Планирование учебного материала по математике. Тема: «Степенная функция, её свойства и графики». Для учащихся техникума на базе основной школы.
Тема: «Степенная функция, её свойства и графики».
Повторение опорных знаний учащихся .Повторение основных свойств степеней можно провести в виде самостоятельной работы по индивидуальному раздаточному материалу. Воспроизведение в памяти учащихся знаний , умений и навыков, необходимых для успешного изучения нового материала.
Степень с действительным показателем и ее свойства
№№ Задания для работы
1. Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали дробных показателей степени.
для изучения для самостоятельного выполнения
1) b23=3b22) c12∙b13=c∙3b3) c23∙b45∙d57=3c2∙5b4∙7d51) c43=2) b67=3) b12∙c13∙d56=2. Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степени.
для изучения для самостоятельного выполнения
1) 3-1b-4c-3d-2=13b4c3d22) 4c-2d-1=4c2d1) b-3c-2n-12) 2-5∙3-23) 15d-2m-33. Вычислить.
для изучения для самостоятельного выполнения
1) 213-2-7-2-1= 72-2-172-1= =849-1=4982) 412∙2512∙2713∙6413== 4∙25∙327∙364=2∙5∙3∙4= =1201) 34-2-3-2-32) 14-3+12817-13) 912∙412∙6416∙125134) 1282174. Записать выражение так, чтобы оно не содержало корней.
для изучения для самостоятельного выполнения
1) 43b2=b2314=b23∙14=b162) 39b12=9b1213=32∙13∙b12∙13=323∙b43) 653c7=c731516 =c73∙15∙16=c7901) 4b72) 4493) 54b34) 18145. Упростить выражение.
для изучения для самостоятельного выполнения
1) 33-2∙33+1∙3-3+1==33-2+3+1-3+1=332) 33-233-1=33-2-3+1=3-1=133) 33+13-1=33+13-1=33-1==32=94) b6∙c6+1bc6=c∙b6∙c6b6∙c6=c1) 23∙2-3+222) 23+223+33) 23+23-14) x5∙y5+2xy56. Вставить пропущенные показатели степени.
2***=16; 2***=12; 3***=3; 5***=125; 81***=3; 3***=243Изложение материала по теме «Степенная функция, её свойства и графики».
Метод : объяснительно – иллюстративный, репродуктивный.
Объяснительно-иллюстративный метод информирует учащегося о новых элементах знаний данного занятия.
Репродуктивный метод характеризуется воспроизведением и повторением способа деятельности по заданиям преподавателя.
Самостоятельное применение знаний, умений и навыков нацелено на осознанное усвоение знаний, формирование математического мышления, повышение активности учащихся в процессе обучения, воспитание вдумчивого отношения к изучаемому материалу.
Домашнее задание выдаётся в конце занятия с пояснением наиболее сложных моментов, с рекомендациями литературы.
Степенная функция, ее свойства и графики
Степенной называется функция вида у=хр, где р – заданное число, называемое показателем степени.
Иногда степенной функцией называют также функцию более общего вида у=αхр,α∈R. Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, площадь квадрата S есть степенная функция от длины его сторон х: S=x2. Известно, что закон движения S(t) тела, падающего вертикально вниз (начальная скорость движения равна нулю), определяется равенством St=gt22, то есть является степенной функцией от времени t.
Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени р.
Исследуем сначала поведение функции при натуральном значении р, то есть функции у=хn, n∈N.
1. Областью определения функции является множество действительных чисел R, то есть D(y)=R.
2. Множеством значений функции при нечетном показателе степени n является множество действительных чисел R, а при четном n – множество неотрицательных чисел.
3. При нечетном показателе степени n функция является нечетной, а при четном значении n – четной, так как
у-х=(-х)2k-1=-x2k-1=-y(x) и у-х=(-х)2k=-x2k=-y(x), k∈N. 4. При нечетном показателе степени функция возрастает на всей области определения, а при четном показатели убывает на множестве отрицательных чисел и возрастает на множестве положительных чисел.
5. Функция непрерывна на всем множестве действительных чисел.
6. Обращается в нуль при х=0, то есть у(0)=0.
7. График функции проходит через точку с координатами (1;1).
В качестве примера графиков функций с натуральным показателем степени мы можем привести графики функций у=х3 и у=х2 .
у у
2 2
1 1
0 1 2 х 0 1 2 3 х -1
Если показателем степени является целое отрицательное число, то есть p = -n, n∈N , то степенная функция определяется равенством у=1хn.
Исследуем свойства этой функции.
1. Областью определения функции являются все действительные числа, кроме х=0; в точке х=0 функция терпит разрыв второго рода.
2. Множеством значений функции является множество действительных чисел, отличных от нуля, в случае нечетного n и множество положительных чисел, в случае четного n.
3. При нечетном значении n функция является нечетной, при четном n – четной.4. При нечетном показателе степени функция убывает на всей области определения; при четном показателе степени возрастает при х<0 и убывает при х>0.
5. График функции проходит через точку с координатами (1;1).
6. Функция непрерывна в каждом промежутке области определения.
В качестве примера графиков степенной функции с целым отрицательным показателем степени мы рассмотрим графики функций y=1x и у=1х2.
у у
2 2
1 1
0 1 2 х 0 1 2 х -1 -1
Примечание.
1. Монотонность функций с показателем степени n =2; 3; -1; -2 была нами исследована ранее.
2. Если р=0, то по определению х0=1.
Исследуем функции с показателем р=1n, то есть функции у=nx , nN.
1. Областью определения функции при четном n является множество неотрицательных чисел, а при нечетном n – все множество действительных чисел.
2. Множеством значений функций при нечетном n является множество действительных чисел, а при четном n – множество неотрицательных чисел.
3. Функция обладает свойством нечетности при нечетном n.
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция обращается в нуль при х=0, то есть у(0) = 0.
7. График функции проходит через точку с координатами (1;1).
В качестве примера графиков функций с показателем р=1n, nN рассмотрим графики функций у=х и у=3x.
у у
2 2
1 1
0 1 2 х 0 1 2 х -1 -1
Для рационального показателя p=mn, m Z, nN ( mn – несократимая дробь) степенная функция определяется формулой y=xmn=(x1n)m.В качестве примера рассмотрим графики функций у=х23 ; у=х43 ; у=х34 . у у у
2 2 2
1 1 1 0 1 2 х 0 1 2 х 0 1 2 хЗадания для самостоятельного выполнения.
1. Построить в одной системе координат графики функций
а) y=x2; y=x b) у=х3; у=3хи указать их сходства и различия.
2. Построить графики функций у=х3-1; у=х2-2.
Замечание. Для построения графика функции у=f(х) нужно построить график функции у=f(х) , а затем отобразить относительно оси Ох те части графика, которые расположены ниже этой оси.
Домашнее задание.
1. Построить графики функций у=1х3 ; у=-1х2 и исследовать свойства этих функций.
2. Построить графики функций у=х3 ; у= 3х .
3. Упростить выражения:
(81b)14+(256)14+(16b)14+b14 ; 3х-x2+x2-(х+2)24-4x2 .Осуществление контроля знаний, умений и навыков можно провести как на занятии, так и вне его.
Например: Применим изученные на предыдущих занятиях свойства степеней и известные сведения о графиках и свойствах степенных функций - ответить на поставленные вопросы.
Даны функции:
y=x2; 2. y=1x; 3. y=x; 4. y=x5Выберите функции
определенные на всем множестве действительных чисел
множеством значений которых является все множество действительных чисел
непрерывные на всей области определения
четные
нечетные
Укажите, графики каких из данных функций
проходят через начало координат
проходят через точку с координатами (1;1)
расположены в верхней полуплоскостирасположены в правой полуплоскостиПостройте примерные графики функций у=х3 и у=х.
Какими общими свойствами обладают эти функции?
Постройте примерные графики функций y=x2 и у=1х2.
Укажите различия в свойствах этих функций.
На рисунках представлены примерные графики функций, фигурирующих в предложенных выше заданиях. Для каждого графика попробуйте указать соответствующее уравнение функции.
у у у 2 2 2 1 1 1 0 1 2 3 х 0 1 2 х 0 1 2 х
у у у у
2 2 2 2
1 1 1 1
0 1 2 х 0 1 2 3 х 0 1 2 х 0 1 2 х -1 -1
Предложить сделать домашнюю самостоятельную работу.
«Степенная функция, ее свойства и графики»
Цель проведения работы. Воспитание у студентов навыков построения графиков и чтения свойств степенных функций по их графикам. Применение знаний и умений при решении типовых примеров и задач; закрепление умений и навыков, полученных при изучении темы «Степенная функция и ее свойства».
Задание 1.
Выяснить, при каких значениях аргумента график функции fx=x2 расположен ниже графика функции gx=x . Решение проиллюстрировать графически.
Решение задачи
График функции f(x) находится ниже графика функции g(x) при тех значениях аргумента, при которых выполняется неравенство x2<x , поэтому решение задачи сводится к отысканию решения этого неравенства.
x2-x<0 ; x(xx-1)<0 , так как x≥0 , то решение задачи сводится к решению неравенства xx-1<0 (*); теперь находим нули левой части xx-1=0 ; xx=1; х=1. Наносим найденное значение на числовую прямую и исследуем знаки выражения (*):
- +
0 1 хРешением неравенства является промежуток (0;1).
Проиллюстрируем решение графически, построив параболы fx=x2 и gx=x .
у
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3
Задание 2.
Найти точки пересечения графиков функций fx=x2 и gx=3x . Решение проиллюстрировать графически.
Задание 3.
Выяснить, есть ли общие точки у графиков функций fx=x3 и gx=1x . Решение проиллюстрировать графически.
Задание 4.
Выяснить, имеют ли графики функций fx= -x2 и gx=x-2x2 общие точки. Проиллюстрировать свой вывод графически.
Задание 5.
Выяснить, при каких значениях аргумента график функции y=x3 расположен ниже графика функции y=-x2. Найденное решение проиллюстрировать графически.