Компьютерная поддержка по теме: «Тела вращения на примере конуса». Методическая разработка в виде презентации

"Тела вращения на примере конуса" Компьютерная поддержка по теме Нас окружает множество предметов КОНУС Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА О КОНУСЕ КОНУС α Пусть дана некоторая плоскость α. КОНУС α Проведём в плоскости α замкнутую кривую линию L. L КОНУС α Соединим точку А, не лежащую в плоскости α, с замкнутой кривой линией L. L А КОНУС α Отрезки, соединяющие точку А с замкнутой кривой линией L, образуют коническую поверхность. L А КОНУС α Тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, пересекающей её по замкнутой кривой, называется конусом. L А Назовите предметы, которые имеют коническую поверхность КОНУС α Рассмотрим окружность О(r) Є α . О r КОНУС α Проведем прямую ОР  α . О r Р КОНУС α Соединим каждую точку окружности О (r) с точкой Р. О r Р КОНУС Поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности с точкой, лежащей на прямой перпендикулярной плоскости этой окружности и проходящей через центр этой окружности – это поверхность прямого кругового конуса. α О r Р КОНУС КРУГОВОЙ КОНУС – ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И КРУГОМ. α О r Р F P x Определение: тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. L ПОНЯТИЕ КОНУСА КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Коническая поверхность – боковая поверхность конуса КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Круг – основание конуса КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Точка Р – вершина конуса Р КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Образующие конической поверхности – образующие конуса ℓ КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Прямая, проходящая через центр основания и вершину – ось конуса О КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания – высота конуса О Н У прямого конуса ось и высота совпадают.У наклонного конуса ось и высота не совпадают КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Радиус основания конуса – радиус конуса О r ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Боковая поверхность(коническая поверхность)ОбразующиеОснование (круг)ВершинаОсьВысотаРадиус Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треугольников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов – оси конуса. В А С С1 С2 КОНУС ВРАЩЕНИЯ КОНУС КОНУС – ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, причем этот катет будет является высотой конуса, второй катет – радиусом конуса, а гипотенуза образующей конуса. Н r ℓ СЕЧЕНИЯ КОНУСА СЕЧЕНИЯ КОНУСА Сечения, проходящее через ось(осевые) Сечения, перпендикулярные оси (поперечные) Сечение, проходящее через вершину, не содержащее ось конуса Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – диаметр конуса Если равносторонний треугольник – конус называется равносторонним Круг радиуса меньшего, радиуса основания Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – хорда окружности основания Рис.1 Рис.2 Рис.3 эллипс парабола гипербола КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ КОНУСА Конические сечения конуса – линии пересечения секущих плоскостей с боковой поверхностью конуса Конические сечения широко используются в технике( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Касательная плоскость – плоскость, проходящая через образующюю и перпендикулярная плоскости осевого сечения Если плоскостью, параллельной основанию конуса, отсечь от него верхнюю часть, то оставшаяся часть (между секущей плоскостью и основанием), называется усечённый конус УСЕЧЕННЫЙ КОНУС Усеченным конусом называется пересечение конуса с полупространством, содержащим основание конуса и ограниченным плоскостью, которая параллельна плоскости основания конуса и пересекает данный конус. основания образующая радиусы боковая поверхность высота ЭЛЕМЕНТЫ УСЕЧЕННОГО КОНУСА ВИДЫ КОНУСОВ НАКЛОННЫЙКОНУС ПРЯМОЙКОНУС УСЕЧЁННЫЙКОНУС Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Sкон = π r (l+r) ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Так выглядит развертка конуса Развёрткой конуса является круговой сектор, у которого радиус равен образующей конуса R=ℓ, а длина дуги равна длине окружности основания конуса L=C=2πR ℓ α С = 2πR Формулы для вычисления боковой поверхности и полной поверхности конуса:Sбок.= πRℓSосн.= πRІSп.п.к. =Sбок.+Sосн.= πR(R+ℓ) Задача №1 Какова площадь поверхности воронки, образовавшейся при взрыве 122-мм бомбы? Для решения задачи надо измерить: Длину окружности основания воронки: С= 12м и глубину по склону: ℓ=1,5 м Найти: Sбок.=? Решение: Sбок.= πRℓ С= 2πR R=С:2πSбок.= πRℓ= πСℓ:2π=Сℓ:2Sбок.=12*1,5:2= 9мІОтвет: 9 мІ ℓ С Задача №2 Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания 6 метров ? 4 6 Задача №3 Решение: Sбок.= πRℓR=D:2 = 6:2 = 3(м)ℓ= √ НІ +RІ = √4І + 3І = 5Sбок.≈ 3,14* 3*5 ≈ 45,7(мІ)Ответ: ≈ 46 мІ 4 3 3 Дано: Н=4 м D=6 мНайти: Sбок.=? 6 Задача №3 F О Фонарь установлен на высоте 8 м. Угол рассеивания фонаря 120°. Определите, какую поверхность освещает фонарь. 8м Задача №3 F О Поверхность, освещаемая фонарём, это площадь круга с радиусом R=ОА.S= πRІ 8м А Задача №3 (решение) Решение:_ FАО= 180°-120°/2=30° FA=8•2=16 (катет, лежащий против угла в 30°) АО= √ FAІ-FOІ = √16І-8І = 8√3 (по теореме Пифагора) S = π (8√3)І =132π ≈ 414,5 мІ Ответ: 414,5 мІ Задача №4 Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь основания конуса. 12 см А О В Задача №4 Дано: конусl = 12 смα = 45°Найти:Sосн. = ? 12 см А О В Решение: 1. Рассмотрим ОАВ – прямоугольный:ОВА = ОАВ = 45° => ОА = ОВпо т. Пифагора АВ2 = ОА2 + ОВ2 144 = 2·ОВ2 ОВ = 6 2. Sосн. = r2r = OB = 6=> Sосн. = 72π см2 . Ответ: 72π см2. ВЫВОД ФОРМУЛЫ Vконуса =∫S(x)dx. H 0 S(x) Sосн = k = 2 ( ) 2 = x x H H 2 2 S(x) = Sосн * x H 2 2 Sосн 3 1 = * H 3 1 = π 2 R H 3 1 = π 2 R H Vконуса H x S(x) Sосн x H 2 2 H 0 Vконуса =∫Sосн * dx = Sосн 2 H * = Sосн * 2 H * 3 H 3 = H 3 x 3 0 ОБЪЕМ КОНУСА ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛ Vтела вращ. = π ∫ H 0 2 f (x) dx. 3 1 = π 2 R H Vконуса ∫ H 0 ∫ H 0 Vконуса = π (kx) dx = 2 π 2 k 2 2 x dx = π *( ) H R * H 3 x 3 0 = 2 H * 3 H 3 π R * 2 = = 2 H * 3 H 3 π R * 2 = 3 1 = π 2 R H R A C H O x y H y = kx α Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг? Решение: O A C 2м B 3м * 3 * 2 =6 (м ) 2 3 π P = 1650*6*3,14 31086 кг 31 т. ≈ ≈ Ответ: P = 31 т. 3 1 = π 2 R H V = 3 1 π Задача №4 Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?Дано:Решение.коническая воронкаD = 10 смL = 13 смV – ? O A C 13 B 5 3 1 = π 2 R H V = 3 1 π * 25 * 12 =100 π (см ) 3 = 100 см = 0,1 3 3 π π(ДМ ) n = 31,8 10 0,1 π ≈ Ответ: n 32 воронки. ≈ Задача №5 «... Читал я где-то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с весельем озирать и дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли.»А.С. Пушкин «Скупой рыцарь» Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм». Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.V = 0,2*100 000 = 20 000 дм3 = 20 м3.Угол откоса 45°, иначе земля начнет осыпаться.Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45° Дано: конусV = 20 м3 a = 45° Найти: H конуса 3 1 = π 2 R H Vконуса 1 горсть ≈ литров = 0,2 дм. 5 1 3 45 H = 2,7 м. √ 3 3 π ≈ Решение: Так как H = R, то: ПРОВЕРЬ СЕБЯ Какое из изображённых тел является конусом? Ответьте на вопрос и запишите ответы в столбик. Из первых букв составьте слово. Как называется:1. Фигура, полученная при поперечном сечении конуса?2. Отрезок, соединяющий вершину с окружностью основания?3. Имеет ли конус центр симметрии?4. Тело, полученное при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию?5. Фигура, являющаяся боковой поверхностью конуса? Проверь себя Задание1: 1; 5; 10.Задание2:1. Круг.2. Образующая.3. Нет.4. Усечённый конус.5. Сектор. Список литературы:1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. / Геометрия : Учебное пособие для классов с углубленным изучением математики – 3-е издание, перераб. – М.: Просвещение, 1992. – 464с.2. Геометрия : учеб. для общеобразоват. учреждений / Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение,2005. – 206с.3. Крамор В. С. / Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – 3-е изд., испр. И доп. – М.:Мнемозина, 2004. – 336 с.4. Смирнова И. М. / Геометрия: Учебное пособие для СПО. – М.: Просвещение, 1997. – 159 с.5. Математика. – репринтное издание «Математического энциклопедического словаря» 1988 г.- М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. - с.6. http://ru.wikipedia.org/wiki/ СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ