Дидактический материал по математике Дирихле принципі

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 Дирихле принципі Альсейтов Амангелді Гумарович « Альсейтов  білім беру орталығының директоры, м атематика пәнінің оқытушысы Мектеп оқушыларын математика пәнінен ғылыми - зерттеу жұмыстарына және регаталар мен олимпиадаларға дайындау мектеп бағдарламасының құрамдас бөлігі болып табылады. Жүздеген, тіпті мыңдаған оқушылардың арасынан осы мақсатта оқушыларды таңдап алу оңай шаруа ем ес. Көп жылдық тәжірибе оқушыларда 5 - 6 - сыныптардан бастап математикаға деген қызығушылықты оята білсе, олардың арасынан ғылыми - зерттеу жұмыстары мен олимпиадалық бағыттағы есептерге бейім оқушыларды танып, бөліп алуға болатындығын көрсетіп отыр. Олимпиадалық есептердің тақырыптары сан алуан, олардың ішінде 5 - 6 - сыныптардан бастап айналысуға болатын есептер қатарына Дирихле принципін қолдануға болатын есептерді жатқызуға болады. Дирихле принципі ‬ бұл өте қарапайым, соған қарамастан өте қуатты идея. Бұл принцип математиканың көптеген салаларында, мысалы, анализде, геометрияда, жиындар теориясында және т.б., қолданылады. Дей тұрғанмен Дирихле принципінің сандар теориясында өте тиімді екендігін атап өту керек. Бұл қарапайым принципті бірінші болып немі с математигі Лежан Дирихле (1805 - 1859) тұжырымдаған. Дирихле принципінің үш түрі бар: біреуі қарапайым түрі, екеуі күрделі түрі. Енді солардың тұжырымдалуларын (айтылуларын) келтірейік. Теорема А (Дирихле принципінің қарапайым түрі). Егер n+1 қоянды n торға орналастыратын болса, онда кемінде бір торда біреуден артық қояндар болады. 2 Дәлелдеуі өте жеңіл, кері жору тәсілімен дәлелдеуге болады. Бұл теоремадан егер m қоянды n торға ( m�n ) орналастыратын болса, онда кемінде бір торда біреуден артық қояндар б олатындығы шығады. Теорема Ә (Дирихле принципінің бірінші күрделі түрі). m қоянды n торға ( m�n ) орналастыратын болса, онда кемінде бір торда - ден кем емес қояндар бола ды . Теорема Б (Дирихле принципінің екінші күрделі түрі). қоянды , мұндағы кез келген үшін натурал сан, торға орналастыратын болса, онда қайсыбір үшін - ші торда - ден кем емес қояндар болады. Соңғы екі теореманың дәлелдеулері алғашқы теореманың дәлелдеуіне өте ұқсас. Бұл жерде астын сызып тұрып айтатын мәселе: Дирихле принципі қиын емес, ал қиындық осы тақырыпқа берілген есептерде «қояндар мен «торларды таңдап ала алу мен оларға Дирихле принципінің жоғарыда аталған үш формасының қайсысын қолдану тиімдірек екендігін анықтай білуде болып отыр. Енді нақты мысалдар келтірейік. Бұл мысалдардың барлығы да математика пәнінен Батыс Қазақстан облысының мектеп оқушылары арасында жыл сайын дәстүрлі түрде өткізіліп келе жатқан аудандық, қалалық, облыстық олимпиадалар мен әртүрлі деңгейлердегі регаталар мен конкурстардың есептері. 1 - мысал. Өл шемдері 6 × 8 см болатын тіктөртбұрыштың ішіне 5 нүкте орналастырылған болса, онда олардың арасында арақашықтығы 5 см - ден аспайтын екі нүкте табылатынын дәлелдеңіз. Дәлелдеу. Берілген тіктөртбұрыштардың қарама - қарсы қабырғаларының орталарын кесінділермен қосып, оны өзара тең және өлшемдері 3 × 4 см болаты н 4 тіктөртбұрыштарға бөлеміз. Сонда алынған кішкене 4 тіктөртбұрышты «торлар десек, ал берілген 5 нүктені «қояндар десек, біз 3 Дирихле принципінің қарапайым формасын (түрін) қолдана отырып, кемінде бір кішкене тіктөртбұрышқа (оның ішіне не қабырғаларына) кемінде екі нүкте түсетіндігіне көз жеткіземіз ; және с ол ардың ішіндегі кез келген екі нүктенің ең үлкен арақашықтығы ол екі нүкте тіктөртбұрыштың қарама - қарсы төбелерінде орналасқанда болады да, ол арақашықтық П ифагор теоремасы бойынша (тіктөртбұрыштың ди агоналі болғандықтан) см - ден аспайды. Дәлелденді. 2 - мысал. Қабырғасы 10 - ға тең шаршыда (оның ішінде немесе қабырғасында) қос - қостан арақашықтықтары әртүрлі бүтін сандар болатын әртүрлі 6 нүкте белгіленді . Осы арақашықтықтардың арасында бірдейлері кездесетіндігін дәлелдеңіз . Шешуі. Әртүрлі 6 нүктенің қос - қостан арақашықтықтарының саны болады. Есеп шартына байланысты олар әртүрлі, сондықтан әртүрлі бүтін (натурал) «арақашықтықтар 15 - ке тең , а л қабырғасы 10 - ға тең болатын шаршының диагонал і (берілген нүктелердің арақашықтықтарының арасындағы ең үлкен бола алатын мәні) . С ондықтан , Дирихле принципі бойынша бұл арақашықтықтардың арасында бірдейлері бар . Біз мұнда «тор ретінде бер 1, 2, 3,  , 14 сандарын, ал «қояндар ретінде әртүрлі 15 арақашықтықтарды алдық . Дәлелденді . 3 - мысал . 29 оқушы диктант жазды. Арман диктантта 11 қате жіберді және ешкім одан көп қате жіберген жоқ. Бірдей қате жіберген үш оқушының табылатындығын дәлелдеңіз. Шешуі . Мынадай қателер 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 барлығы 12 нұсқа қате жіберілуі мүмкін еді. 2 12=24 . 24 29, бұл есептің шартына қайшы. Олай болса,сыныпта бірдей қате жіберген үш оқушы бар. Сонымен,есептің тұжырымы дәлелденді. 4 4 - мысал . Мектепте 400 оқушы бар. Олардың ең болмағанда екеуі бір күнде туғанын дәлелдеңіз. 5 - мысал . Орманда 3000 ағаш бар.Әр ағашта қауырсындарының саны 2000 - нан аспайтын жалғыз құс тұр.Орманның ішінде қауырсындарының саны бірдей құс отырған екі ағаштың бар екендігін дәлелдеңіз. 6 - мысал . Мектепте 8 - ші сыныптар сегіз.Олардың әрқайсысында 25 оқушыдан бар. Бір айда т у ылған 17 оқушының бар екендігін дәлелдеңіз. 7 - мысал . Асан бассейнге шомылуға үш күнде бір рет, Үсен төрт күнде бір рет, ал Досан бес күнде бір рет барады. Олар бүгін кездесті. Енді олар қанша күннен кейін кездеседі? 8 - мысал (Рамсей есебі) . Бөлмеде 6 адам бар. Олар бір - бірімен қос - қостан не дос, не қас. Осы бөлмеде не өзара дос 3 адам табылатындығын, не өзара қас 3 адам табылатындығын дәлелдеңіз. 9 - мысал. Он натурал , , , , , , , , , сандар тізбегінің арасынан қосындысы 10 - ға қалдықсыз бөлінетін қатар тұрған мүшелерінің ішкі тізбегі (тізбекшесі) табылатынын дәлелдеңіз.