ( МР = О н_ктесі
8) ((О, ОА) шеSбері
9) DК ( ( = В ж‰не С н_ктелері
13 EMBED Equation.3 1415АВС – ізделінді _шбaрыш.
Д‰лелдеу: Салу бойынша АН кесіндісі АВС _шбaрышыныS биіктігі болады. М – ВС KабырCасыныS ортасы, себебі ол шеSбердіS центрінен ВС хордасына т_сірілген перпендикулярдыS табаны. СондыKтан АМ – медиана. Р н_ктесі ВРС хордасыныS ортасы болCандыKтан, іштей сызылCан ВАР ж‰не САР бaрыштары ™зара теS, бaдан АD – ВАС бaрышыныS биссектрисасы.
Зерттеу: ЕсептіS шешімі болу _шін ma ( вa ( ha Kатынасы орындалуы Kажет, себебі _шбaрышта биссектриса медиана мен биіктіктіS ортасында орналасады, не бaл кесінділердіS б‰рі беттеседі. Егер ma = вa = ha болса, онда есеп биіктігі (ол ‰рі медиана, ‰рі биссектриса) бойынша теS б_йірлі _шбaрыш салу есебіне келеді. Егер ma ( вa ( hа болса, онда салу жоспарыныS 1) ж‰не 2) Kадамдары бірм‰нді орындалады. ma ( ва болCандыKтан, (А, mа) ( DН KимасыныS М н_ктесі табылады. Салу жоспарыныS 5) KадамындаCы Р н_ктесі жалCыз, себебі ол екі т_зудіS Kиылысу н_ктесі. Сонымен Kатар, АР||DН ж‰не МР ( DН болCандыKтан, АР||МР. Бaл АР хордасыныS орта перпендикуляры міндетті т_рде МР т_зуімен Kиылысады дегенді білдіреді ж‰не ол н_кте сырттай сызылCан шеSбердіS центрі болады. DН т_зуі ((А, АР) шеSберімен екі н_ктеде Kиылысады, себебі ол шеSбердіS ішіндегі D н_ктесі арKылы ™теді. Сонда к™рсетілген салу жоспары бойынша шешілген есептіS шешімі ‰рдайым табылады.
Есеп 2: hc, hв биіктіктері ж‰не mа медианасы бойынша _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: АйталыK, АВС – ізделінді _шбaрыш
(3 - сурет), АD = mа, CH = hc, BL = hв.
АС табанына DF перпендикулярын ж_ргізсек,
DF = 13 EMBED Equation.3 1415 (D–медиананыS табаны болCандыKтан).
Олай болса, АFD тікбaрышты _шбaрышын
АD = mа гипотенузасы мен DF = 13 EMBED Equation.3 1415 катеті
бойынша сала аламыз. Д‰л осылайша DК = 13 EMBED Equation.3 1415 катеті мен АD гипотенузасы арKылы АDК тікбaрышты _шбaрышын тaрCызуCа болады. Сонда ізделінді _шбaрыштыS ВАС бaрышы аныKталады.
Салу: 1) АFD тікбaрышты _шбaрышы (АD = mа, DF =13 EMBED Equation.3 1415, (DFА=900)
2) АDК тікбaрышты _шбaрышы (АD = mа, DК = 13 EMBED Equation.3 1415, (DFА=900)
3) [FD) с‰улесіне FЕ = hв кесіндісі
4) Е н_ктесі арKылы l
·AF т_зуі
5) l
· [AК) = В н_ктесі
6) ВD т_зуі
7) ВD
· [AF) = С н_ктесі
13 EMBED Equation.3 1415 АВС – ізделінді.
Д‰лелдеу: Салу бойынша DF = 13 EMBED Equation.3 1415, онда ЕF = hв . Бaдан DЕ = DF = 13 EMBED Equation.3 1415. Онда (BED = (DFC = 900 екенін ескерсек,
·DЕВ =
·DFС. Олай болса, ВD = DС, яCни АD – медиана ж‰не салу бойынша АD = mа.
В н_ктесінен АС табанына ВL перпендикулярын т_сірсек, BL = EF = hв. АйталыK СН ( АВ, онда СНВ _шбaрышында DК кесіндісі (К13 EMBED Equation.3 1415АВ) орта сызыK болады. Ал салу бойынша DК = 13 EMBED Equation.3 1415. Бaдан СН = DК = hс.
Зерттеу: Салу жоспарыныS 1) ж‰не 2) KадамдарындаCы АDF, АDК _шбaрыш-тарын салу
mа ( 13 EMBED Equation.3 1415hв, mа ( 13 EMBED Equation.3 1415hс
теSсіздіктері орындалCанда Cана м_мкін болады. Ал 3) – 7) салу Kадамдары ‰рKашан орындалады. Олай болса, бір уаKытта hв ( 2mа ж‰не hс ( 2mа теSсіздіктері орындалCанда есептіS жалCыз шешуі бар. БасKа т‰сілмен шешкенде ™зге шешім шыCуы м_мкін емес, себебі mа( = mа, hc( = hc, hв( = hв (
·АВС =
·А(В(С(.
Есеп 3: р периметрі мен іргелес (, ( бaрыштары бойынша _шбaрыш салу.
Шешуі:
Талдау: АйталыK ВС – ізделінді _шбaрыш (4 - сурет),
АВ + ВС + СА = р
ж‰не (ВАС = (, (ВСА = (.
Егер АС табаныныS созындысына АD = AB,
CE = BC болатындай кесінділер белгілесек,
DE кесіндісініS aзындыCы периметрге теS
болады, яCни DE = p. D, E н_ктелерін АВС
_шбaрышыныS В т™бесімен Kосамыз.
Сонда DBA ж‰не EBC теS б_йірлі _шбaрыш-
тары шыCады. ^шбaрыштыS сыртKы бaрышыныS Kасиетін ескерсек, (ADB = (ABD = 13 EMBED Equation.3 1415, (CBE = (CEB = 13 EMBED Equation.3 1415. Демек DEB _шбaрышы бір KабырCасы ж‰не оCан іргелес екі бaрышы бойынша белгілі.
Салу: 1) DЕВ _шбaрышы (DE = p, (BDE = 13 EMBED Equation.3 1415, (BED = 13 EMBED Equation.3 1415).
DB кесіндісініS орта перпедикуляры: n1
3) DE
· n1 = A н_ктесі
4) BЕ кесіндісініS орта перпедикуляры: n2
5) DE
· n2 = В н_ктесі
6) АВ, СВ кесінділері
· АВС – ізделінді.
Д‰лелдеу: n1, n2 орта перпендикулярлар болCандыKтан, с‰йкесінше АВ = AD, BC = CE. Ал салу бойынша DA + AC + CE = p, бaдан АВ + АС + ВС = р.
Егер n1
· DB = K, n2
· EB = P десек,
(KAD = 900 - 13 EMBED Equation.3 1415, (PCE = 900 - 13 EMBED Equation.3 1415 .
Д‰л осылайша, (KAВ = 900 - 13 EMBED Equation.3 1415, (PCВ = 900 - 13 EMBED Equation.3 1415
Сонда
(ВАС = 1800 - (ВАD = 1800 - (KAВ - (KAD = 1800 – 900 + 13 EMBED Equation.3 1415 - 900 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
(ВСA = 1800 - (BCE = 1800 - (PCB - (PCE = 1800 – 900 + 13 EMBED Equation.3 1415 - 900 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Зерттеу: ( + ( ( ( шарты орындалCанда есептіS шешімі бар ж‰не ол жалCыз болады. Себебі, Kарсы жорып, А(В(С( _шбaрышы да шешім болады десек, (В(А(С( = (, (В(С(А( = (, А(В( + В(С( + С(А( = р, онда
·АВС =
·А(В(С(.
Есеп 4: а, в, с т_зулері, р кесіндісі берілген. с – а, в т_зулерін Kияды. `штары а, в т_зулерінде болатын, с - Cа параллель ж‰не р кесіндісіне теS кесінді салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, А 13 EMBED Equation.3 1415а, В 13 EMBED Equation.3 1415 в, АВ = р, АВ || с (5-сурет). Берілген мен ізделінді фигуралардыS арасындаCы байланысты аныKтау _шін, кейбір Kосымша н_ктелер мен сызыKтар ж_ргізу керек.
АйталыK с ( в = Р. АМ || в с‰улесін ж_ргізсек ж‰не АМ ( с = Q деп белгіле-сек, АВРQ т™ртбaрышты параллелограмм болCандыKтан PQ = AB = p.
Cалу: 1) с ( в = Р н_ктесі
2) с т_зуінен PQ = p кесіндісі (Q13 EMBED Equation.3 1415с )
3) QМ || в т_зуі
4) QM ( a = A н_ктесі
5) AN || c т_зуі
6) AN ( в = В н_ктесі
АВ – ізделінді кесінді.
Д‰лелдеу: Салу бойынша А13 EMBED Equation.3 1415а, В13 EMBED Equation.3 1415в, АВ || с. Ал АВРQ параллелограмм бол- CандыKтан, АВ = PQ = p.
Зерттеу: Есеп шарты бойынша в, с т_зулері Kиылысады, онда Р н_ктесі ‰рдайым табылады. Ал екінші салу KадамындаCы РQ кесіндісі екеу болады, (2.4., 3) салу). Сонда ‰рбір Q, Q' н_ктелері _шін салу жоспары жеке орын-далады. Мынадай жаCдайлар болу м_мкін:
1) QM ( a, онда QM || в || Q'M' болCандыK-
тан, Q'M' т_зуі де а т_зуін Kияды (6-сурет).
2) QM || a
3) QM ( а (беттеседі)
1) жаCдай а, в т_зулері KиылысKанда Cана
м_мкін. Онда 4) - 6) салу Kадамдар Q, Q'
н_ктелерініS ‰рKайсысы _шін бірм‰нді
орындалады да, есептіS екі шешімі болады.
2) жаCдай а || в ж‰не с т_зуініS а, в т_зулерініS арасындаCы кесіндісі р – дан ™зге болCанда Cана орындалады. Онда QM(a = A н_ктесі болмайды да, есептіS шешімі жоK делінеді.
3) жаCдай а || в ж‰не с т_зуініS а, в т_зулерініS арасындаCы кесіндісі р – Cа теS болCанда орындалады. Онда есептіS шексіз к™п шешімі бар.
Есеп5: СD биссектрисасы ж‰не оныS С т™бесінен ж_ргізілген биіктікпен, медианамен арасындаCы бaрыштары берілген. Осы элементтері бойынша АВС _шбaрышын салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, АВС – ізделінді _шбaрыш (7 – сурет). МaндаCы НСD, МСD бaрыштары ж‰не СD биссектрисасы aшбaрыштыS берілген элементтері. Онда алдымен СD гипотенузасы мен (НСD бойынша НСD, содан соS СН катеті мен (МСD + (НСD
бойынша НСМ тікбaрышты _шбaрыштарын
тaрCызуCа болады. Егер (-АВС _шбaрышы-
на сырттай сызылCан шеSбер десек, оныS
СD биссектрисасымен Kиылысу н_ктесі,
яCни Е н_ктесі – АВ хордасыныS ортасы
болады. СондыKтан ол АВ KабырCасына
тaрCызылCан орта перпендикулярдыS бойында
жатады, ал ол т_зу М н_ктесі арKылы ™теді.
Салу: 1) СD гипотенузасы мен (НСD бойынша НСD тікбaрышты _шбaрышы
2) СН катеті мен (НСМ = (МСD + (НСD бойынша НСМ тікбaрышты _шбaрышы
3) М н_ктесі арKылы МК ( НD т_зуі
4) МК ( СD = Е н_ктесі
5) СЕ кесіндісініS орта перпендикуляры: n
6) n ( МК ( О н_ктесі
7) ((О, ОС) шеSбері
8) ( ( НD = А ж‰не В н_ктелері
13 EMBED Equation.3 1415АВС – ізделінді _шбaрыш.
Д‰лелдеу: Салу бойынша (НСD – биіктік пен биссектрисаныS арасындаCы бaрыш, онда
(DCM = (HCM - (HCD = (MCD + (HCD - (HCD = (MCD.
Егер МК ( ( ( Р (Е – ден ™зге н_кте) десек, О 13 EMBED Equation.3 1415 РЕ (РЕ – диаметр). Салу бойынша АВ ( РЕ, онда МА = МВ, яCни Е – АВ кесіндісініS орта перпендикулярында жатыр. Бaдан (АЕ = (ЕВ, яCни (АСЕ ( (ЕСВ ( СD – биссектриса.
Зерттеу: Егер ( + ( ( 900 болса, есептіS шешімі болмайды. Егер ( + ( ( 900 болса, есептіS жалCыз шешімі бар.
Есеп 6: АВСD тікт™ртбaрышы берілген. ОныS СD KабырCасынан АВМ, BCM, ADM _шбaрыштары aKсас болатындай етіп, М н_ктесін табыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді, яCни ізделінді М н_ктесі тaрCызылды делік (8-сурет). Онда АВМ, BCM, ADM _шбaрыштарыныS aKсастыKтарын ж‰не (С=(D=900
екенін ескеріп, (АМВ = 900 теSдігін аламыз. Ал тікбaрышты _шбaрышKа сырттай сызылCан шеSбердіS Kасиетін пайдалансаK М13 EMBED Equation.3 1415(, мaндаCы (-диаметрі АВ болатын шеSбер.
Салу: 1) О – АВ кесіндісініS ортасы
2) ( (О, ОВ) шеSбері
3) ( ( DC = М н_ктесі
М – ізделінді н_кте.
Д‰лелдеу: М 13 EMBED Equation.3 1415 ( ( (АМВ ( 900, ал (А ( (В ( 900 екенін ескерсек, (МАВ ( 900 - (МАD ( (АМD, д‰л осылайша (МВА ( (ВМС. Онда
13 EMBED Equation.3 1415АМВ ( 13 EMBED Equation.3 1415АМD (13 EMBED Equation.3 1415ВМС.
Зерттеу: Салу жоспарыныS 3) Kадамына байланысты мына жаCдайлар болу м_мкін:
ВС ( ОВ, онда ( ( DC Kимасы М ж‰не М( н_ктелерінен Kaралады да, есептіS екі шешімі болады.
ВС = ОВ, онда ( ( DC = М – жалCыз н_кте, олай болса, есептіS бір Cана шешімі бар.
ВС ( ОВ, онда ( ( DC = (, яCни есептіS шешімі жоK.
Кейбір геометриялыK салуларды тек бір KaралдыS к™мегімен де шешуге болады. Мысалы, тек циркульдыS к™мегімен шешілетін салу есебін KарастырайыK:
Есеп 7: Тек циркульды пайдаланып, берілген тікбaрышты _шбaрышKа іштей шеSбер сызыSыз.
Шешуі:
Талдау: АйталыK АВС – катеттері а, в, гипотенузасы с болатын берілген тікбaрышты _шбaрыш, ал ( - оCан іштей сызылCан ізделінді шеSбер (9-сурет).
Центрі А, радиусы в болатын шеSбер ж_ргізіп,
ОныS гипотенузамен Kимасын М деп, ал центрі
В, радиусы а болатын шеSбердіS гипотенузамен
Kимасын N деп белгілесек, онда МN = BN – BM=
a – (c – в) = a + в – c.
Бaл сан _шбaрышKа іштей сызылCан шеSбердіS
диаметрі болады (есептен кейінгі ескертуде
д‰лелденіп к™рсетіледі).Олай болса MN кесіндісін
екіге б™лу арKылы ізделінді шеSбердіS радиусын
аламыз. Ал оныS центрін табу _шін оныS катеттерден 13 EMBED Equation.3 1415 KашыKтыKта жататынын ж‰не (S, SN) шеSберіне тиістілігін ескереміз, мaндаCы S – іштей сызылCан шеSбердіS гипотенузамен жанасу н_ктесі.
Салу: 1)
·1(А, в) шеSбері
2)
·2(В, а) шеSбері
3)
·1
· АВ = М н_ктесі
4)
·2
· АВ = N н_ктесі
5)
·3(N, MN) шеSбері
6)
·4(M, MN) шеSбері
7)
·3
·
·4 = D н_ктесі (D – АВС
_шбaрышыныS сыртындаCы н_кте)
8)
·5(D, MN) шеSбері
9)
·5
·
·3 = E н_ктесі (М – нан ™зге)
10)
·6(Е, MN) шеSбері
11)
·6
·
·3 = F н_ктесі (D – дан ™зге)
12)
·7(F, MF) шеSбері
13)
·7
·
·4 = L,K н_ктелері
14)
·8(K, MN) шеSбері
15)
·9(L, MN) шеSбері
16)
·8
·
·9 = S н_ктесі (М – нан ™зге)
17)
·10(S, SM) шеSбері
18)
·11(C, SN) шеSбері
19)
·11
· CA = R н_ктесі
20)
·12(R, CR) шеSбері
21)
·12
·
·10 = O н_ктесі
·(O, MS) – ізделінді шеSбер
Д‰лелдеу:
·10 шеSберінен SM = SO = SN (S - шеSбердіS центрі, ал M, O, N оныS бойындаCы н_ктелер (10-сурет)). Онда SM = SO = SN = 13 EMBED Equation.3 1415 = r, яCни OS = r. Салу бойынша OR = r, онда АС – жанама ( АС ( OR ж‰не АС ( ВС ( OR((BC. О н_ктесінен ОТ((АС т_зуін ж_ргізсек (Т ( ВС), ТОRС – тікт™ртбaрыш. Ал OR = CR = r болCандыKтан, TORC– квадрат, яCни OT=CR=r. Демек
·(O, MS) немесе
·(O, OR) – ізделінді шеSбер.
Зерттеу: а ( с, в ( с болCандыKтан, салу жоспарыныS 1) – 15) Kадамдары бірм‰нді орындалады. К н_ктесінен АВ KабырCасына т_сірілген перпен-дикулярдыS табанын Р деп белгілесек, 16) салу орындалу _шін МК ( РК шарты орындалу керек.
MF ( MN ( PK ( DS.
MD = 13 EMBED Equation.3 1415 ( 2MD = 13 EMBED Equation.3 1415 ж‰не MD = MN (
DS = 13 EMBED Equation.3 1415MN немесе DS = 13 EMBED Equation.3 1415MK.
PK ( 13 EMBED Equation.3 1415MK, онда MK ( 13 EMBED Equation.3 1415PK.
13 EMBED Equation.3 1415 ( 1, сондыKтан МК ( РК. Олай болса,
·8
·
·9 = S н_ктесі табылады. JалCан салу Kадамдары да бірм‰нді. Сонымен к™рсетілген т‰сілмен шешілген есептіS жалCыз шешеімі бар ж‰не басKа ‰діспен шешкенде ™зге шешімніS болуы м_мкін емес, ™йткені _шбaрышKа тек бір Cана шеSбер іштей сызылады.
Ескерту: MN = 2r, яCни MN = d екенін д‰лелдейік (9-сурет). Салу бойынша BC = BN болCандыKтан, ВТ1 - ‰рі медиана, ‰рі биссектриса, ‰рі биіктік, онда ВТ1 – CN кесіндісініS орта перпендикуляры, яCни СТ1 = T1N. Онда СВNT1 т™ртбaрышында BN + CT1 = BC + T1N, яCни
· - СВNT1 т™ртбaрышына іштей сызылCан, онда Т1N – жанама. Д‰л осылайша Т2М т_зуі де
· шеSберіне жанама болады. Енді Т1N (( Т2М екенін д‰лелдейік. Т1 ( в ж‰не СТ1 ( ВС болCандыKтан, Т1 н_ктесінен АВ–Cа дейінгі KашыKтыK СТ1 болады. Ал д‰лелдеу бойынша СТ1 = T1N, онда T1N ( MN. Д‰л осылайша Т2М ( MN. Сонда соSCы екі Kатынастан Т1N (( Т2М, онда MN = d.
ІІ тарау. Салу есептерін шешу ‰дістері
Салу есептерін шешудіS бірнеше ‰дістері бар. ОларCа НГО (н_ктелердіS геометриялыK орны) ‰дісі, т_рлендірулер ‰дісі (параллель к™шіру, осьтік симметрия, центрлік симметрия, бaру, aKсас т_рлендіру, гомотетия), алгебралыK ‰діс ж‰не инверсия ‰дісі жатады.
§1. НГО ‰дісі
1.1. НГО aCымы
ГеометриялыK фигура ‰р т_рлі т‰сілмен беріледі: фигуралардыS Kиылысуы немесе бірігуі т_рінде; фигураны аныKтайтын KасиеттердіS к™рсетілуі арKылы; т.б.. Мысалы, АВ кесіндісі (11-сурет)
АМ, ВN с‰улелерініS Kиылысуы
р т_зуіне перпендикуляр болатын (
шеSберініS диаметрі
р т_зуіне параллель болатын ( шеS-
берініS хордаларыныS орталарыныS
жиыны т_рінде берілуі м_мкін.
Егер фигура ‰рбір н_ктесініS Kасиетін к™рсету арKылы берілсе, онда оны к™рсетілген Kасиетті KанаCаттандыратын НГО деп, ал берілген Kасиетті НГО-S характеристикалыK Kасиеті деп атайды. ЖоCардаCы мысалда АВ кесіндісі р т_зуіне параллель ( шеSберініS хордаларыныS орталарыныS геометриялыK орны болып табылады.
Салу есептерін шешуде пайдаланылатын геометриялыK орындар ‰дісініS м‰нісі мынада: айталыK, салу есебін шешкенде екі шартты бірдей KанаCаттандыратын Х н_ктесін табу керек болсын. Бірінші шартты KанаCат-тандыратын н_ктелердіS геометриялыK орны Kайсыбір B1 фигурасы болады, ал екінші шартты KанаCаттандыратын н_ктелердіS геометриялыK орны Kайсыбір B2 фигурасы болады. Ізделінді Х н_ктесі B1 фигурасына да, B2 фигурасына да тиісті, яCни олардыS Kиылысу н_ктесі болып табылады. Егер бaл гео-метриялыK орындар Kарапайым болса (мысалы, т_зулер мен шеSберлерден Kaралса), біз оларды сала аламыз ж‰не Kажетті Х н_ктесін тауып алуCа болады.
НГО сызыK немесе бірнеше сызыKтардыS бірігуі Cана емес, сонымен Kатар н_ктелердіS жиыны, жазыKтыKтыS б™лігі, т.б. болу м_мкін. Кейде к™рсетілген Kасиетті KанаCаттандыратын НГО болмайды.
Ф фигурасы к™рсетілген Kасиетті KанаCаттандыратын НГО екенін д‰лелдеу _шін т™мендегі ™зара Kарама - Kарсы екі с™йлемді д‰лелдеу керек:
1. Ф фигурасыныS ‰р н_ктесі к™рсетілген Kасиетке ие болады
2. К™рсетілген Kасиетті KанаCаттандыратын ‰рбір н_кте Ф фигурасына тиісті.
Мысал: Параллель а,в т_зулері ж‰не оларCа перпендикуляр с т_зуі берілген. Осы _ш т_зуден бірдей KашыKтыKта жататын жазыKтыK н_ктелерініS гео-метриялыK орнын аныKта.
Шешуі: АйталыK а ( с ( А, в ( с ( В (12-сурет). АВ кесіндісініS ортасы арKылы р (( а (р (( в) болатындай р т_зуін ж_ргізіп, осы т_зуден с т_зуініS екі жаCыннан 13 EMBED Equation.3 1415 KашыKтыKтаCы н_ктелерді Р1, Р2 деп белгілейміз.
Сонда Р1, Р2 н_ктелерініS ‰рKайсысы беріл-
ген т_зулерден бірдей KашыKтыKта жатады.
ЖазыKтыKта осы Kасиетті KанаCаттандыратын
басKа н_ктелер жоK. Шынында да М н_ктесі р
т_зуінде жатпайды, сондыKтан ол а,в т_зулері-
нен бірдей KашыKтыKта болмайды; N н_ктесі
р т_зуіне тиісті, біраK Р1, Р2 н_ктелерімен беттеспейді, онда ол а, с т_зулерінен бірдей KашыKтыKта емес. Олай болса, Р1, Р2 н_ктелерініS Kосы а, в, с т_зулерінен бірдей KашыKтыKтаCы НГО болып табылады.
1.2. Jарапайым НГО
ГеометриялыK салуларда кездесетін Kарапайым НГО-ныS мысалдары:
1. Берілген екі н_ктеден бірдей KашыKтыKтаCы НГО берілген н_ктелерді Kосатын кесіндініS орта перпендикуляры болады. Бaл НГО кейде берілген н_ктелердіS симметриясы немесе медиатриссасы деп аталады.
2. Берілген т_зуден берілген KашыKтыKтаCы НГО берілген т_зуге параллель ж‰не ‰рKайсысы одан берілген KашыKтыKта жататын т_зулердіS Kосы болады. Оны салу _шін берілген т_зуге кез-келген перпендикуляр тaрCызып, оныS бойынан берілген т_зуден берілген KашыKтыKта екі н_кте белгілейміз.Сол н_ктелер арKылы ™тіп берілген т_зулерге параллель болатын т_зулер ізделінді НГО болады.
3. Берілген екі параллель т_зуден бірдей KашыKтыKтаCы НГО берілген т_зулердіS симметрия осі болады, оны орта сызыK, деп те атайды. Бaл НГО-ны салу _шін берілген а, в т_зулерін Kиятын кез-келген с т_зуін ж_ргізіп, оныS берілген т_зулер арасындаCы кесіндісініS ортасы арKылы а-Cа (немесе в-Cа) параллель т_зу ж_ргіземіз.
4. ЖазыKтыKтыS Kиылысушы екі т_зуінен бірдей KашыKтыKтаCы НГО берілген т_зулер Kaрайтын бaрыштардыS ™зара перпендикуляр екі биссектрисасы болады. Оны салу Kарапайым бaрышты теS екіге б™лу есебіне келеді.
5. АВ кесіндісінен тік бaрыш арKылы к™рінетін НГО АВ диаметрі болатын шеSберді Kaрайды. Оны салу _шін АВ кесіндісініS ортасы центрі, АВ/2 радиусы болатын шеSбер ж_ргіземіз.
6. АВ кесіндісі берілген
· бaрышымен (
·
· 900 ж‰не
·
· 1800) к™рінетіндей НГО aштары А, В н_ктелері (А, В н_ктелерінсіз) болатын, АВ т_зуіне KараCанда симметриялы екі доCа болады.
7. Берілген шеSбер
· бaрышымен (
·
· 1800) к™рінетін НГО радиусы берілген шеSбер радиусынан _лкен ж‰не берілген шеSберге концентрлі шеSберлер болады.
8. Берілген н_ктеден берілген KашыKтыKтаCы НГО - берілген н_кте центрі, берілген KашыKтыK радиусы болатын шеSбер.
9. Берілген А, В н_ктелерініS ‰рKайсысына дейінгі KашыKтыKтарыныS Kатынасы тaраKты ж‰не 1-ден ™зге болатын НГО центрлері АВ т_зуініS бойында жататын шеSберлер болады.
10. Берілген А, В н_ктелеріне дейінгі KашыKтыKтарыныS Kосындысы а2 болатын НГО
- егер 2а2 > АВ2 болса, шеSбер болады ж‰не оныS центрі АВ кесіндісініS бойында жатады;
- егер 2а2 = АВ2 болса, центрі АВ кесіндісініS ортасында жататын шеSбер болады;
- егер 2а2 < АВ2 болса, Kaр жиын болады.
11. (О, ОА) шеSберініS А н_ктесі арKылы ж_ргізілген барлыK хордаларды берілген
· (
· > 0) Kатынасында б™летін н_ктелердіS жиыны центрі ОА т_-зуінде жататын ж‰не А н_ктесі арKылы ™тетін (А н_ктесініS ™зі алынбайды) шеSбер болады.
1.3. НГО іздеу
ГеометриялыK салулардыS ішінде НГО–нын табу есептері жиі кездеседі. Мaндай есептерде кейбір «Kарапайым» немесе «элементар» фигуралардыS бірігуі белгілі деп алынып, осы бірігудіS Kай элементі ізделінді ГО–ды KанаCаттандыратанын тауып, к™рсету керек. НГО табу есептерін шешу методикасы талдау, салу, д‰лелдеу ж‰не зерттеуден тaрады.
ТалдаудыS маKсаты – ізделінді НГО–ныS Kандай болатыны ж™нінде болжам жасау. €детте, талдауды берілген фигуралардыS сызбасын салып, сол сызбадан ізделінді НГО-а тиісті бір н_ктені Kарастырудан бастайды. Сонан соS осы н_кте мен берілген элементтер арасында ГО–ныS формасы мен орналасуын аныKтауCа м_мкіндік беретіндей Kатынас орнатылады. Н‰тижесінде тек д‰лелдеуді Kажет ететін болжам шыCады.
Д‰лелдеуде ™зара Kарама - Kарсы екі с™йлемніS аKиKаттыCы аныKталады:
талдауда табылCан фигураныS кез-келген н_ктесі ізделінді НГО-ныS характеристикалыK Kасиетін KанаCаттандырады;
к™рсетілген характиристикалыK Kасиетті KанаCаттандыратын ‰рбір н_кте талдауда табылCан фигураCа тиісті.
Немесе екінші с™йлемді былайша тaжырымдауCа болады:
2') егер Kандай да бір н_кте табылCан фигураCа тиісті болмаса, онда ол
к™рсетілген характиристикалыK Kасиетті KанаCаттандырмайды.
Зерттеуде берілген фигуралардыS ‰рт_рлі орналасу жаCдайларындаCы шешімдердіS м_мкін болатын м‰ндері аныKталады.
Мысал: Берілген екі н_кте арKылы ™тетін шеSберлердіS центрлерініS ГО тап.
Шешуі:
Талдау. Есеп шешілді делік, яCни А, В – берілген н_ктелер, (, (, (, (...-А,В н_ктелері арKылы ™тетін шеSберлер, ал О1, О2, О3, О4... с‰йкесінше осы шеSберлердіS центрлері (13-сурет). Бaл н_ктелер ізделінді НГО – ныS н_ктелері. Олар бір т_зудіS бойында жатады ж‰не ол т_зу АВ кесіндісініS орта перпендикуляры болады.
Д‰лелдеу. О1А ж‰не О1В – ( шеSберініS
радиустары болCандыKтан, олар ™зара теS
болады. Онда АО1В _шбaрышы теSб_йірлі.
ТеSб_йірлі _шбaрыштардыS Kасиеті бойын-
ша О1 т™бесі табаныныS орта перпендикуля-
рында жатады. Д‰л осылайша KалCан центр-
лердіS АВ кесіндісініS орта перпендикулярына тиістілігі д‰лелденеді. Сонда берілген екі н_кте арKылы ™тетін шеSберлердіS центрлерініS ГО – берілген н_ктелерді Kосатын кесіндініS орта перпендикуляры болады.
Зерттеу. Егер А, В н_ктелері беттеспесе, ізделінді ГО – осы н_ктелерді Kосатын кесіндініS орта перпендикуляры. Егер А, В н_ктелері беттесетін болса, онда ізделінді ГО – б_кіл кеSістік болады, яCни кеSістіктіS барлыK н_ктелері (А,В н_ктелерінен басKа) осы ГО – Cа тиісті.
1.4. НГО ‰дісімен шешілетін геометриялыK
салуларCа мысалдар
Есеп 1: Бір KабырCасы, сол KабырCаCа Kарсы жатKан с_йір бaрышы ж‰не іштей сызылCан шеSбердіS радиусы бойынша _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, АВС – ізделінді _шбaрыш, ВС, (ВАС ж‰не r берілген элементтер (14 – сурет).
АйталыK О – іштей сызылCан шеSбердіS центрі. ВС т_зуін кез – келген етіп алып, одан кез – келген ВС кесіндісін белгілеу оSай. Содан соS О н_ктесін тaрCызсаK, ізделінді _шбaрыштыS А т™бесі оSай табылады. Олай болса, О н_ктесі негізгі элемент болып табылады.
ВОС _шбaрышынан
(ВОС + 13 EMBED Equation.3 1415(АВС + 13 EMBED Equation.3 1415(АСВ = 1800 (
(ВОС = 1800 - 13 EMBED Equation.3 1415(1800 - (A) = 900 - 13 EMBED Equation.3 1415(A (
(ВОС = 900 - 13 EMBED Equation.3 1415( ,
мaндаCы ( = (ВАС ж‰не (( 900.
Сонымен О н_ктесі мына екі шартты KанаCаттандырады:
(1) ол ВС т_зуінен берілген r KашыKтыKта жатады;
(2) ВС кесіндісі О н_ктесінен 900 - 13 EMBED Equation.3 1415( бaрышымен к™рінеді.
(1 шартын KанаCаттандыратын н_ктелердіS жиыны (F1 деп белгілейік) ВС т_зуіне параллель екі т_зуден Kaралады (1.2., 20), ал (2 шартын KанаCаттан-дыратын н_ктелердіS жиыны (F2 деп белгілейік) aштары ортаK А, В н_ктелері болатын екі доCадан тaрады (1.2., 60).
Салу: 1) ВС кесіндісі
2) (1) шартын KанаCаттандыратын т_зулер: m1, m2
3) (2) шартын KанаCаттандыратын доCалар: (1, (2
4) m1 ( (1 = О н_ктесі
5) ( = (О, r) шеSбері
6) В н_ктесінен ( - Cа р1 жанамасы
7) С н_ктесінен ( - Cа р2 жанамасы
8) р1 ( р2 = А н_ктесі
9) АВ, АС кесінділері
13 EMBED Equation.3 1415АВС – ізделінді.
Д‰лелдеу: Салу бойынша ( ( АВС _шбaрышына іштей сызылCан. Енді (ВАС = ( екенін д‰лелдеу керек. (ВОС = 900 - 13 EMBED Equation.3 1415( (салу бойынша), сондыKтан ВОС _шбaрышынан
(ВОС + 13 EMBED Equation.3 1415(АВС + 13 EMBED Equation.3 1415(АСВ = 1800 (
900 - 13 EMBED Equation.3 1415( + 13 EMBED Equation.3 1415((АВС + (АСВ) = 1800 (
( + (АВС +(АСВ = 1800 ( (ВАС = (
Зерттеу: F1, F2 жиындарыныS ортаK н_ктесі болу _шін 13 EMBED Equation.3 1415 сtg (450 + 13 EMBED Equation.3 1415() ( r (1)
шарты орындалуы керек. Бaл АВС _шбaрышыныS салынуыныS Kажетті шар-ты болады. Енді оныS жеткілікті шарт болатынын д‰лелдейік. Шынымен де, (1) шарты орындалса, салу жоспарыныS 1) – 5) Kадамдары ‰рдайым салынады.
(р1,^ ВС) + (р2, ^ ВС) = (АВС +(АСВ = 1800 - (,
ал ( ( 900, онда р1, р2 т_зулері Kиылысады да, А н_ктесі бар болады ж‰не біреу. Демек есептіS жалCыз шешімі бар.
Jарсы жориыK, АВС ж‰не А1В1С1 – есеп шартын KанаCаттандыратын _шбaрыштар, ал О1, О2 – с‰йкесінше оларCа іштей сызылCан шеSберлердіS центрлері. ВС = В1С1, (ВОС = (В1О1С1 ж‰не BH = В1Н1 болCандыKтан 13 EMBED Equation.3 1415, мaнда ВН, В1Н1 – биіктіктер. Онда (ОВС = (О1В1С1 немесе (АВС = (А1В1С1. Д‰л осылайша (АСВ = (А1С1В1. Онда _шбaрыштар теSдігініS екінші белгісі бойынша 13 EMBED Equation.3 1415. ЯCни Kарсы жору Kате, есептіS жалCыз шешімі болады.
Есеп 2: ШеSбер ж‰не оныS кез – келген жанамасы берілген. Жанаманы берілген М н_ктесінде жанайтын ж‰не берілген шеSберді де жанайтын шеSбер салыSыз.
Шешуі: Бaл есепті шешудіS екі ‰дісін KарастырайыK.
І ‰діс. Талдау:АйталыK О–берілген шеSбердіS центрі,
О1 – ізделінді шеSбердіS центрі, N – берілген жанама
мен берілген шеSбердіS жанасу н_ктесі (15 – сурет).
·,
·' шеSберлерініS ортаK жанамасына BМ перпенди-
кулярын тaрCызып, оныS бойына МК = ON кесіндісін
белгілейміз, К – МN т_зуініS
· шеSбері жатпайтын
жарты жазыKтыCында болады. Олай болса ОО1К _шбaрышы – теSб_йірлі. Сонымен О1 н_ктесі мына геометриялыK орындарCа тиісті:
1) ОК кесіндісініS орта перпендикулярына
2) BМ т_зуіне.
Салу: 1) BМ ( MN т_зуі
2) BМ т_зуінде МК = ОN кесіндісі (К, О н_ктелері МN т_зуініS ‰р т_рлі жаCында жатады)
3) ОК кесіндісі
4) ОК кесіндісініS орта перпендикуляры: DL (D(ОК)
5) DL
· МB = О1 н_ктесі
6)
·' (О1, О1М) шеSбері
·' – ізделінді шеSбер.
Д‰лелдеу: Салу бойынша DL орта перпендткуляр болCандыKтан, О1 н_ктесі О, К н_ктелерінен бірдей KашыKтыKта жатады (1.2., 10). Олай болса О1К = ОО1. Ал салу бойынша МК = ОN немесе МК = ОР болCандыKтан, О1Р = О1М.
ІІ ‰діс.Талдау: Ізделінді
·' (О1, О1М) шеSбері салынCан болсын (16 – сурет).
Онда МРО1 – теSб_йірлі _шбaрыш (Р - шеSберлердіS жанасу н_ктесі). МО1 перпендикулярыныS бойына МК = ОN кесіндісін ™лшеп салсаK (К, О – МN т_зуініS ‰р т_рлі жаCындаCы н_ктелер), ОО1К _шбaрышы теSб_йірлі болады. ОО1К ж‰не МРО1 _шбaрыштарында О1 бaрышы ортаK, ал табанындаCы бaрыштары ™зара теS. Онда ОК(( МР.
Салу: 1) BМ ( MN т_зуі
2) BМ т_зуінде МК = ОN кесіндісі
(К, О н_ктелері МN т_зуініS ‰р т_рлі
жаCында жатады)
3) ОК кесіндісі
4) МТ((ОК т_зуі
5) МТ
·
· = Р н_ктесі
(Р – М н_ктесіне жаKын н_кте)
6) ОР т_зуі
7) ОР
· МB = О1 н_ктесі
8)
·' (О1, О1М) шеSбері
·' – ізделінді шеSбер.
Д‰лелдеу: МР((ОК ж‰не Р (
· екенін ескерсек, ОР = МК. Олай болса КОРМ – теSб_йірлі трапеция, яCни (РОК = (МКО. МР((ОК ( (О1РМ = (РОК ж‰не (О1МР = (МКО ( (О1МР = (О1РМ. СоSCы теSдіктен О1Р = О1М.
Зерттеу: Екі т_зудіS Kиылысуы бір Cана н_кте болатындыKтан, О1 н_ктесі жалCыз. Демек салынCан шеSбер - есеп шартын KанаCаттандыратын жалCыз шешім.
Есеп 3:
· шеSбері, оныS бойынан А, В ж‰не жылжымалы С н_ктелері берілген. АВС _шбaрышыныS медианаларыныS Kиылысу н_ктелерініS геометриялыK орнын табыSыз.
Шешуі:
АйталыK М – АВ кесіндісініS ортасы,
К – медианалардыS Kиылысу н_ктесі
(17-сурет). Онда центрі М, коэффиценті 13 EMBED Equation.3 1415
болатын гомотетияда С н_ктесі К н_ктесіне
к™шеді. СондыKтан _шбaрыштыS медиана –
ларыныS Kиылысу н_ктелері берілген шеS –
берге гомотетиялы
·' шеSберініS бойында жатады ж‰не гомотетия центрі О н_ктесі, коэффиценті 13 EMBED Equation.3 1415 болады. Сонда
·' шеSбері – ізделінді НГО.
Есеп 4: А, В, С н_ктелері берілген. А ж‰не В н_ктелерінен бірдей KашыKтыKта, ал С н_ктесінен берілген KашыKтыKта жататын Х н_ктесін табыSыз.
Шешуі:
Ізделінді Х н_ктесі екі шартты KанаCаттандырады:
А, В н_ктелерінен бірдей KашыKтыKта
С н_ктесінен берілген KашыKтыKта жатады.
Бірінші шартты KанаCаттандыратын НГО – АВ
кесіндісініS орта перпендикуляры болса, екінші шартты KанаCаттандыратын НГО – центрі С н_ктесі, ал радиусы берілген KашыKтыKKа теS болатын шеSбер. Ізделінді Х н_ктесі осы геометриялыK орындардыS Kиылысуында жатыр (18-сурет).
Есеп 5: Берілген а, в параллель т_зулерін жанайтын ж‰не берілген М н_ктесі арKылы ™тетін шеSбер салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілген деп есептейік,
· (О, r) ізделінді шеSбер болсын (19-сурет). r = 13 EMBED Equation.3 1415 (h – берілген т_зулердіS араKашыKтыCы) кесіндісін оSай салуCа болады. Енді О н_ктесініS орнын аныKтау керек. О н_ктесі т™мендегідей екі шартты KанаCаттандырады:
а) а, в параллель т_зулерінен бірдей KашыKтыKта
в) М н_ктесінен 13 EMBED Equation.3 1415 KашыKтыKтаCы НГО – да жатыр.
а) шартын KанаCаттандыратын НГО т_зу болады
(1.2., 30), ал в) шартын KанаCаттандыратын НГО
шеSбер болады. Сонда О н_ктесі осы геометриялыK орындардыS Kимасына тиісті.
Салу: 1) АВ ( а т_зуі (с‰йкесінше АВ ( в болады)
2) m – АВ кесіндісініS орта перпендикуляры
3) С = АВ ( m н_ктесі
4) (М, АС) шеSбері
5) О = (М, АС) ( m н_ктесі
6) ( (О, ОМ) шеSбері
( - ізделінді шеSбер.
Д‰лелдеу: (О, ОМ) шеSбері М н_ктесі арKылы ™теді ж‰не ол а, в т_зулерімен жанасады. Себебі ОМ = АС = 13 EMBED Equation.3 1415АВ = 13 EMBED Equation.3 1415.
Зерттеу: Егер m т_зуі мен (М, АС) шеSберініS ортаK н_ктесі болса, есептіS шешімі болады. Сонымен Kатар шешулер саны m т_зуі мен (М, АС) шеSберініS ортаK н_ктелерініS санына байланысты. Мынандай _ш жаCдай болу м_мкін:
М н_ктесі а, в т_зулерімен шектелген жолаKKа тиісті. Онда 13 EMBED Equation.3 1415m, М)(АС, яCни m т_зуі мен (М, АС) шеSбері Kиылысады ж‰не олардыS ортаK екі н_ктесі болады. Олай болса, бaл жаCдайда есептіS екі шешімі бар.
М н_ктесі а, в т_зулерініS біріне тиісті. Онда 13 EMBED Equation.3 1415m, М) = АС, яCни m т_зуі (М, АС) шеSберімен жанасады. Олай болса, бaл жаCдайда есептіS бір Cана шешімі бар.
М н_ктесі а, в т_зулерімен шектелген жолаKтан тысKары жатыр. Онда 13 EMBED Equation.3 1415m, М) ( АС, яCни m т_зуі мен (М, АС) шеSбері Kиылыспайды немесе олардыS ортаK н_ктесі жоK. Олай болса, бaл жаCдайда есептіS шешімі болмайды.
Есеп 6: ЖазыKтыKта АВ ж‰не СD кесінділері берілген. Бір aшы АВ кесіндісінде, екінші aшы СD кесіндісінде жататындай кесінділердіS орта-ларыныS геометриялыK орнын аныKта.
Шешуі:
АВ, СD кесінділерініS н_ктелерін бір aшы А н_ктесінде, екінші aшы СD – ныS бойында болатындай етіп Kосатын кесінділердіS жиынын KарастырайыK (20-сурет). Сонда осы кесінділердіS орталарынан KaралCан НГО – КТ кесіндісі болады ж‰не КТ АСD _шбaрышыныS орта
сызыCы болCандыKтан, СD KабырCасына парал-
лель ж‰не оныS 13 EMBED Equation.3 1415 б™лігіне теS болады. Д‰л
осылайша МN кесіндісі бір бaрышы В н_ктесі-
нен басталып, екінші aшы СD – S н_ктелері
болатын кесінділердіS орталарыныS ГО болады.
Онда МN = 13 EMBED Equation.3 1415CD = KT. 20 сурет
АйталыK Е – АВ кесіндісініS кез-келген н_ктесі. Е мен СD-S н_ктелерін Kосатын кесінділердіS орталары ЕСD _шбaрышыныS орта сызыCы болатын РQ кесіндісін Kaрайды. Сонымен Kатар Р – САВ _шбaрышыныS орта сызыCы болатын КМ кесіндісініS н_ктесі, ал Q – DАВ _шбaрышыныS орта сызыCы болатын TN кесіндісініS н_ктесі. Олай болса, КТМN фигурасы – KабырCалары АВ мен СD кесінділеріне параллель болатын параллелограмм. Сонда бір aшы АВ–да, екінші aшы СD– да жататын кесінділердіS орталарыныS геометриялыK орны КТМN параллелограмыныS ішіндегі немесе шекарасындаCы н_ктелер болады. Осы параллелограмнан тыс жатKан бірде–бір н_кте ізделінді НГО-ныS н_ктесі бола алмайды.
§2. Т_рлендірулер ‰дісі
АйталыK жазыKтыKтаCы Ф фигурасыныS ‰рбір М н_ктесіне осы жазыKтыKтыS Kандай да бір аныKталCан М' н_ктесін с‰йкестендіретіндей ереже орнатылCан болсын. Онда жазыKтыKта Ф фигурасыныS т_рлендіруі берілген делінеді. М' - М н_ктесініS образы, ал М - М' н_ктесініS прообразы деп аталады. Берілген Ф фигурасыныS н_ктелеріне с‰йкестендірілген н_ктелер жиыны Ф' фигурасын Kaрайды ж‰не ол фигураны Ф-S образы деп атайды.
Т_рлендіруді геометриялыK салулар теориясында Kолдану геометриялыK турлендірулер ‰дісі деп аталады. Т_рлендірулер ‰дісініS негізгі маKсаты – берілген немесе ізделінді фигураларды т_рлендіре отырып, есепті оSай шешілетіндей Kарапайым т_рге келтіру. К™птеген салу есептерін шешуде жазыKтыKты геометриялыK т_рлендіру н‰тижелі Kолданылады. Енді солардыS т_рлеріне тоKталып ™тейік.
2.1. Параллель к™шіру ‰дісі
Параллель к™шіру, к™рнекі т_рде, н_ктелері бір баCытта, бірдей араKа-шыKтыKKа к™шірілетін т_рлендіру деп т_сіндіріледі.
ЖазыKтыKта декарттыK координаталар системасын енгіземіз. Кез - келген (х, у) н_ктесі жазыKтыKтыS (х+а, у+в) н_ктесіне к™шетіндей B фигурасын т_рлендіру параллель к™шіру деп аталады, мaндаCы а,в сандары барлыK (х,у) нуктелері _шін бірдей. Параллель к™шіру х'=х+а, у'=у+в формулаларымен беріледі. Бaл формулалар параллель к™шірудегі (х,у) н_ктесі к™шетін н_ктеніS х', у' координаталарын к™рсетеді (21-сурет).
Параллель к™шіру – KозCалыс.
Параллель к™шіруде н_ктелер параллель (немесе беттесетін) т_зулер бойымен бірдей KашыKтыKKа ауысады. Параллель к™шіруде т_зу ™зіне параллель т_зуге немесе ™з - ™зіне к™шеді.
Параллель к™шіруді геометриялыK салуларда Kолдану параллель к™шіру ‰дісі деп аталады. Осы ‰діс бойынша есепті шешуге берілген немесе ізделінді фигураларды не олардыS элементтерін параллель к™шіруден пайда болCан фигуралар Kарастырылады. Бaл есепке талдау жасауды барынша жеSілдетеді.
Параллель к™шіру ‰дісі фигураныS «шашыраSKы» б™ліктерін біріктіруде, к™пбaрыштарды (‰сіресе, т™ртбaрыштарды) салуда жиі Kолданылады. Мaнда, ‰детте, бір немесе бірнеше кесінділердіS параллель к™шірудегі образдарын Kарастыру арKылы салуды жеSілдететін Kосымша фигуралар (мысалы, _шбaрыш) Kарастырылады.
Мысал: Берілген т™рт KабырCасы бойынша трапеция салыSыз.
Шешуі:
Талдау. Есеп шешілді делік, яCни ізделінді АВСД трапециясы тaрCызылCан. АD = а – _лкен табан, ВС = в – кіші табан, ал АВ = d ж‰не СD = c – б_йір KабырCалар.(22-сурет)
13 EMBED Equation.3 1415 векторына Kатысты параллель к™шіру
KарастырайыK. Сонда СD KабырCасы ВD'
(D'13 EMBED Equation.3 1415АD) KабырCасына к™шеді. АВD' _шбa-
рышын берілген _ш KабырCасы бойынша
салу оSай. Онда ізделінді трапецияны салу
_шін ВD' кесіндісін 13 EMBED Equation.3 1415 векторы баCытымен, aзындыCы в–Cа теS болатындай KашыKтыKKа параллель к™шіреміз.
Салу. 1) АВ = d, ВD' = с, АD' = а - в KабырCалары бойынша АВD' _шбaрышы
2) АD' т_зуі
3) АD = а кесіндісі, А-D'-D ж‰не D ( AD'
4) ТД'Д : ВD'СD кесіндісі
5) ВС кесіндісі
АВСD - ізделінді трапеция
Д‰лелдеу. Салу бойынша АD = а, АВ = d, ал параллель к™шірудіS Kасиеті бойынша СD = с, ВС ((AD. Сонда ВС = DD' = АD - АD' = а - (а – в) = в.
Зерттеу. Егер СD – АВ < АD – ВС < СD + АВ Kатынасы орындалса, есептіS бір Cана шешуі бар. JалCан жаCдайларда есептіS шешімі жоK.
2.2. Осьтік симметрия ‰дісі
АйталыK р - берілген т_зу. Кез-келген Х13 EMBED Equation.3 1415р н_ктесінен р т_зуіне АХ перпендикулярын (А13 EMBED Equation.3 1415р) т_сіреміз (23-сурет). Осы перпендикулярдыS созындысына А н_ктесініS екінші жаCынан
АХ - Kа теS АХ' кесіндісін салсаK, Х' р
т_зуіне KараCанда Х н_ктесіне симметриялы
н_кте болады. Егер Х13 EMBED Equation.3 1415р болса, онда оCан р
т_зуіне Kатысты симметриялы н_кте ™зі болады.
€рбір Х н_ктесі с т_зуіне KараCанда симметриялы Х' н_ктесіне к™шетіндей B фигурасын B' фигурасына т_рлендіру осьтік симметрия деп аталады. МaндаCы, B, B' – с т_зуіне Kатысты симметриялы фигуралар (24-сурет). Егер осьтік симметрияда B фигурасы ™з-™зіне
к™шсе, онда оны т_зуге Kатысты симмет-
риялы фигура деп атайды, ал с – оныS
симметрия осі болады.(25-сурет)
Осьтік симметрия – KозCалыс.
· Салу есептерін шешу барысында осьтік симметрияныS Kасиеттері Kолданылуы м_мкін. Мaндай жаCдайда анализде берілген фигураCа, не оныS элементіне Kандай да бір т_зуге Kатысты симметриялы фигура салып аламыз. Н‰тижесінде оSай шешілетін немесе Kарапайым т_рдегі «жаSа» есеп алынады.
Осьтік симметрияны Kолдану сызыKтарды т_зумен алмастыруCа, берілген фигураныS «шашыраSKы» элементтерін жаKынтуCа м_мкіндік береді.
Мысал: Jос-Kостан Kиылысатын a, в, с _ш т_зуі берілген. в т_зуіне перпендикуляр болып, ортасы в т_зуінде, ал aштары а, с т_зулерінде жататын кесінді салыSыз.
Шешуі:
Талдау. Есеп шешілді делік, АС – ізделінді кесінді (26, а) сурет). Онда А13 EMBED Equation.3 1415а, С13 EMBED Equation.3 1415с, В13 EMBED Equation.3 1415в ж‰не АВ=ВС, АС(в. Бaдан в т_зуіне KараCандаCы симметрияда А н_ктесі С н_ктесіне немесе С н_ктесі А н_ктесіне к™шеді.
Салу. 1) Sв: а а' т_зуі
С = а' 13 EMBED Equation.3 1415 с н_ктесі
СН ( в т_зуі
А = СН 13 EMBED Equation.3 1415 а н_ктесі
АС – ізделінді кесінді.
Д‰лелдеу. Салуымыз бойынша АС ( в. Осьтік симметрияныS Kасиеті бойынша, в – 13 EMBED Equation.3 1415(а, а') бaрышыныS биссектрисасы болады. Ал бaдан АС ( в екенін ескерсек, АВ = ВС.
Зерттеу. Мынандай жаCдайлар болу м_мкін:
1) с ж‰не а' т_зулері Kиылысады, онда есептіS бір Cана шешімі бар (26,а) сурет)
2) с ж‰не а' т_зулері параллель, онда есептіS шешімі болмайды (26, б) сурет)
2.3. Центрлік симметрия ‰дісі
АйталыK О – жазыKтыKтаCы н_кте, ал Х – еркімізше алынCан н_кте болсын (27-сурет). ОХ кесіндісініS созындысына О н_ктесініS екінші жаCынан ОХ -
Kа теS ОХ' кесіндісін ™лшеп салайыK. Сонда
Х' н_ктесі О н_ктесіне KараCанда Х н_ктесіне
симметриялы деп аталады. О н_ктесіне сим -
метриялы н_кте оныS ™зі болады.
B фигурасын оныS ‰рбір Х н_ктесі берілген О н_ктесіне KараCанда симметриялы Х' н_ктесіне к™шетін етіп, B' фигурасына т_рлендіру О н_ктесіне Kатысты симметрия арKылы т_рлендіру деп аталады (28-сурет).
Сонда B ж‰не B ' фигуралары О н_ктесіне Kатысты симметриялы фигуралар болады.
Егер О н_ктесіне KараCанда центрлік симметрияда B фигурасын ™з-™зіне к™шіретін болса, онда B фигурасыныS симметрия центрі бар деп аталады, О н_ктесі симметрия центрі болады. Мысалы, параллелограмныS симметрия центрі оныS диагональдарыныS Kиылысу н_ктесі болады.
Салу есептерін шешуде центрлік симметрияны Kолдану центрлік симметрия ‰дісі деп аталады. Бaл ‰діс бойынша берілген немесе ізделінді фигуралардыS, не олардыS кейбір элементтерініS Kандай да бір н_ктеге Kатысты симметриялары Kарастырылады. Центрлік симметрия ‰дісін, ‰детте, фигураныS немесе оныS б™лігініS симметрия центрі болCан жаCдайда KолданCан ыSCайлы.
Мысал: Бір KабырCасы, оCан ж_ргізілген биіктігі ж‰не басKа екі KабырCаныS біріне ж_ргізілген медианасы бойынша _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, яCни АВС - ізделінді _шбaрыш (29-сурет). Онда
ВК = mв (АК = КС), АР = ha, ВС = а. АВС
_шбaрышын параллелограмCа толыKтырсаK,
К н_ктесіне Kатысты центрлік симметрияда
В н_ктесі М н_ктесіне к™шеді. Олай болса,
МВ = 2mв. Сонымен М н_ктесі екі геометрия-
риялыK орынCа тиісті:
B1:
·(В, 2mв) шеSберіне
B2: ВС т_зуінен hа KашыKтыKтаCы АМ т_зуіне
Сонда осы айтылCандарды ескере отырып, салу жоспарын былайша Kaра аламыз:
Салу: 1) ВС = а кесіндісі
2) ВС т_зуінен hа KашыKтыKтаCы параллель т_зу: l
3)
· (В, 2mв) шеSбері
4)
· (В, 2mв)
· l = М н_ктесі
5) МВ кесіндісі
6) К – МВ кесіндісініS ортасы
7) Sк : С А н_ктесі
8) АВ т_зуі
АВС – ізделінді _шбaрыш
Д‰лелдеу: Салуымыз бойынша ВС = а, МВ = 2mв. Онда центрлік симмет-рияныS Kасиетінен ВК = mв. Бaдан ВС ( ( l болCандыKтан, К осы т_зулердіS симметрия осінде жатады (3.1.2. Jарапайым ГО, 3)), яCни Sк : ВС l. Олай болса, А 13 EMBED Equation.3 1415 l, бaдан АР = hа шыCады.
Зерттеу: Салу жоспарыныS 1) - 3) Kадамдары ‰рдайым бірм‰нді орындалады. Ал 4) салуында
· (В, 2mв)
· l Kимасына байланысты мына жаCдайлар болуы м_мкін:
а) 2mв < hа, онда
·(В, 2mв)
· l = ( болады да, есептіS шешімі жоK (30 а) сурет);
б) 2mв = hа, онда
·(В, 2mв)
· l Kимасы бір н_ктеден Kaралады да, есептіS жалCыз шешімі болады (30 б)-сурет);
в) 2mв ( hа, онда
·(В, 2mв)
· l Kимасы М ж‰не М' н_ктелерініS Kосынан Kaралады. Бaл жаCдайда ‰р н_кте _шін салу жоспары б™лек орындалады да, есептіS екі шешімі бар (30 в)-сурет).
2.4. Бaру ‰дісі
Берілген н_ктені айналдыра жазыKтыKты бaру деп, осы н_ктеден шыKKан ‰рбір с‰уле бір баCытта, бірдей бaрышKа бaрылатын KозCалысты айтады.
Егер О н_ктесін айналдыра бaруда Х н_ктесі Х' н_ктесіне к™шсе (31-сурет), онда Х н_ктесі Kандай болмасын ОХ ж‰не ОХ' с‰улелері бірдей бaрыш Kaрайды. Бaл бaрыш бaру бaрышы деп аталды.
БaрудыS KозCалыс болатыны жеSіл д‰лелденеді.
Кейбір салу есептерін шешуде бaруды пайда-
лану тиімді болады. Бaл ‰дістіS м‰нісі мынада:
талдауды жеSілдету _шін немесе есептіS шешімін
бірден табу _шін фигураныS кейбір элементтерін
берілген центрден берілген бaрышKа бaрады. 31 – сурет
Мысал: Параллель екі т_зу ж‰не олармен шектелген жолаKтан А н_ктесі берілген. Екі т™бесі берілген т_зулерде, бір т™бесі берілген н_кте болатын теS KабырCалы _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, яCни в
·с, А13 EMBED Equation.3 1415в, А 13 EMBED Equation.3 1415 с, В13 EMBED Equation.3 1415в, С13 EMBED Equation.3 1415с, АВ = ВС = АС (32-сурет). АВС _шбaрышы дaрыс болCандыKтан, (А = 600 ((В = (С = 600). Олай болса, В т™бесін 600-Kа саCат тілімен баCыттас бaрсаK, ізделінді _шбa-рыштыS С т™бесі шыCады. Ендеше салу жоспары т™мендегідей:
Салу: 1) R13 EMBED Equation.3 1415: вв' т_зуі
2) С = в' ( с н_ктесі с
3) ( (А, АС) шеSбері
4) В = ( ( в н_ктесі в
5) АВ, ВС, СА кесінділері
АВС – ізделінді _шбaрыш.
Д‰лелдеу: R13 EMBED Equation.3 1415: вв' болCандыKтан АС, АВ кесінділерініS арасындаCы бaрыш 600-ты Kaрайды, яCни (САВ = 600. АС = АВ (радиустар), бaдан (АСВ = (АВС. Онда (АСВ = 13 EMBED Equation.3 1415 = 600. Олай болса, АВС – теS KабырCалы _шбaрыш.
Зерттеу: Салу жоспарыныS 1) – 3) Kадамдары орындалады, ал 4)-ші KадамCа байланысты мына жаCдайларды KарастырайыK:
а) ( ( в, яCни АС ( АН. Онда АН = АН( болCандыKтан АС ( АН(. БіраK бaлай болу м_мкін емес, себебі АСН( _шбaрышында АС – гипотенуза. Сонда ( шеSбері мен в т_зуі міндетті т_рде Kиылысады (33-сурет).
б) ( ( в Kимасы бір н_кте – В н_ктесі, онда АС=АН.
Бaдан АС=АН(, біраK тікбaрышты _шбaрышта гипо-
тенуза мен катет теS болуы м_мкін емес.
в) ( ( в Kимасы В ж‰не В( н_ктелерінен KaралCан.
Осы екі н_ктеніS біреуі _шін Cана салу жоспары
орындалады, себебі (САВ
· (САВ(. Сонымен
есептіS жалCыз шешімі болады.
2.5. `Kсас т_рлендіру ‰дісі
Егер B фигурасын B( фигурасына т_рлендіргенде н_ктелердіS араKашыK-тыCы бірдей сан есе ™згеретін (артады немесе кемиді) болса, онда мaндай т_рлендіру aKсас т_рлендіру деп аталады.
Егер B фигурасыныS еркімізше алынCан Х, У н_ктелері aKсас т_рлендіргенде B( фигурасыныS Х(, У( н_ктелеріне к™шсе, онда Х(У( = к
·ХУ болады (34-сурет), мaндаCы к – Х, У н_ктелері _шін бірдей сан.
к саны aKсастыK коэффиценті деп аталады.
к=1 болCанда aKсас т_рлендіру – KозCалыс.
АйталыK B берілген фигура ж‰не О – бел-
гіленген н_кте. B фигурасыныS кез-келген Х
н_ктесі арKылы ОХ с‰улесін ж_ргізіп, оCан
к
·ОХ оS санына теS ОХ( кесіндісін белгілейміз. Осы «заSдылыK» бойынша ‰рбір Х н_ктесі B( фигурасыныS Х( н_ктесіне к™шетін B фигурасын B(–Kа т_рлендіруді О центріне Kатысты гомотетия деп атайды, ал к – гомотетия коэффиценті болады (35 – сурет).
`Kсас т_рлендіру т_зуді т_зуге, жарты т_зуді жарты т_зуге, кесіндіні кесіндіге к™шіреді. `Kсас т_рлендіруде жарты т_зулердіS арасындаCы бaрыш саKталады.
`Kсас т_рлендіру арKылы бір – біріне к™шірілетін фигуралар aKсас деп аталады. `Kсас к™пбaрыштардыS с‰йкес бaрыштары теS, ал с‰йкес кесінділері пропорционал. Мысалы,
·АВС ~
·АВС болса, онда (А = (A(, (B = (B(, (C = (C( ж‰не 13 EMBED Equation.3 1415.
Салу есептерін шешуде aKсас т_рлендіруді Kолдану aKсас т_рлендіру ‰дісі деп аталады. ГеометриялыK салуларда aKсас т_рлендіру ‰дісін былай Kолданады: алдымен берілгеніндегі бір шарттан басKаларыныS б‰рін KанаCаттандыратын фигура салынады, содан соS ізделінді фигура салынCан фигураCа aKсас ж‰не KалCан бір шартты KанаCаттандыратындай етіп тaрCызылады. `Kсас т_рлендіру ‰дісі, к™біне, есептіS берілгеніндегі фигуралардыS біреуі кесінді, KалCандары не бaрыштар, не кесінділердіS Kатынастары болCан жаCдайда Kолданылады. €детте, к™мекші фигураныS ізделінді фигурамен aKсастыCын саKтай отырып, оны ізделінді фигурамен орналасуы да aKсас болатындай етіп тaрCызамыз.
Мысал: (а, в) бaрышы ж‰не осы бaрыш ішінде жататын М н_ктесі берілген. М н_ктесі арKылы ™тіп, бaрыш KабырCаларымен жанасатын шеSбер салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, ( (О, ОМ) – ізделінді шеSбер (36-сурет).
( (О, ОМ) ( а = А, ( (О, ОМ) ( в = В деп белгілейік. Сонда ОА = ОВ = ОМ, ОА ( а, ОВ ( в. Демек ізделінді шеSбердіS
центрі берілген бaрыштыS биссектрисасында
жатады. Сонымен ізделінді шеSбер екі шарт-
ты KанаCаттандырады:
а) ((О,ОМ) шеSбері М н_ктесі арKылы ™теді
б) ((О,ОМ) шеSбері ((а, в) бaрышыныS Kа-
бырCаларымен жанасады, ондай шеSберлер шексіз к™п ж‰не олардыS центр-лері, жоCарда к™рсеткеніміздей, берілген бaрыштыS биссектрисасында жатады.
а), б) шарттары бойынша гомотетияны пайдаланып, салу жоспарын былайша Kaрамыз.
Салу: 1) ((а, в)-S М н_ктесі жатKан бaрышыныS биссектрисасы: d
2) а) шартын KанаCаттандыратын кез-келген (((О(, О(А() шеSбері
3) а ( в = Р н_ктесі
4) РМ ( (( = М( н_ктесі
5) Р н_ктесіне Kатысты гомотетияда (( шеSберініS образы: ((О,ОМ)
шеSбері (мaнда О(М((ОМ)
( - ізделінді шеSбер
Ескерту: Салу жоспарыныS 5) Kадамын былайша ашып жазуCа болады:
5.а) О(М( т_зуі
5.б) О(М( т_зуіне М н_ктесі арKылы параллель т_зу: t
5.в) t ( d = О н_ктесі
5.г) ((О, ОМ) – ізделінді шеSбер болады.
Д‰лелдеу: Салу бойынша О(М(((ОМ болCандыKтан, (РМ(О( = (РМО ж‰не (М(О(Р = (МОР, ал (Р бaрышы екі _шбaрышKа ортаK. Онда
(РМ(О( ( (РМО ( ОМ = к(О(М(
Олай болса, ОА = OM = k( O(M( = k(O(A(. Сонда гомотетияда О(А((ОА, ал бaл ОА ( а шартыныS орындалатындыCын к™рсетеді. Д‰л осылайша ОВ ( в екені шыCады. Онда ((О, ОМ) шеSбері бaрыш KабырCаларымен жанасады. Ал салу бойынша ( шеSбері М н_ктесі арKылы ™теді. Демек, а), б) шарттары орындалады.
Зерттеу: 1) – 3) салу Kадамдары ‰рдайым орындалады ж‰не бірм‰нді. 4) KадамындаCы РМ ( (( Kимасы екі н_ктеніS Kосынан Kaралады. Осы н_ктелердіS ‰рKайсысы _шін салу жоспары б™лек орындалады да, есептіS екі шешімі болады (37-сурет).
2.6.Т_рлендірулер ‰дісімен шешілетін геометриялыK
салуларCа мысалдар
Есеп 1: Берілген кесіндіге теS ‰рі параллель болатын ж‰не aштары берілген шеSбер мен берілген т_зуде жататындай кесінді салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Ізделінді кесінді салынды делік, АА( = а, АА(((а, А((t, A((,
мaндаCы а – берілген кесінді, ( - берілген шеSбер, t – берілген т_зу (38-сурет). Онда А(=13 EMBED Equation.3 1415. Олай болса, логикалыK ой - тaжырымдау арKылы А(( болады. Бaдан 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415, яCни А(((( (мaндаCы (((13 EMBED Equation.3 1415) ж‰не А(( t шарты бойынша А(( ((( t
Салу: 1) (((13 EMBED Equation.3 1415 шеSбері
2) А( = (( ( t н_ктесі
3) ( (А(, а) шеSбері
4) А(В((а т_зуі
5) ( ( А(В ( ( = А н_ктесі
6) АА( кесіндісі
АА( - ізделінді кесінді.
Д‰лелдеу: Салу бойынша АА(=а, А((t, A((. А(А(В ж‰не А(В((а ( АА(((а.
Зерттеу: 1) Kадам ‰рдайым бірм‰нді орындалады. 2) Kадам орындалу _шін О( н_ктесінен t т_зуіне дейінгі KашыKтыK r – дан кіші немесе теS болу керек, мaнда О(, r – с‰йкесінше (( шеSберініS центрі мен радиусы. Егер h(О(, t) ( r болса, онда (( ( t Kимасы А( ж‰не А(( н_ктелерінен Kaралады да, осы н_ктелердіS ‰рKайсысы _шін салу Kадамдары жеке орындалады. Бaл жаCдайда есептіS екі шешімі бар. Егер h(О(, t) = r болса, онда (( ( t Kимасы жалCыз А( н_ктесінен Kaралады да, есептіS бір Cана шешімі болады. Егер h(О(, t) ( r болса, онда (( ( t = (, яCни есептіS шешімі жоK.
Есеп 2: (А( 900 бaрышы ж‰не оныS ішінен кез-келген Х н_ктесі берілген. Екі т™бесі берілген бaрыш KабырCаларында (‰р KабырCада бір н_ктеден), ал _шінші т™бесі Х н_ктесі болатындай еS кіші периметрлі _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: АйталыK (ВАС – берілген бaрыш (39-сурет). Осы бaрыштыS АВ, АС
KабырCаларына Kатысты симметрияда Х н_ктесініS образдарын с‰йкесінше Х1, Х2 деп белгілейік. Сонда ХМN _шбaрышы еS кіші периметрлі _шбaрыш болады (М = AB ( X1X2, N = AC ( X1X2).
Салу: 1) SАВ: Х(Х1 н_ктесі
2) SАС: Х(Х2 н_ктесі
3) Х1Х2 т_зуі
4) Х1Х2 ( АВ = M н_ктесі
5) Х1Х2 ( АС = N н_ктесі
6) ХМ, XN кесінділері
(ХМN – ізделінді _шбaрыш.
Д‰лелдеу: 4), 5) салу Kадамдарынан М(АВ, N(АС екені шыCады. Енді ХМN _шбaрышыныS периметрі еS кіші екенін д‰лелдеу керек. М((АВ ж‰не N((АС болатындай кез-келген М(N( т_зуін ж_ргізсек, М(Х1 = M(X ж‰не N(X = N(X2, себебі АВ – ХХ1, ал АС – ХХ2 кесіндісініS орта перпендикулярлары. Онда
РXMN = XM + MN + NX = X1M + MN + NX2 = X1X2 – т_зу
РXM(N( = XM( + M(N( + N(X = X1M( + M(N( + N(X2 – сыныK сызыK
Сонда РXM(N( ( РXMN .
Зерттеу: Есеп шарты бойынша Х н_ктесі ВАС бaрышыныS ішінде жатKандыKтан, оCан АВ, АС т_зулеріне KараCандаCы симметриялы н_ктелер табылады ж‰не олар біреуден Cана болады. Олай болса, М, N н_ктелері де жалCыз, себебі екі т_зу бір н_ктеде Cана Kиылысады. Онда XMN _шбaрышы – есеп шартын KанаCаттандыратын жалCыз шешім.
Есеп3: Т™ртбaрыштыS Kарама – Kарсы KабырCаларынан екі н_кте алынCан. Осы н_ктелер т™бесі болатындай берілген т™ртбaрышKа іштей параллелограмм сызыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, АВСD – ізделінді параллелограмм (40 – сурет). А, С – с‰йкесінше КN, ML KабырCаларындаCы берілген н_ктелер. D, В н_ктелері АС кесіндісініS ортасы болатын О н_ктесіне Kатысты симметриялы н_ктелер (параллелограмныS Kасиеті бойынша). D ( MN, онда В ( M(N(.
Салу: 1) О – АС кесіндісініS ортасы
2) S0: MN ( M(N( н_ктесі
3) M(N( ( KL = B н_ктесі
4) S0: В ( D н_ктесі
5) АD, DC, CB, AB кесінділері
АВСD–ізделінді параллелограмм
Д‰лелдеу: АО = ОС ж‰не ВО = OD теSдіктерінен АВСD т™ртбaрышыныS параллелограмм екені шыCады.
Зерттеу: Егер KNML т™ртбaрышыныS KL, MN KабырCаларыныS созындысы Kиылысса, онда есептіS жалCыз шешімі бар. Егер KL((MN ж‰не О - KL, MN т_зулерінен бірдей KашыKтыKта болса, есептіS шексіз к™п шешімі бар. Егер KL((MN ж‰не О – KL, MN т_зулерінен ‰рт_рлі KашыKтыKта болса, есептіS шешімі жоK.
Есеп 4: А, В, С, - берілген шеSбердіS н_ктелері. ШеSбердіS СD хордасы О н_ктесінде KаK б™лінетіндей D н_ктесін табыSыз, мaндаCы О = AB ( CD.
Шешуі:
Талдау: АйталыK ( - берілген шеSбер, А ( (, В ( (, С ( ( ж‰не ізделінді D н_ктесі тaрCызылCан болсын (41-сурет). D н_ктесі арKылы АВ кесіндісіне параллель болатын р т_зуін ж_ргізіп, СА ( р = С1 деп белгілесек, DO = OC болCандыKтан С1А = АС. Д‰л осылайша
СВ ( р = С2 десек, С2В = ВС. Сонымен
салу жоспары мынадай болады:
Салу: 1) SA: C ( C1 н_ктесі
2) SВ: C ( C2 н_ктесі
3) С1С2 т_зуі
4) С1С2 ( ( = D н_ктесі
D – ізделінді н_кте.
Д‰лелдеу: Центрлік симметрияныS Kасиеті бойынша СА = AC1, CB = BC2, онда АВ – С1СС2 _шбaрышыныS орта сызыCы болады. Олай болса, АВ((С1С2. Салу бойынша D ( С1С2 болCандыKтан, С1D((AB ж‰не А – С1С2-S ортасы, онда DO=OC.
Зерттеу: Т™мендегідей жаCдайлар болу м_мкін:
АВ = d, мaндаCы d – берілген шеSбердіS диаметрі. Егер АС = ВС болса, яCни С – АВ кесіндісініS орта перпендикулярында жатса, есептіS бір шешімі болады; егер АС
· ВС болса, екі шешімі болады; егер С ( А немесе С ( В болса, шешімі жоK,
АВ ( d. Егер (АСВ ( 900 болса, есептіS екі шешімі бар; (АСВ ( 900 болса, есептіS шешімі жоK; (АСВ=900 бола алмайды, себебі АВ ( d.
Есеп 5: (1, (2 шеSберлерініS ортаK А н_ктесі арKылы берілген шеSбер-лерді бірдей хордамен Kиып ™тетіндей т_зу ж_ргізіSіз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, р – ізделінді т_зу болсын (42-сурет). р ( (1 = В,
р ( (2 = C деп белгілейік. Сонда ВА = АС
болCандыKтан, SA: B ( C. Егер SA: (1 ( ((
десек, В ( (1 ( С ( (( ж‰не де С ( (2.
Салу: 1) SA: (1 ( (( шеSбері
2) (( ( (2 = C (А – дан ™зге н_кте)
3) АС т_зуі
АС – ізделінді т_зу
Д‰лелдеу: О1, О( - с‰йкесінше (1, (( шеSберлерініS центрлері, ал В=AC((1 деп белгілейік. Центрлік симметрияныS Kасиеті бойынша ВО1 = O1A=AO(=O(C
Бaдан (О(АС = (О1АВ – вертикаль бaрыштар. Онда (АО(С = (АО1В. ^шбaрыштар теSдігініS бірінші белгісі бойынша (СО(А = (ВО1А, олай болса АВ = АС.
Зерттеу: Салу жоспарыныS 1) ж‰не 3) Kадамдары бірм‰нді орындалады, ал 2) KадамCа байланысты мына жаCдайлар болу м_мкін:
а) (1 ( (2 Kимасы жалCыз А н_ктесінен Kaралады, яCни бaл шеSберлер А н_ктесінде жанасады. Онда (( ( (2 Kимасы да жалCыз А н_ктесінен Kaралады. Бaл жаCдайда егер (1, (2 шеSберлерініS радиустары теS болса, есептіS шексіз к™п шешімі бар; егер (1, (2 шеSберлерініS радиустары ‰рт_рлі болса, есептіS шешімі жоK.
б) (1 ( (2 Kимасы А ж‰не А( н_ктелерінен тaрады. Онда (( ( (2 Kимасында А-дан ™зге бір Cана н_кте бар. СондыKтан бaл жаCдайда (1, (2 шеSберлерініS радиустары теS болса да, ‰рт_рлі болса да есептіS жалCыз шешімі бар.
Есеп 6: (ВАС = ( бaрышы, KабырCаларыныS АВ(АС = m(n Kатынасы ж‰не АН биіктігі бойынша АВС _шбaрышын салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, яCни ізделінді АВС _шбaрышы салынCан болсын (43 - сурет). Берілген бaрышты МАК деп белгілесек, онда кез – келген BАР (B(МА, Р(КА) _шбaрышы есептіS бірінші шартын KанаCаттандырады. Екінші шарттын KанаCаттандыратын _шбaрышты табу _шін aKсастыKты пайдала-намыз. АМ с‰улесіне АВ1 = m, АK с‰улесіне AC1 = n кесінділерін салсаK, (В1АС1 ~ (ВАС.
Салу: 1) (МАК = ( бaрышы
2) АВ1 = m (В1(АМ) кесіндісі
3) АС1 = n (С1(АК) кесіндісі
4) В1С1 кесіндісі
5) АН1 ( В1С1 (Н1 ( В1С1) т_зуі
6) АН1 с‰улесіне АН = h кесіндісі
7) Н н_ктесі арKылы l((В1С1 т_зуі
8) l ( МА = В н_ктесі
9) l ( КА = С н_ктесі
(АВС – ізделінді
Д‰лелдеу: Салу бойынша АВ1С1 _шбaрышында (В1АС1 = (, АВ1(АС1 = m(n ж‰не ВС((В1С1. Онда (АВС ( (АВ1С1 (_шбaрыштыS KабырCасына параллель т_зу оCан aKсас болатын _шбaрыш Kияды). Олай болса, АВС _шбaрышында да (ВАС = (, АВ(АС = m(n ж‰не де салу бойынша А т™бесінен т_сірілген биіктік h болады. Демек АВС _шбaрышы есептіS барлыK шартын KанаCаттандырады, яCни ізделінді болады.
Есеп 7: АВС с_йір бaрышты _шбaрышыныS ішінен А, В, С н_ктелеріне дейінгі KашыKтыKтарыныS Kосындысы еS кіші болатындай О н_ктесін табыSыз.
Шешуі:
Талдау: Ізделінді О н_ктесі тaрCызылCан болсын (44-сурет). АВО _шбaрышын АВС _шбaрышыныS сыртына Kарай 600-Kа бaрсаK, О ( О1, В ( В1. АО = АО1, (О1АО = 600, бaдан АО1О – теS KабырCалы _шбaрыш, яCни АО = ОО1. Егер В1, О1, О, С н_ктелері бір т_зудіS бойында жатса, В1О1ОС сызыCы еS кіші aзындыKKа ие болады. Осылайша О ( В1С. Д‰л осы ‰діспен О ( С1В, мaндаCы С1 - 13 EMBED Equation.3 1415: АС ( АС1.
Салу: 1) АВС _шбaрышыныS сыртынан
АВ, АС кесінділеріне, с‰йкесінше,
теS KабырCалы АВ1В ж‰не АС1С
_шбaрыштарын тaрCызамыз.
2) В1С ж‰не С1В т_зулері
3) В1С ( С1В = О н_ктесі
О – ізделінді н_кте.
Д‰лелдеу: Д‰лелдеуі талдаудан байKауCа болады.
Зерттеу: JабырCалары АВ, АС болатын теS KабырCалы _шбaрыштар ‰рдайым бірм‰нді табылады. Олай болса, В1С ( С1В = О н_ктесі де жалCыз, яCни есептіS бір Cана шешімі бар.
Есеп 8: ШеSбердіS екі радиусы сызылCан. Осы радиустармен теS _ш б™лікке б™лінетіндей шеSбердіS хордасын салыSыз.
Шешуі:
Талдау: АйталыK ( (О, r) – берілген шеSбер, АО, ВО – берілген радиустар, ал РС – ізделінді кесінді (45-сурет). Онда АО ( РС = D, ВО ( РС = К десек, CD=DK=KP. РС кесіндісіне А (немесе В) н_ктесі арKылы параллель т_зу ж_ргізсек, (РОС = (Р(ОС(, мaндаCы Р( = ОР ( АВ, С( = ОС ( АВ. Олай болса, АО, ВО радиустары Р(С( кесіндісін теS _шке б™леді.
Салу: 1) АВ т_зуі
2) SA: В ( С( н_ктесі
3) SВ: А ( Р н_ктесі
4) ОС(, ОР( кесінділері
5) ОС( ( ( = С н_ктесі
6) ОР( ( ( = Р н_ктесі
7) РС кесіндісі
РС – ізделінді кесінді
Д‰лелдеу: АО, ВО радиустар болCандыKтан, (ОАС( = (ОВР(. Салу бойынша АС( = ВР(. Онда (АС(О = (ВР(О(, бaдан С(О = Р(О. ОС мен ОР радиустар болCандыKтан теS, онда СС( = РР(. Бaдан РС((Р(С(, яCни (РОС ( (Р(ОС(. Ал салу бойынша С(А = AB = ВР(, онда _шбaрыштардыS aKсастыCынан CD = =DK=KP.
Зерттеу: Егер А, В н_ктелері О н_ктесіне Kатысты симметриялы емес болса, онда есептіS бір Cана шешімі бар. Егер А, В н_ктелері О н_ктесіне Kатысты симметриялы болса, есептіS шешімі болмайды.
Есеп 9: ^ш медианасы ma, mв, mc бойынша _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік ж‰не ізделінді АВС _шбaрышы тaрCызылCан болсын (46-сурет). АМ, ВN ж‰не СР – оныS медианалары, Е – медианалардыS Kиылысу н_ктесі ж‰не АМ = ma, BN = mв, CP = mc. ВЕС _шбaрышында ВЕ=13 EMBED Equation.3 1415mв, СЕ=13 EMBED Equation.3 1415mс, ал ВМ = МС. Егер М н_ктесіне Kатысты симметрияда Е н_ктесі D – Cа к™шеді десек, ЕD=13 EMBED Equation.3 1415 ma. Сонда ВЕD _шбaрышын _ш Kабыр-Cасы бойынша салуCа болады.
Салу: 1)ВЕ = 13 EMBED Equation.3 1415mв, ЕD = 13 EMBED Equation.3 1415ma, ВD = 13 EMBED Equation.3 1415mc
KабырCалары бойынша
·ВЕD
2) М – ЕD кесіндісініS ортасы
3) SM: В ( С н_ктесі
4) SЕ: D ( A н_ктесі
5) АВ, ВС, СА кесінділері
АВС – ізделінді _шбaрыш
Д‰лелдеу: Салу бойынша ЕD =13 EMBED Equation.3 1415ma, онда центрлік симметрияныS Kасиетінен АМ = ma шыCады. М – ЕD кесіндісініS ортасы ж‰не SM: В ( С бойынша SM:ВD ( СЕ, яCни BD = CE = 13 EMBED Equation.3 1415mc. Ал ВЕ=13 EMBED Equation.3 1415mв, онда Е – медианалардыS Kиылысу н_ктесі, яCни BN = mв, CP = mс.
Зерттеу: ВЕD _шбaрышын салу _шін mа ( mв + mс, mв ( mа + mс, mс ( mа +mв, Kатынастары орындалуы керек. Онда есептіS бір Cана шешімі бар. БасKа жаCдайларда есептіS шеімі жоK.
§3. АлгебралыK ‰діс
Кейбір геометриялыK салуларда т_зудіS Kандай да бір кесіндісін тaрCызу керектігі айтылады. Ондай есептерді шешу _шін алгебралыK ‰дісті Kолданамыз.
АлгебралыK ‰діс бойынша берілген кесінділердіS aзындыKтары а, в, с, ... ‰ріптерімен, ізделінді кесіндініS aзындыCы х ‰рпімен белгіленіп алынады да, есеп шартын пайдалана отырып ізделінді кесінділердіS aзындыCын берілгендермен байланыстыратындай теSдеу Kaрылады. JaрылCан теSдеуді шешіп, х-тіS табылCан ™рнегініS геометриялыK кескінін саламыз. Бaл – ізделінді кесінді болады.
Кейбір кесінділерді (немесе бірнеше кесінділерді) салу арKылы салу есептерін шешу алгебралыK ‰діс деп аталады. Салу есептерін шешудіS алгебралыK ‰дісі т™мендегі алгоритм арKылы іске асады:
теSдеу Kaру
KaрылCан теSдеуді шешу
формуланы зерттеу
табылCан кесіндіні салу.
Мысал: «Бірлік» кесінді берілген. `зындыCы у = 13 EMBED Equation.3 1415 санына теS болатын кесіндіні тaрCызу керек. Ізделінді кесіндіні салу _шін у – ті ондыK б™лшек т_рінде ™рнектеп, содан соS т_зуге ондыK, ж_здік ж‰не т.б. б™ліктеріне с‰йкес бірлік кесіндіні ™лшеп саламыз. Алайда ізделінді кесіндіні бaлай салу д‰л болмайды. Оны циркуль мен сызCышты пайдалану арKылы «д‰л» тaрCызудыS басKа ‰дісі бар. Ол туралы т™менде айтылады.
3.1. Jарапайым формулалармен берілген кесінділерді салу
І. х = а + в Салу 47-суретте к™рсетілген.
ІІ. х = а - в (а>в) Салу 48-суретте к™рсетілген.
ІІІ. х = nа, n (
·. Бaл кесіндіні салу І–ші салуCа келтіріледі. Мысалы 49-суретте n = 3 болCан жаCдай белгіленген: х = 3а.
ІV. х = 13 EMBED Equation.3 1415 a. Бaл кесіндіні салу _шін берілген а кесіндісініS aшынан с‰уле ж_ргізіп, осы с‰улеге ОВ = nв болатындай в кесіндісін n рет саламыз да (50-сурет), В н_ктесін А н_ктесімен (а ке -
сіндісініS екінші aшы) Kосамыз. ОВ1=в шарты
арKылы аныKталатын В1 н_ктесінен АВ – Cа
ж_ргізілген параллель т_зудіS а кесіндісімен
Kиылысуын А1 десек, ОА1 – ізделінді кесінді.
V. х = 13 EMBED Equation.3 1415a, n, m – берілген натурал сандар, а – берілген кесінді. Бaл кесіндіні екі ‰діспен салуCа болады:
1) а кесіндісін бірдей m б™лікке б™ліп (жо-
CардаCы ІV салу), алынCан кесіндіні n есе
_лкейтеміз (ІІІ салу).
2) АйталыK ОА = a. О н_ктесінен шыCатын
кез – келген с‰улеге ОВ1 = nв ж‰не ОВ = mв
кесінділерін салып (51-сурет), В1 н_ктесі ар-
Kылы АВ – Cа параллель А1В1 кесіндісін
ж_ргіземіз (А1 ( ОА). Сонда ОА1 кесіндісі ізделінді болады, яCни х = ОА1.
VІ. х = 13 EMBED Equation.3 1415 (берілген _ш кесіндіге пропорционал т™ртінші кесіндіні салу).
Берілген шартты с:а = в:х пропорциясы т_рінде
жазып аламыз. АйталыK ОА=а, ОС=с кесінділері
О н_ктесінен шыCатын бір с‰уле бойында жатыр,
яCни ОА, ОС – бір KатынастыS «м_шелері» (52 -
сурет). О н_ктесінен шыCатын екінші с‰улеге
екінші KатынастыS белгілі м_шесін, яCни ОВ = в
кесіндісін саламыз. А н_ктесі арKылы ™тіп, ВС–Cа
параллель болатын т_зудіS ОВ – мен Kиылысу н_ктесі Х болса, онда ОХ – ізделінді кесінді.
VІІ. х = 13 EMBED Equation.3 1415. І ‰діс: в = а деп алып, жоCардаCы VІ салу орындалады.
ІІ ‰діс: (бaл ‰діс а < с болCанда Kолданылады) диаметрі АВ = c болатын жарты шеSбер тaрCызып, оныS
· (А, а) шеSберімен
Kиылысуын С деп белгілейміз (53 – сурет).
Содан соS С н_ктесінен АВ–Cа перпендикуляр
ж_ргізсек, АD – ізделінді кесінді болады (D –
перпендикулярдыS табаны), яCни х = AD.
VІІІ. х = 13 EMBED Equation.3 1415 (берілген екі кесіндініS пропорционал ортасын салу).
І ‰діс: АВ = а + в болатын АС = а, СВ = в кесінділерін салып (54-сурет), АВ диаметрі болатын шеSбер ж_ргіземіз ж‰не С
н_ктесі арKылы АВ – Cа перпендикуляр тaр -
Cызамыз. Осы перпендикуляр мен жарты шеS-
бердіS Kиылысуын D десек, СD – ізделінді
кесінді болады, яCни х = CD.
ІІ ‰діс: (а ( в жаCдайы _шін). Диаметрі а – в болатын шеSбер салып, оныS центрі арKылы Kиюшы ж_ргіземіз (55-сурет).
Осы KиюшыныS шеSбер сыртындаCы б™лігіне
шеSбермен Kиылысу н_ктесінен бастап в – Cа
теS кесіндіні белгілейміз де, табылCан н_кте
(кесіндініS екінші aшы) арKылы шеSберге АТ
жанамасын ж_ргіземіз (Т – жанасу н_ктесі).
Сонда х = АТ.
ІІІ ‰діс: (а ( в жаCдайы _шін). Диаметрі MN = a шеSбер салып, MN кесінді-сіне МК = в кесіндісін белгілейміз (56-сурет).
Содан соS К н_ктесі арKылы MN–Cа перпен -
дикуляр тaрCызып, оныS шеSбермен Kимасын
Х деп белгілесек, МХ ізделінді кесінді болады,
яCни х = МХ.
ІХ. х = 13 EMBED Equation.3 1415. Бaл кесінді катеттері а ж‰не в болатын тікбaрышты _шбaрыштыS гипотенузасы ретінде салынады.
Х. х = 13 EMBED Equation.3 1415. х кесіндісі гипотенузасы а, бір катеті в болатын тікбaрышты _шбaрыштыS екінші катеті болады.
Кейбір есептерде кесінді к_рделі формулалармен беріледі. Оларды шешу _шін Kарапайым т_рге келтіру керек. Мысалдар KарастырайыK:
1) х = а13 EMBED Equation.3 1415, n (
·. Егер n = p
·q (мaндаCы p, q (
·) болса, онда х = 13 EMBED Equation.3 1415 деп жазып аламыз да, жоCардаCы VIII салуды Kолданамыз. Егер n = p2+ q2 болса, онда х = 13 EMBED Equation.3 1415 болады да, ІХ салу орындалады. Ал егер n=p2-q2 болса, онда х = 13 EMBED Equation.3 1415, яCни Х салу орындалады.
2) х = a13 EMBED Equation.3 1415, p, q (
·. Бaл теSдікті х = 13 EMBED Equation.3 1415 т_рінде жазып, V ж‰не VІІІ салуларды орындаймыз.
3) х = 13 EMBED Equation.3 1415. Алдымен у = 13 EMBED Equation.3 1415 формуласы бойынша у кесіндісі, содан соS х =13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісі салынады (VІ салу).
4) х = 13 EMBED Equation.3 1415. Алдымен у = 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісі (VІІ салу), содан соS х = 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісі тaрCызылады.
5) х = 13 EMBED Equation.3 1415 (а2 + d2 ( в2 + с2). Бaл кесіндіні салу _шін мына кесінділер тізбектеліп салынады: у = 13 EMBED Equation.3 1415, z = 13 EMBED Equation.3 1415, x = 13 EMBED Equation.3 1415.
6) х = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (а3+ с3 ( в3). Берілген теSдікті х = 13 EMBED Equation.3 1415 т_рінде жазып, у, z, х кесінділерін ретімен саламыз: y = a+ 13 EMBED Equation.3 1415 (4 - ші мысал),
z = 13 EMBED Equation.3 1415 (3 - ші мысал), х = 13 EMBED Equation.3 1415 (ІV салу).
7) х = 13 EMBED Equation.3 1415 (а( в).
х = 13 EMBED Equation.3 1415 теSдігі бойынша жоCардаCы Х, ХІ ж‰не VІІІ салуларды пайдаланып, с‰йкесінше у = 13 EMBED Equation.3 1415, z = 13 EMBED Equation.3 1415, x = 13 EMBED Equation.3 1415 кесінділерін тaрCызамыз.
3.2. Квадрат теSдеудіS т_бірлерін тaрCызу
АйталыK p ж‰не q кесінділері берілген. `зындыCы х2 ( рх ( q2 = 0 квадрат теSдеуініS наKты т_бірлеріне теS болатын кесіндіні есептемей – аK салатындай ереже жасауCа болады. МaндаCы х2 ( рх ( q2 = 0 теSдігі тікт™ртбaрыш (рх) пен екі квадраттыS (х2 & q2) аудандарыныS байланысы т_рінде жазылCандыKтан, босм_шені q емес, q2 т_рінде жазамыз.
К™рсетілген есепті шешу _шін Виет формуласын немесе квадрат теSдеудіS т_бірлерініS формуласын KолдануCа болады. Екі ‰дісті де KарастырайыK:
І ‰діс:
1) х2 - рх + q2 = 0 теSдеуі _шін
х1 = 13 EMBED Equation.3 1415, x2 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Гипотенузасы ОА = 13 EMBED Equation.3 1415, катеті АС = q болатын тікбaрышты _шбaрыш салып (57-сурет), ( (О, ОС) шеSберін тaрCызамыз. Содан соS ОА т_зуін ж_ргізіп, оныS ( шеSберімен Kимасын D1, D2 (АD1 ( АD2) десек, х1 = AD1, x2 = AD2.
2) х2 - рх - q2 = 0 теSдеуі _шін
х1 = 13 EMBED Equation.3 1415, x2 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Бaл жаCдайда салу жоспары т™мендегіше болады:
1. ОС =13 EMBED Equation.3 1415, CA =q катеттері бойынша ОСА тікбaрышты _шбaрышы (57-сурет)
2. ( (О, 13 EMBED Equation.3 1415) шеSбері
3. ОА т_зуі
4. ОА ( ( = D1 ж‰не D2 н_ктелері
х1 = AD1, x2 = AD2 – ізделінді кесінділер.
3) х2 + рх ( q2 = 0 теSдеуін шешу _шін х = -у деп алып, жоCарда к™рсетілген салуларды Kолданамыз.
ІІ ‰діс: ( Виет формуласы арKылы шешу)
1) Талдау: х2 - рх + q2 = 0 теSдеуініS т_бірлері Виет формуласы бойынша мынандай байланыста болады:
х1 + х2 = р, х1 ( х2 = q2.
Сонда квадрат теSдеудіS т_бірлерін тaрCызу Kосындысы ж‰не геометриялыK ортасы берілген екі кесіндіні салу есебіне келеді.
Салу: 1. Диаметрі АВ = р болатын ( шеSбері (58-сурет)
2. АВ диаметрінен q KашыKтыKтаCы DЕ параллель т_зуі
3. DЕ ( ( = B н_ктесі
4. BС ( АВ ж‰не С ( АВ т_зуі
х1 = AС, x2 = ВС – ізделінді кесінділер.
Зерттеу: Салу жоспарыныS _шінші KадамындаCы DЕ т_зуі ((О, 13 EMBED Equation.3 1415) шеSберін q ( 13 EMBED Equation.3 1415 шарты орындалCанда Cана Kияды. Бaл жаCдайда есептіS ‰р т_рлі екі шешімі болады. Егер q = 13 EMBED Equation.3 1415 болса, DЕ т_зуі ( шеSберін жанайды да, АС = ВС
болады. СондыKтан х1 = х2, яCни есептіS жалCыз шешімі болады. Егер q ( 13 EMBED Equation.3 1415 болса, DЕ т_зуініS ( шеSберімен ортаK н_ктесі болмайды да, есептіS шешімі жоK делінеді.
2) х2 - рх - q2 = 0 теSдеуініS т_бірлері х1 + х2 = р, х1 ( х2 = - q2 шарттары арKылы байланысKан. Бaдан бір т_бірі оS (айталыK х1), ал екіншісі теріс (яCни х2) екені к™рініп тaр. Олай болса, х1 = (х1(, х2 =-(х2(. СондыKтан х1 -(х2(= p, x1 ((х2(= q2. Сонымен бaл айырмасы ж‰не геометриялыK ортасы берілген екі кесіндіні салу есебіне келеді. Салу жоспары былайша болады: (59-сурет)
1) ((О, 13 EMBED Equation.3 1415) шеSбері
2) кез – келген Т ( ( н_ктесінен t жанамасы
3) ТА = q болатындай А ( t н_ктесі
4) ОА т_зуі
5) ОА ( ( = D1, D2 (AD1 ( AD2) н_ктелері
AD1, AD2 – ізделінді кесінділер, яCни х1 = AD1, (x2( = AD2.
3.3. ТригонометриялыK функциялар арKылы ™рнектелген кесіндіні салу
Берілген бaрыштыS тригонометриялыK функциясына байланысты кесінділерді сызCыш пен циркульды пайдаланып салуCа болады. Мысалдар KарастырайыK:
1-мысал: с кесіндісі ж‰не ( с_йір бaрышы
берілген. х = c cos(, y = c sin( формулала -
рымен берілген х,у кесінділерін салу керек.
Ол _шін с гипотенузасы, ( с_йір бaрышы
бойынша тікбaрышты _шбaрыш саламыз (60-сурет). Сонда ( бaрышына ірге-лес жатKан катет ізделінді х кесіндісі, ал Kарсы жатKан катет у кесіндісі болады.
2-мысал: х = a cos3(, y = a sin3( формулаларымен берілген х, у кесінділерін салыSыз, мaнда а – берілген кесінді, ( - берілген бaрыш.
Салу жоспары т™мендегіше болады: (61-сурет)
1) (АОА1 = ( бaрышы, ОА = а гипотенуза –
сы бойынша АОА1 тікбaрышты _шбaрышы
2) А1С ( ОА т_зуі
3) А1С ( ОА = А2 н_ктесі
4) А2В ( АА1 (В(АА1) т_зуі
5) А2А3 ( ОА1 (А3(ОА1) т_зуі
ОА3, АВ – ізделінді кесінділер, яCни
ОА3 = a cos3(, АВ = a sin3(.
Ескерту1: х = a cosn(, y = a sinn( формулаларымен берілген кесінділерді жоCарда к™рсетілген ‰діс бойынша аналогиялыK т_рде салуCа болады.
Ескерту2: х = a cos3(, y = a sin3( (0 ( ( ( 2() формулалары астроида деп аталатын KисыK сызыKты аныKтайды. 2-ші мысалдаCы салу жоспарын циркуль ж‰не сызCыштыS к™мегімен орындай отырып еш есептеусіз астроиданыS кез-келген н_ктелерін табуCа болады.
3.4. АлгебралыK ‰діс арKылы шешілетін салу есептеріне мысалдар
Есеп 1: ^шбaрыш берілген. ОныS ауданын теS екіге б™летіндей етіп, табанына параллель т_зу ж_ргізіSіз.
Шешуі:
Талдау: АйталыK АВС–берілген _шбaрыш (62-сурет), АВ = с, ВС = a, AC = в ж‰не BD = h ((BDC = 900) делік. АВС _шбaрышыныS АС табанына MN параллель т_зуін оныS ауданын теS екіге б™летіндей етіп ж_ргізу _шін К н_к-тесін, яCни ВК = х кесіндісініS aзындыCын
табу керек, мaндаCы К = MN ( BD.
АВС _шбaрышыныS ауданы 13 EMBED Equation.3 1415, ал BMN
_шбaрышыныS ауданы 13 EMBED Equation.3 1415 болады.
Есеп шарты бойынша
13 EMBED Equation.3 1415 = 2(13 EMBED Equation.3 1415 (1)
^шбaрыштыS бір KабырCасына параллель ж_ргізілген т_зу, сол _шбaрышKа aKсас _шбaрыш Kиятынын ескеріп, (АВС ( (BMN деп жаза аламыз. Бaдан
13 EMBED Equation.3 1415 немесе 13 EMBED Equation.3 1415,
онда MN = 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
(1) ж‰не (2) теSдіктерін теSестіріп, ізделінді кесіндіні аламыз:
х = 13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Салу: х = 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісін салу: KабырCасы BD = h (берілген АВС _шбaрышыныS биіктігі) болатын квадраттыS диагоналы MB = h13 EMBED Equation.3 1415 (63 -
сурет), онда оныS жартысы ОВ = 13 EMBED Equation.3 1415 .
Осы табылCан х = ОВ кесіндісін берілген
АВС _шбaрышыныS В т™бесінен бастап,
h биіктігініS бойына ™лшеп саламыз да,
АС KабырCасына параллель МК т_зуін
ж_ргіземіз. МК – ізделінді т_зу.
Д‰лелдеу: Ізделінді К н_ктесі арKылы ж_ргізілген МК((АС т_зуі берілген _шбaрыш ауданын теS екіге б™леді, онда
SBMN = SAMNC (4) теSдігін д‰лелдейік. SBMN = 13 EMBED Equation.3 1415MN(x = 13 EMBED Equation.3 1415x(13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415;
SAMNC = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 =
= 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Сонымен (4) теSдік орындалады, яCни К – ізделінді н_кте.
Зерттеу: х кесіндісініS шамасы (0, h) аралыCында болады. Онда MN кесіндісініS aзындыCы АС-дан кіші. (3) ™рнектегі h оS шама, сондыKтан х те оS шама болады. Егер х ( h болса, есеп шарты орындалмайды. Сонда х((0, h) болCанда, есептіS жалCыз шешімі бар.
Есеп 2: ( шеSбері, К ( ( н_ктесі ж‰не К н_ктесі арKылы ™тіп, ( шеSберін жанайтын m т_зуі берілген. Берілген шеSбер мен берілген т_зуді К н_ктесінде жанайтын шеSбер салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, ( (О, r) – берілген шеSбер, m – берілген т_зу, К((, К ( m – берілген н_кте (64-сурет). Ізделінді шеSбердіS центрі m т_зуіне К н_ктесі арKылы ж_ргізілген n орта перпендикулярыныS бойында жатады ж‰не ( (О, r) шеSберінен R KашыKтыKта болады, мaндаCы R – ізделінді шеSбердіS радиусы. m т_зуіне О н_ктесі арKылы параллель т_зу ж_ргізіп, оныS n т_зуімен Kимасын N деп белгілесек, ON = MK,
OM = NK = r. Ізделінді шеSбердіS центрі О1 болса,
О1К = O1L = R, ал O1N = r – R.
мaндаCы L – шеSберлердіS жанасу н_ктесі. Соны -
Сонымен ОО1N _шбaрышынан Пифагор теоремасы
бойынша ON2+O1N2 = OO12 ( ON2 + (r–R)2 = (r–R)2
( ON2 + r2 – 2rR + R2 = r2 + 2rR + R2 (
( ON2 = 4rR ( R = 13 EMBED Equation.3 1415.
R – діS м‰ні к_рделі ™рнек болып шыKты. Бaл ™рнекті алгебралыK ‰діспен салуCа болады.
Салу: 1) у = 4r кесіндісі
2) ( (О, r) ( m = М н_ктесі
3) z = МК кесіндісі
4) R = 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісі
5) ( (К, R) шеSбері
6) К н_ктесі арKылы n ( m т_зуі
7) ( ( n = О1 (О1 – m т_зуініS ( шеSбері жатKан жаCындаCы н_кте)
8) ( (О1, R) шеSбері
( - ізделінді шеSбер.
Д‰лелдеу: 5) ж‰не 7) салу бойынша О1К = R. Ал О1 ( n, онда ( шеSбері мен m т_зуі жанасады.
ОО1 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 =
= 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = r + R,
онда (, ( шеSберлері жанасады.
Зерттеу: R = 13 EMBED Equation.3 1415. ON, r кесінділердіS aзындыCы болCандыKтан, оS шамалар болады. Онда R кесіндісі де табылады ж‰не бірм‰нді. Олай болса, есептіS жалCыз шешімі болады.
Есеп 3: Гипотенузасы ж‰не тік бaрышыныS биссектрисасы бойынша тікбaрышты _шбaрыш салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, АВС – ізделінді _шбaрыш (65 – сурет). CD - берілген биссектриса, АВ– берілген гипотенуза. CD ( ( (О, ОВ) = Е деп белгі-лесек (О–сырттай сызылCан шеSбердіS центрі), ЕО(АВ ж‰не CD(DE = AD(DB.
Бaдан l(DE = (AO – OD)(OB + OD)
l ( DE = 13 EMBED Equation.3 1415 - (DE2 - 13 EMBED Equation.3 1415) (
( l ( DE = 13 EMBED Equation.3 1415 - DE2 (
( DE = 13 EMBED Equation.3 1415.
Салу: 1) АВ = с кесіндісі
2) ( (О, 13 EMBED Equation.3 1415) шеSбері, мaнда О ( АВ ж‰не ОА = ОВ
3) ОК – АВ кесіндісініS орта перпендикуляры
4) Е = OK ( ( (О, 13 EMBED Equation.3 1415) н_ктесі
5) р = 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісі (3.1., ІХ, ІІ ж‰не ІV салулар)
6) (1 (Е, р) шеSбері
7) D = АВ ( (1 н_ктесі
8) ЕD т_зуі
9) С = ED ( ( (О, 13 EMBED Equation.3 1415) н_ктесі
10) СА, СВ кесінділері
(АВС – ізделінді.
Зерттеу: Егер l ( 13 EMBED Equation.3 1415 болса, есептіS екі шешімі бар; l = 13 EMBED Equation.3 1415 - бір шешімі бар; l ( 13 EMBED Equation.3 1415 - шешімі жоK.
Есеп 4: `зындыKтары а, в, с ж‰не d болатын кесінділер берілген. 13 EMBED Equation.3 1415 формуласымен ™рнектелетін кесіндініS aзындыCын табыSыз.
Шешуі: Т™рт кесіндініS к™бейтінділерінен т™ртінші д‰режелі т_бірді мына т_рде жазуCа болады:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Екі кесіндініS пропорционал ортасын салу белгілі болCандыKтан (3.1., VІІІ салу), алдымен aзындыCы 13 EMBED Equation.3 1415 болатын х1 кесіндісін, содан соS aзындыCы 13 EMBED Equation.3 1415 болатын х2 кесіндісін салып аламыз. Сонда ізделінді кесіндініS aзындыCы 13 EMBED Equation.3 1415 болады.
Есеп 5: `зындыKтары а, в, с болатын кесінділер берілген. `зындыCы
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 формуласымен ™рнектелетін х кесіндісін салыSыз.
Шешуі: Алдымен aзындыCы
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 (*)
формуласымен ™рнектелетін у кесіндісін салып аламыз. Ол _шін (*) теSдігін
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
т_ріне келтіреміз, сонда у кесіндісі а + в, а, в кесінділеріне пропорционал т™ртінші кесінді болады (3.1., VІ салу). у кесіндісі салынCан соS, х те д‰л осылайша тaрCызылады.
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Формуласы бойынша х кесіндісі у + с, у, с кесінділеріне пропорционал т™ртінші кесінді.
Есеп 6: h1, h2 биіктіктері ж‰не 2р периметрі бойынша параллелограмм салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, АВСD – ізделінді
параллелограмм (66–сурет). АВ=х деп белгілеп
алайыK, ВС = р – х.
S = h1 ( AB = h1 ( x ж‰не S = h 2 ( BС = h2 ( (р – x)
Бaл теSдіктердіS оS жаKтарын теSестіріп,
h1 ( x = h2 ( (р – x) ( x = 13 EMBED Equation.3 1415
теSдігі шыCады. Ал бaл кесіндіні алгебралыK ‰діс арKылы салуCа болады (3.1., VІ салу). Егер ( DAB = ( деп параллелограмныS с_йір бaрышын белгілесек, онда ADM, CDN (M, N– биіктіктердіS табандары) _шбaрыштарынан
AD = 13 EMBED Equation.3 1415, CD = 13 EMBED Equation.3 1415
теSдіктері шыCады.
AD + CD = p ( sin ( = 13 EMBED Equation.3 1415 (**)
(**) бaрышын р гипотенузасы, h1, h2 катеті бойынша тaрCызылCан тікбaрышты _шбaрыштыS берілген катетке Kарсы жатKан бaрыш ретінде салуCа болады.
Салу: 1) h1 + h2 кесіндісі
2) AKL тікбaрышты _шбaрышы (KL = h1+ h2 катет, AL = p гипотенуза)
3) АК т_зуі
4) КЕ = h1 кесіндісі (К – Е – L Kатынасы орындалады)
5) Е н_ктесі арKылы l (( АВ т_зуі
6) D = l ( AL н_ктесі
7) DC = 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісі (С ( l ж‰не D – E – C ) (3.1., VI салу)
8) С н_ктесі арKылы t (( АВ т_зуі
9) B = t ( AL н_ктесі
АВСD – ізделінді параллелограмм
Д‰лелдеу: D ( ED, ED (( AK ж‰не EK = h1 болCандыKтан, DM = h1.
DN = DC ( sin ( = 13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415 = h2, яCни DN = h2.
DL = h2 ( sin ( = DC ( p = AD + DL = AD + DC.
Зерттеу: h1 + h2 ( р теSсіздігі орындалCанда Cана ALK тікбaрышты _шбaрышын салуCа болады. JалCан салу Kадамдары бірм‰нді орындалады. Демек, h1 + h2 ( р Kатынасында есептіS шешімі бар ж‰не ол біреу Cана.
§4. Инверсия ‰дісі
Салу есептерін шешудіS таCы бір ‰дісі – инверсия ‰дісі. Бaл ‰дістіS к™мегімен ‰лдеKайда KиыныраK салу есептері шешіледі. Инверсия ‰дісі басKа ‰дістерге KараCанда кейінірек пайда болCан ж‰не оныS KиындыCы – к™п салулар орындау Kажеттілігінде.
4.1. ИнверсияныS аныKтамасы, Kарапайым Kасиеттері.
АйталыK жазыKтыKта ( (О, R) шеSбері берілген.
АныKтама: ЖазыKтыKтыS О н_ктесінен ™зге кез – келген Р н_ктесіне мына шарттарды:
1) Р' ( [ОР)
2) ОР ( ОР' = R2
KанаCаттандыратындай Р' н_ктесін с‰йкес Kоятын жазыKтыK т_рлендіруін инверсия деп атайды (67-сурет). МaндаCы Р' - ( шеSберіне Kатысты Р н_ктесіне кері немесе инверсиялы н_кте, ( - базистік шеSбер, О – инверсия центрі, R – инверсия радиусы.
АныKтамадан, егер инверсияда Р н_ктесіне Р' н_ктесі с‰йкес келсе, онда, керісінше, Р' н_ктесіне Р н_ктесі с‰йкес келетінін к™реміз. Олай болса, инверсия - ™зара бірм‰нді т_рлендіру.
ИнверсияныS Kарапайым Kасиеттері:
10. Егер Р' н_ктесі Р н_ктесіне инверсиялы болса, онда, керісінше, Р н_ктесі Р' н_ктесіне инверсиялы болады.
20. Егер инверсияда Ф фигурасы Ф' фигурасына т_рленсе, онда Ф' фигурасы Ф фигурасына т_рленеді.
30. ЖазыKтыKтыS ешбір н_ктесі инверсия центріне инверсиялы н_кте болмайды.
40. Базистік шеSбердіS ‰рбір н_ктесі ™з - ™зіне инверсиялы болады.
50. Егер берілген н_кте базистік шеSбердіS сыртында жатса, онда оCан инверсиялы н_кте оныS ішінде жатады ж‰не керісінше.
60. Базистік шеSбердіS сыртындаCы н_кте одан шексіз алыстаCан сайын, оCан инверсиялы н_кте инверсия центріне шексіз жаKындайды. Керісінше с™йлем дaрыс болады.
70. Инверсия центрінен шыCатын с‰уле инверсияда ™з - ™зіне т_рленеді (к™шеді) ж‰не де базистік шеSберге Kатысты с‰уленіS ішкі н_ктелері оныS сыртKы н_ктелеріне к™шеді ж‰не керісінше.
80. Инверсия центрі арKылы ™тетін т_зу ™з - ™зіне к™шеді.
4.2. Инверсияда н_ктеніS образын тaрCызу
АйталыK жазыKтыKта ( (О, R) шеSбері ж‰не М н_ктесі берілген. ( ин-версия шеSбері болсын. М н_ктесініS инверсиядаCы образын табу _шін, оныS ( шеSберіне Kатысты орналасу жаCдайларын KарастырайыK:
1 – жаCдай. М ( шеSберініS сыртындаCы н_кте (68 – сурет). Онда салу жоспары т™мендегіше болады:
1) [ОМ) с‰улесін ж_ргіземіз
2) М н_ктесі арKылы ( шеSберіне жанама
3) Осы жанаманыS ( шеSберімен Kиылысу н_ктесін Q делік
4) Q н_ктесінен [ОМ) с‰улесіне перпендикуляр: h
5) M' = h ( [ОМ) н_ктесі
М' – ізделінді н_кте.
Шынында да, MQ ( шеSберіне жанама болCандыKтан, (OQM = 900. Сонда тікбaрышты _шбaрыштардыS aKсастыK белгісі бойынша (OQM' ~ (OQM. Олай болса, 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, яCни ОМ' ( ОМ = OQ2 = R2.
2 – жаCдай. М ( шеSберініS бойындаCы н_кте, яCни М ( ( (69 – сурет). Бaл жаCдайда М н_ктесініS образы осы н_ктеніS ™зі болады. Себебі
ОМ ( ОМ' = R(R = R2.
3 – жаCдай. М ( шеSберініS сыртындаCы н_кте (70 – сурет). Бaл жаCдайда инверсияныS бірм‰нділігін ескеріп, салуды керісінше т‰ртіппен орындаймыз.
4.3. Салу есептерін инверсия ‰дісімен шешкенде
Kолданылатын теоремалар
Теорема1: Инверсия центрі арKылы ™тетін шеSбер инверсияда т_зуге к™шеді ж‰не бaл т_зу инверсия центрі мен берілген шеSбердіS центрлері арKылы ™тетін т_зуге перпендикуляр болады.
Теорема2: Инверсия центрі арKылы ™тпейтін шеSбер инверсияда шеSберге к™шеді.
Теорема3: Инверсия центрі арKылы ™тпейтін т_зу инверсияда шеSберге к™шеді ж‰не ол шеSбер инверсия центрі арKылы ™теді.
Теорема4: Егер шеSбер ™зара инверсиялы екі н_кте арKылы ™тсе, онда инверсияда бaл шеSбер ™зіне к™шеді.
Теорема5: Егер (1, (2 сызыKтары бір – бірінен инверсия центрінен ™зге М н_ктесінде жанасса, онда олардыS образдары М' = f (М) н_ктесінде жанасады. Мaнда (1 – шеSбер немесе т_зу, ал (2 – шеSбер.
Теорема 6: Базистік шеSберден ™зге шеSбер инверсияда ™з - ™зіне к™шу _шін, оныS базис шеSберге ортогональ болуы Kажет ж‰не жеткілікті.
(Екі шеSбер ортогональ деп аталады, егер олар тікбaрыш жасай Kиылысса, яCни олардыS Kиылысу н_ктесінен ж_ргізілген радиустары ™зара перпендикуляр болса.)
4.4. Аполлоний есебі
Инверсия ‰дісімен, жалпы жаCдайда, Аполлоний есебі шешіледі. Аполлоний есебі: берілген _ш шеSбермен жанасатын шеSбер салу. Бaл есепті еS алCаш б.э.д. ІІІ Cасырда атаKты грек геометрі Аполлоний Пергский шешкен. БіраK оныS еSбектері бізге дейін жеткен жоK, ол туралы тек ежелгі математиктер, мысалы ПаппныS айтуы бойынша білеміз. Бaл есепті АполлонийдіS Kалай шешкендігі де белгісіз.
Мектептегі геометрия курсында кездесетін шеSберге Kатысты салу есептері – осы Аполлоний есебініS жеке ж‰не шектік жаCдайлары болып табылады. Жеке жаCдайлар берілген шеSберлердіS орналасуына байланысты болса, шектік жаCдайлар барлыK немесе кейбір берілген шеSберлердіS н_ктеге (егер шеSбердіS радиусы шексіз кемісе) ж‰не т_зуге (егер шеSбердіS радиусы шексіз ™ссе) айналуына байланысты болады.
Аполлоний есебініS кейбір жеке ж‰не шектік жаCдайларын KарастырайыK:
Есеп 1. Берілген _ш н_кте арKылы ™тетін шеSбер салу.
Бaл есептіS шешімі болмайды, егер _ш н_кте бір т_зудіS бойында жатса. JалCан жаCдайларда бір шешім болады, себебі ізделінді шеSбер – _шбaрышKа сырттай сызылCан шеSбер. Ал _шбaрышKа сырттай бір Cана шеSбер ж_ргізіледі. (Бaл есеп мектеп геометрия курсында шешіледі)
Есеп 2. Берілген _ш т_зумен жанасатын шеSбер салу.
ЕсептіS шешіміне Kатысты т™мендегі жаCдайлар болу м_мкін: егер берілген _ш т_зу ™зара параллель орналасKан болса, онда есептіS шешімі болмайды; егер т_зулердіS екеуі ™зара параллель, ал _шіншісі оларды Kиса, онда септіS екі шешімі болады (71-сурет); егер т_зулер Kос – Kостан Kиылысса, онда есептіS т™рт шешімі болады (72-сурет).
Есеп 3. Берілген н_кте арKылы ™тіп, берілген екі параллель т_зулермен жанасатын шеSбер салу.
Бaл есептіS шешіміне Kатысты мына жаCдайлар болу м_мкін: егер берілген н_кте берілген т_зулермен шектелген жолаKтан тысKары жатса, есептіS шешімі болмайды; егер берілген н_кте берілген т_зулердіS бірінде жатса, онда есептіS бір Cана шешімі болады (73-сурет); егер берілген н_кте берілген т_зулермен шектелген жолаKKа тиісті болса, онда есептіS екі шешімі болады (74-сурет).
Есеп 4. Берілген н_кте арKылы ™тіп, берілген екі Kиылысатын т_зулерді жанайтын шеSбер салу.
Егер н_кте берілген т_зулердіS Kиылысу н_ктесі болса, онда есептіS шешімі болмайды; KалCан жаCдайларда есептіS екі шешімі бар (75-сурет).
Есеп 5. Берілген екі н_кте арKылы ™тетін ж‰не берілген т_зумен жанасатын шеSбер салу.
Мына жаCдайлар болу м_мкін: егер берілген т_зу мен берілген н_ктелер арKы-лы ™тетін т_зу Kиылысса, яCни берілген н_ктелер берілген т_зудіS ‰рт_рлі жаCында орналасса, есептіS шешімі болмайды, сонымен Kатар берілген н_кте-лер берілген т_зуге тиісті болCан жаCдайда да есептіS шешімі жоK; егер беріл-ген н_ктелердіS біреуі берілген т_зуге тиісті (76-сурет) немесе берілген н_кте-лер арKылы ™тетін т_зу берілген т_зуге параллель (77-сурет) болса, есептіS бір Cана шешімі болады; KалCан жаCдайда септіS екі шешімі бар (78-сурет).
Есеп 6. Берілген _ш шеSбермен жанасатын шеSбер салу.
Бaл есептіS шешулерініS саны берілген шеSберлердіS орналасу жаCдайларына байланысты болады. Осы жаCдайлардыS бірнешеуін KарастырайыK:
1) ^ш шеSбердіS бір – бірімен ешKандай ортаK н_ктесі жоK ж‰не олар бірініS ішінде бірі орналасKан. Онда есептіS шешімі болмайды.
2) Берілген екі шеSбер жанасады, ал _шіншісі оларды жанасу н_ктесінде Kиып ™теді. Онда есептіS екі шешімі бар.
3) Егер берілген шеSберлердіS ‰рKайсысы KалCан екеуініS сыртында ж‰не ‰рбір екеуіне ж_ргізілген жанаманыS _шіншісімен ортаK н_ктесі болмаса, онда есептіS сегіз шешімі бар.
4) Егер берілген _ш шеSбер Kос – Kостан бір н_ктеде жанасса, онда есептіS шешімдерініS саны шексіз к™п болады.
Аполлоний есебін шешу барысында берілген шеSберлердіS орналасуына Kатысты к™рсетілген жаCдайлардан басKа отыздан астам орналасуы болатыны табылды.
4.5. Инверсия ‰дісімен шешілетін салу есептеріне мысалдар
Есеп 1: ( (О, r) шеSбері ж‰не А ( (, В ( ( н_ктелері берілген. А, В н_ктелері арKылы ™тіп, ( шеSберін жанайтын шеSбер салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, ( ізделінді шеSбер салу болсын (79-сурет). А, В н_ктелері мен (, ( шеSберлерінен KaралCан фигураны B деп белгілейік. Центрі А н_ктесі болатын, ( шеSберімен Kиылысатын кез – келген ( шеSберін ж_ргізіп, осы шеSберге Kатысты инверсия Kарастырамыз (алда оны f т_рінде белгілейтін боламыз). Сонда инверсияда B фигурасыныS образы В' = f (В) н_ктесінен, (' = f (() шеSберінен (Теорема 2 бойынша) ж‰не (' = f (() т_зуінен (Теорема1 бойынша) KaралCан Kандай да бір B' фигурасы болады. А – инверсия центрі, сондыKтан оныS образы болмайды. Олай болса, Теорема5 бойынша (' т_зуі (' шеSберімен жанасады. B' фигурасын салу оSай, себебі В', (' – берілген фигуралардыS образдары, ал (' - В' н_ктесі арKылы ™тетін ж‰не (' шеSберімен жанасатын т_зу. Онда f инверсиясында (' т_зуініS образы болатын ( шеSберін Теорема3 бойынша салу оSай.
Салу: 1) Центрі А н_ктесі болатын ж‰не (
шеSберімен Kиылысатын кез – келген
( шеSбері (81-сурет)
2) ОА т_зуініS ( шеSберімен Kиылысу
н_ктесін 3 делік
3)(,( шеSберлерініS Kиылысу н_ктелері
1 ж‰не 2 болсын
4) В' = f (В) н_ктесі
5) (' = f (() шеSбері (бaл шеSбер1, 2, 3'
н_ктелері арKылы ™теді, мaнда 3' = f (3))
6) (' шеSберіне В' н_ктесі арKылы ™тетін
(' жанамасын ж_ргізіп, оныS А н_ктесі
арKылы ™тпейтінін аламыз
7) ( = f ((') – ізделінді шеSбер
Д‰лелдеу: (' т_зуі А н_ктесі арKылы ™тпейтіндіктен, оныS образы А н_ктесі арKылы ™тетін шеSбер болады. Сонымен Kатар (' т_зуі В' н_ктесі арKылы ™теді ж‰не (' шеSберімен жанасады, сондыKтан В ( ( ж‰не ( мен ( шеSберлері жанасады.
Зерттеу: Егер А, В н_ктелерініS біреуі ( шеSберіне Kатысты ішкі, ал екіншісі сыртKы н_кте болса, есептіS шешуі болмайды. А, В н_ктелері ( шеSберініS жанамасына тиісті н_ктелер болса, онда есептіS бір Cана шешімі бар. JалCан жаCдайларда есептіS екі шешімі болады.
Есеп 2: Берілген А, В н_ктелері арKылы берілген ( (О, r) шеSберіне ортогональ шеSбер салыSыз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді делік, ( ізделінді шеSбер
болсын. Егер ( базистік шеSбер деп алсаK, ин–
версияда ( шеSбері ™з-™зіне к™шеді (Теорема6)
ж‰не А, В н_ктелерініS образдары с‰йкесінше
осы шеSбердіS А(, В( н_ктелері болады (Теоре-
ма 4). ( шеSберін аныKтау _шін оныS _ш н_к –
тесін білсе болCаны (80-сурет): А, А(, В.
Салу: 1) ( шеSберіне Kатысты инверсияда А н_ктесініS образы: А( н_ктесі
2) А, А(, В н_ктелері арKылы ( шеSбері
( - ізделінді шеSбер
Зерттеу: Егер А((, В(( болса, онда А–S образы ™зі болады да, салу жоспарыныS бірінші Kадамында В н_ктесініS образы табылады.
Егер А((, В(( болса, онда А, В н_ктелерінен ( шеSберіне жанама ж_ргізіп, олардыS Kиылысу н_ктесін Р деп белгілейміз. Р – ізделінді шеSбердіS центрі.
Егер А, В, О бір т_зудіS н_ктелері ж‰не А, В ™зара инверсиялы емес н_ктелер болса, онда есептіS шешімі болмайды.
Егер А, В, О бір т_зудіS н_ктелері ж‰не А, В ( шеSберіне Kатысты инверсиялы н_ктелер болса, онда есептіS шексіз к™п шешімі болады: А, В н_ктелері арKылы ™тетін кез – келген шеSбер ( - Cа ортогональ болады.
Есеп 3: а, в т_зулері ж‰не олардан тысKары жатKан О н_ктесі берілген. О н_ктесінен берілген т_зулерге дейінгі кесінділерініS к™бейтіндісі берілген кесіндініS квадратына теS болатындай етіп с‰уле ж_ргізіSіз.
Шешуі:
Талдау: Есеп шешілді, ОD ізделінді с‰уле делік (81-сурет). r берілген кесінді, OD ( a = A, OD ( в = В болса, есеп шарты бойынша ОА ( ОВ = r2. Онда ( шеSберіне Kатысты инверсияда А н_ктесі В–Cа (инверсия аныKтамасы бойынша), а т_зуі а( шеSберіне (Теорема3) к™шеді ж‰не а( шеSбері В н_ктесі арKылы ™теді. Сонда В = а( ( в.
Салу: 1) ( (О, r) шеSбері
2) ( шеSберіне Kатысты инверсияда
а т_зуі а( шеSберіне к™шеді
3) В = а( ( в н_ктесі
4) ОВ с‰улесі
ОВ – ізделінді с‰уле.
Д‰лелдеу: АйталыK А = ОВ ( а, онда А - ( шеSберіне Kатысты В н_ктесініS прообразы. Демек, инверсияныS аныKтамасы бойынша ОА(ОВ = r2.
Зерттеу: Келесі жаCдайлар болу м_мкін:
а( ( в Kимасы екі н_ктеден KaралCан,
онда есептіS екі шешімі бар (82 – сурет);
а( ( в Kимасы бір н_ктеден тaрады,
яCни а( шеSбері мен в т_зуі жанасады,
онда бір шешім болады;
а( ( в = (, онда есептіS шешімі
болмайды.
ПайдаланылCан ‰дебиеттер
1. Аргунов Б.И., Балк М.Б.,
Геометрические построения на плоскости, М. 1957
2. Атанасьян Л.С., Базылев В.Т.,
Геометрия (І часть), М. 1986
3. Атанасьян Л.С. и др.,
Геометрия 7– 9, Алматы 1996
4. Говоров В.М.,
Сборник конкурсных задач по математике, М. «Наука» 1986 г.
5. Готман Э.Г.,
Задачи по планиметрии и методы их решения, М.1996
6. Гусев В.А.,
Практикум решени математических задач
7. Jаниев С.,
Математикадан таSдамалы есептер (І кітап), Алматы 1993
8. Лурье М.В.,
Геометрия, Ростов-на-Дону 2002
9. Погорелов А.В.,
Геометрия 7 – 11, Алматы 1997
10. Саранцев Г.И.,
Сборник задач на геометрические преобразования, М. 1957
11. Солтан Г.Н., Солтан А.Е.,
Решение задач письменного экзамена по математике, Минск 2003
12. Шарыгин И.Ф.,Б_к_баева К.О., Геометрия 7 – 9, Алматы 2004
13. ИФМ журналы,
1993ж №3 ж‰не №4, 1997ж №5, 1999ж №2, 2000ж №2, 2001ж №3
14. Математика ж‰не физика журналы,
2002ж №2, 2003ж №2 ж‰не №3
15. Математика – 1 сентября газеті,
2001ж №31, №32, №34 ж‰не №36, 2004ж №47
16. Математика в школе 1990ж №6
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native