План урока : Использование геометрических изображений и соображений при решении задач
Тема: Использование геометрических соображений, изображений при решении уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств, текстовых задач.
Цели: Продолжить формирование умения решать задачи исследовательского характера используя геометрическую интерпретацию; развитие речи, памяти, логического мышления, умения применять имеющиеся знания в новой ситуации, интереса к предмету, эстетическое.
Содержание урока
I. Постановка цели урока
II. Устный счет
Привлекая к решению задач графики функции или множества, зависящие от параметра, можно определить, как они должны располагаться, чтобы выполнялось требование задачи, и на основании этого сделать вывод об искомых значениях параметра.
Сколько решений имеет уравнение в зависимости от а 13 EMBED Equation.3 1415
Построим график 13 EMBED Equation.3 1415
нет решений, если 13 EMBED Equation.3 1415
три решения, если 13 EMBED Equation.3 1415
четыре решения, если 13 EMBED Equation.3 1415
два решения, если 13 EMBED Equation.3 1415
Исследовать, при каких значениях р данная система имеет единственное решение, множество решений, не имеет решения
13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 система имеет бесконечно много решений
в) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415система имеет единственное решение
При каких значениях а система имеет ровно четыре решения 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
При каких значениях 13 EMBED Equation.3 1415 система имеет единственное решение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При каких значениях а система имеет два решения 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Сколько решений имеет система в зависимости от а
13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415нет решений
2) 13 EMBED Equation.3 1415одно решение
3) 13 EMBED Equation.3 1415четыре решения
4) 13 EMBED Equation.3 1415три решения
5) 13 EMBED Equation.3 1415 два решения
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415левее 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
III. Решение задач
Вспомогательным элементом, привнесенным в условие алгебраической задачи, может служить не только новая переменная, но и геометрический образ уже имеющейся переменной, интерпретируемой как координата точки на прямой окружности или плоскости
Задача №1
По шоссе в одну сторону с постоянными скоростями движутся мотоциклист и пешеход, а навстречу им с постоянной скоростью движется автомобиль.
Когда мотоциклист и пешеход были в одной точке, до автомобиля было 48 км. Когда пешеход и автомобиль встретились, пешеход отстал от мотоциклиста на 16 км. На сколько километров отставал пешеход от мотоциклиста в момент встречи автомобиля и мотоциклиста?
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача №2 (ВМК-89)
Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут – мотоциклист. Все двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
13 EMBED Equation.3 1415часа13 EMBED Equation.3 1415минут
№3
Найти а, при которых неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется для всех 13 EMBED Equation.3 1415. Применим обобщенный метод интервалов (областей)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
№4
Найти а, при которых система имеет хоты бы одно решение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№5
Найти все значения а, при которых все корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежат 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
№6
Найти все а, при которых ни одно решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Условие задачи сформулируем так: найти все а, при которых решения неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет условия 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415ответ.
№7
Решить систему неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
№8
Решить систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415и т.д.
№9
Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
№10
Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415решений нет.
№11
Имеет ли система уравнений положительные решения: 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415положительные числа (решения системы) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415стороны треугольника, а угол между ними 13 EMBED Equation.3 1415, а сторона, противолежащая этому углу, равна 2, аналогично
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
но 13 EMBED Equation.3 1415 не существует, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415(ложно)13 EMBED Equation.3 1415система не имеет положительные решения.
№12
Среди решений системы 13 EMBED Equation.3 1415
найти такие, при каждом из которых выражение 13 EMBED Equation.3 1415 принимает наибольшее значение.
Рассмотрим векторы 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415наибольшее13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
IV Домашнее задание:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти все а, при которых неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 имеет хоты бы одно отрицательное решение
Найти все а, при которых любое решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет неравенству 13 EMBED Equation.3 1415
Найти наибольшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решить №7 методом оценки
Решить №12, используя тригонометрическую подстановку
Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
Тема: Нестандартные методы решения систем уравнений и неравенств
Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений и неравенств с параметром, применять нестандартные методы, уметь давать геометрическую интерпретацию, ознакомить с новыми методами их решений, развитие логического мышления, речи, памяти, умения применять имеющиеся знания в новой ситуации, развития интереса к предмету умение работать в команде, эстетическое воспитание.
Содержание урока
І. Постановка цели урока
II. Проверка д/з
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Условию удовлетворяет положение графика 13 EMBED Equation.3 1415 между графиками 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
случай 13 EMBED Equation.3 1415
случай 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют одну общую точку 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Значит: 13 EMBED Equation.3 1415.
№4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415наибольшее13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
№6
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415наибольшее13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
№7
13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415
коэффициент подобия равен 2
13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415
III. Устный счет
Найти площадь фигуры, заданной системой неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Сегмент, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415центр
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти все а, при которых система имеет единственное решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Система имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
IV. Решение систем уравнений, неравенств, содержащих параметр
№1
Найти значения 13 EMBED Equation.3 1415, при которых система имеет четыре различных решения
13 EMBED Equation.3 1415
При наименьшем а найти площадь фигуры, заданный неравенством: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415ромб
Система имеет 4 различных решения 13 EMBED Equation.3 1415 и еще случай, когда окружность вписана 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415наименьшее
13 EMBED Equation.3 1415
№2
Найти минимальное значение произведения 13 EMBED Equation.3 1415, где х и у удовлетворяют системе уравнений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 достигает минимума при 13 EMBED Equation.3 1415.
Обязательно проверить, удовлетворяют ли данной системе х и у, входящие в произведение ху при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 по т., обратной т. Виета,
13 EMBED Equation.3 1415корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415решили верно! или решить систему при 13 EMBED Equation.3 1415.
№3
При каких значениях а система уравнений 13 EMBED Equation.3 1415
имеет хотя бы одно решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение существует, если хотя бы один (больший) корень положителен
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
№4
Найти все решения системы 13 EMBED Equation.3 1415
при которых выражение 13 EMBED Equation.3 1415 принимает наименьшее значение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Напишем уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415 и перпендикулярной прямой 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомым решением является решение системы:
13 EMBED Equation.3 1415
№5
Найти все а, при которых система 13 EMBED Equation.3 1415 имеет ровно два различных решения 13 EMBED Equation.3 1415
т.к. имеет два различных решения, то вершина параболы находится на прямой 13 EMBED Equation.3 1415 между точками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
№6
Решить систему неравенств (метод проверки): 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
№7 (устно)
Решить систему: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
№8
Найти а, при которых система имеет единственное решение: 13 EMBED Equation.3 1415 (симметричная система)13 EMBED Equation.3 1415 т.к. система имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
№9
Решить систему неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
№10
Найти площадь фигуры: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
№11
Решить систему уравнений (сведение к однородной): 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
№12
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение: 13 EMBED Equation.3 1415 (свойство инвариантности).
Т.к. система содержит 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, (система имеет единственное решение) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415единственное решение.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 имеет несколько решений!
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№13
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415
Система имеет единственное решение и содержит 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415единственное решение.
2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 т.е. система имеет несколько решенииЙ.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№14.
Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим векторы: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
V. Объяснение темы урока
Циклические системы
Системы вида 13 EMBED Equation.3 1415 называются циклическим. Часто в подобных системах функция 13 EMBED Equation.3 1415 обладает свойством монотонности. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 возрастает, то решения системы возможны только равенстве между собой всех переменных.
№1
13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. правая часть неотрицательна, то далее считаем, что 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№2
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415нет решений. Если 13 EMBED Equation.3 1415нет решений.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№3
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Второй способ:
Перемножить уравнения 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415и т.д.
№4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415все функции возрастающие.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Получим противоречие 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
VI. Решение систем нестандартными методами
№15
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
№16
Найти все значения параметра а, при которых система имеет три различных решения
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
№17
Найти значения параметра а, при которых система 13 EMBED Equation.3 1415 имеет три различных решения.
Решим как квадратное относительно у
Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
ось 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Касательные, проходящие через 13 EMBED Equation.3 1415 к параболам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, две из них изображены на чертеже – это 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Значит 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют одну общую точку 13 EMBED Equation.3 1415 имеет 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют одну общую точку 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
VII. Домашнее задание: решить оставшиеся задачи.
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.13 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman
Times New RomanMonotype:Times imes New RomanMonotype:Times imes New Roman