Применение геометрических методов при решении текстовых задач
Применение геометрических методов при решении текстовых задач
1. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города первая в 4 ч пополудни, а вторая в 9 ч. Узнать, когда они вышли из своих городов.
Если учащиеся не найдут ни одного способа решения этой задачи, то можно предложить им решить подготовительную задачу 2.
2. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Скорость первой старушки в 2раза больше скорости второй. Во сколько раз больше времени после встречи будет в пути вторая старушка, чем первая?
Учащиеся должны сообразить, что после встречи вторая старушка пройдет путь в 2 раза больший, чем первая, но со скоростью в 2 раза меньшей, поэтому будет в пути в 4 раза дольше, чем первая. Учащиеся, которым удается решить эту задачу, часто вводят избыточные переменные и действуют так, как показано в I способе решения.
I способ: Обозначим через V1 и S1 , V2 и S2 соответственно скорости и расстояния, пройденные старушками до встречи, и составим систему:
Итак, до встречи старушки шли 6 ч, тогда выходит, что из своих городов они отправились в 6 ч утра.
Рассмотрим теперь решение, основанное на обратной пропорциональной зависимости между скоростью и временем движения на фиксированном участке пути.
II способ. Пусть скорость первой старушки в п раз больше скорости второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в п раз меньше времени, чем вторая, а вторая в п раз больше, чем первая (рис. 1).
Решив его, получим ;x=6 и тот же ответ.
Воспользуемся теперь так называемым методом подобия. Он описан в статье Б. Кордемского «Графики в задачах на равномерные процессы» (Квант, 1971, № 11). Здесь мы увидим интересную межпредметную связь алгебры, физики и геометрии.
IV с п о с о б: Будем, как и прежде, считать, что старушки шли до встречи х ч. Пусть точка А изображает город, из которого отправилась I старушка, а точка С город, из которого пошла II старушка (рис. 2). Тогда длина отрезка СА это расстояние между городами. Поскольку старушки двигались с постоянными скоростями, можно считать, что отрезки АВ и СВ графики движения I и II старушек соответственно. Тогда координаты точки N это время и место их встречи.
Если первая задача была решена под руководством учителя, то для самостоятельного решения учащимся можно предложить похожую задачу. Пусть они найдут несколько способов ее решения.
3. Два брата вскапывали грядки каждый свою и со своей постоянной скоростью. Они очень удивились, когда обнаружили, что затратили на работу одинаковое время. Вот если бы они с самого начала поменялись грядками и работали каждый со своей скоростью, то старший закончил бы работу за 32 мин, а младший за 50 мин. За сколько минут братья вскопали грядки?
Эта задача аналогична задаче про старушек, ведь можно считать, что братья начали и закончили работу одновременно. Конечно же, они не переделывали работу друг друга (как старушки проходили пройденный друг другом путь), но в соответствии с условиями задачи можно рассмотреть два случая первый произошел на самом деле (рис. 3, а), а второй мог бы произойти (рис. 3, б).
Задача 1. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в одну сторону каждый со своей постоянной скоростью. В момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал от них на 6 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на Зкм. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
Решение. Установим сначала условные обозначения. Пешехода будем обозначать через П, велосипедиста через В, мотоциклиста через М. Точки, в которых находится каждый рассмотренный объект, обозначим одноименными буквами с индексами. Выберем теперь систему координат и в ней создадим графическую модель (рис. 2) трех ситуаций условия задачи:
1) пешеход и велосипедист находятся в одной точке П1 (В1), мотоциклист отстает от них на 6 км (точка М1 на оси s);
2) мотоциклист поравнялся с пешеходом в точке П2 (М2), велосипедист впереди них на х км (в точке В2);
3) мотоциклист догнал велосипедиста (они поравнялись в точке В3 (М3), а пешеход отстал от них на 3 км (он находится в точке П3).
Скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста постоянные, потому графики их движений прямые линии. Угловой коэффициент графика движения пешехода (т. е. тангенс угла наклона прямой П1,П3 к оси t) меньше углового коэффициента графика движения велосипедиста, который, в свою очередь, меньше углового коэффициента графика движения мотоциклиста. Графики пересекаются в точках, соответствующих трем данным в условии
ситуациям.
Из подобия треугольников М1П1М3 и П2В2М3, а также треугольников П3П1В3 и П2П1B2 составляем пропорции:
1M313 QUOTE 14152M3 и П1M3 / П1B2.
Из них ясно, что П1,В2 больше В2М3 в 2 раза , отсюда получается, что П1М3 больше B2М3 в 3 раза, а П1M3 / П1B2.= ,значит, х = 2.
Ответ: в тот момент, когда пешехода нагнал мотоциклист, велосипедист обогнал их на 2 км.
Задача 2. Велосипедист отправляется из А в В и после 15-минутного отдыха в пункте В возвращается в пункт А. На пути из А в В велосипедист догоняет в 11 часов пешехода, который движется из А в В со скоростью, в 4 раза меньшей, чем у велосипедиста. В 12 часов происходит вторая встреча пешехода и велосипедиста. Определить время отправления велосипедиста из пункта А, если известно, что велосипедист возвращается в пункт А одновременно с прибытием пешехода в пункт В.
Решение. Вновь выберем систему координат и в ней составим графическую модель ситуаций этого сложного движения (рис. 3).
Точками B1 В2, B3, лежащими на одной прямой, которая пересекает ось S под прямым углом,
обозначим моменты времени, когда пешеход находился в пункте В. Направленный отрезок AB3 -график движения пешехода. Поскольку скорость пешехода неизвестна, то ее можно принять за х, а прямую АВ3, изображать так, чтобы ее угловой коэффициент был равен 1.
Момент старта велосипедиста обозначим через А1 а момент окончательного финиша через А2, поскольку и старт, и окончательный финиш произошли в пункте А. Тогда время прибытия в пункт В и отправления из него обозначим через В1 и В2 .Ясно, что эти точки лежат на прямой, которая проходит через точку В параллельно оси времени. Ломаная А1В1В2А2 график движения велосипедиста, который в течение 15 мин находился в пункте В. Угловой коэффициент прямой А1В1 равен 4, так как скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Угловой коэффициент прямой В2А2 равен 4, так как он двигался также быстро, как и раньше, но в обратном направлении. При движении из пункта А в пункт В и из пункта В в пункт А пути пешехода и велосипедиста дважды пересекались, т.е. объекты находились на одном и том же расстоянии, скажем, от А. На рис. 3 эти точки отмечены на оси перемещений буквами С и D.
С 11 до 12 часов, т.е. за 1 час, пешеход со своей скоростью х км/ч прошел отрезок СD, равный х км. А велосипедист был в пути на 15 мин меньше,
т.е. он двигался ч. со скоростью 4х км/ч.При этом велосипедист проехал путь, который складывается из отрезков: СD + DВ + ВD = 4х * = 3х (км).
Но DB = ВD и СD = х (км), поэтому DВ, как и СD, равен х (км), и на этот путь пешеход затратил 1 час. Это значит, его путешествие закончилось в пункте В в 13 часов. А велосипедист из пункта В в пункт D попал через 15 мин. По условию он прибыл в пункт А из пункта В одновременно с пешеходом, в 13 часов, т.е. за час. Это, в свою очередь, означает: на обратный путь из В в А (график этого движения представлен вектором В2А2 на рис. 3) он затратил 1 ч 15 мин. На протяжении всего пути скорость велосипедиста оставалась неизменной, поэтому на путь из А в В (вектор А[В1 на рис. 3) он потратил те же 1 час и 15 мин, да еще 15 мин отдыха в пункте В (длина отрезка B1B2 на рис. 3). Значит, велосипедист начал свое путешествие из пункта A в 10ч 15 мин (13ч 1ч 15мин 1ч 15 мин 15м ин = 10 ч 15 мин).
Ответ: велосипедист отправился
из пункта А в 10 ч 15 мин.
Итак, выбирая указанным образом систему координат, отражая в ней правильно отношение между скоростями движущихся точек и моделируя графически данные в задаче ситуации (встречи, изменение направления движения), можно просто, без громоздких уравнений и их систем решать нелегкие задачи на движение с явной пользой для развития умения рассуждать.
Рисунок 90Рисунок 92Рисунок 93Рисунок 15515