Методическая разработка по теме Тела вращения.Конус,сфера
Тела вращения.Конус, сфера
2«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой-красотой отточеннойи строгой, возвышенно чистойи стремящейся к подлинному совершенству,которое свойственно лишь величайшимобразцам искусства.»Бертран Рассел
ПоверхностиПример простой поверхности3 Поверхность — геометрическое понятие, прилогическом уточнении этого понятия в разныхразделах геометрии ему придаётся различный смысл. Вэлементарной геометрии рассматриваются плоскости,многогранники, а также некоторые кривыеповерхности. При этом каждая поверхностьопределяется специальным способом, без общегоопределения, чаще всего как множество точек,удовлетворяющих некоторым условиям. Например,сфера — множество точек, отстоящих на заданномрасстоянии от данной точки. Понятие «поверхности»лишь поясняется, а не определяется. Например,говорят, что поверхность есть границатела или следдвижущейся линии.
4В современной геометрии поверхностью называютдвумерное многообразие или двумерное подмногообразие, ноиногда этим словом обозначают произвольное подмногообразие. Математическистрогое определение поверхности основывается напонятиях топологии. При этом основным являетсяпонятие простой поверхности, которую можно представитькак кусок плоскости,подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям иизгибаниям). Классификация:С точки зрения топологического строения, поверхности какдвумерные многообразия разделяются на несколько типов:замкнутые и открытые, ориентируемые и не ориентируемые и т. д.
5КонусПрямой круговой конусКонус — тело, полученное объединениемвсех лучей, исходящих из одной точки(вершины конуса) и проходящихчерез плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела,полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки Сплоской поверхности(последнюю в такомслучае называют основанием конуса,а конус называют опирающимся на данное основание). Коническая поверхность – поверхность ,с вершиной А и направляющей В, содержащая все точки всех прямых ,проходящих через точку O и пересекающихся с кривой В.ВАС
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
Конус6Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругомили эллипсом) и ортогональная проекция вершиныконуса на плоскость основания совпадает с этим центром,то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Если же ортогональная проекция вершины не совпадает с центром симметрии основания, то конус называется косым или наклонным. Если основание конуса является кругом, конус называетсякруговым. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить Вращением.Прямоугольного треугольникавокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).ABCOFEDWSPNMLKG
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
Конус7Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становитсяпирамидой; таким образом, пирамидыявляются подмножеством конусов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхностьконуса является конической поверхностью.Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом. Усеченный конус можетбыть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны,перпендикулярной основаниям.EDCBOA
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
8Усеченный прямой конусФормулы:Здесь h – высота усеченного конуса; R и R1 – радиусы его верхнего и нижнего оснований; l – его образующая
Основные формулыЕсли R – радиус основания, H - высота, L– обра- зующая конуса, то V=1/3πR²HSбок=πRLSполн=Sбок+Sосн=πRL+ +πR²=πR(L+R)9
КоникаКонические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола.Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых, а также окружность, которую можно рассматривать как частный случай эллипса.Конические сечения могут быть получены как пересечение с плоскостью двустороннего конусаa2z2 = x2 + y2 (в Декартовой системе координат) 10
Прямоугольный треугольникПонятие треугольникаТреугольник - фигура, состоящая из 3х точек: нележащих на одной прямой, и 3х отрезков, попарносоединяющих эти точки.Прямоугольный треугольник – фигура, один изуглов которого равен 90 градусов, имеющая 2 катета игипотенузу (АВ, АС, ВС, А).При вращениитреугольника вокруг одного из его катетов, мыполучим конус.11СВА
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
Окружность12Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки. Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг еедиаметра.
Радиус и диаметр окружности13Радиус - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней.На рисунке представлены 3 радиуса одной окружности. Диаметр - это отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через ее центр. АОBCОАВD=2R
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotationstyle.rotationppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Учеными было установлено, что длина окружности прямо пропорционально длине ее диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Это число обозначили – П (читается «пи»)С = 2пR где С – длина окружности, R-радиус ее, п = 3,1414Если С и С1– длины окружностей, а d, D – диаметры, то DdФормулы для нахождения длины окружностиС = пD где С – длина окружности, D –диаметр ее, п = 3,14
КругКруг – это часть плоскости, ограниченная окружностью15У круга есть: радиус, диаметр D – диаметр круга, R – радиус кругаDRФормула для нахождения площади кругаS – площадь кругаR – радиус кругаП = 3,14
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
Шар – тело вращенияOS, ON, OC, OD – радиусы;NS, CD – диаметры шара;C и D, N и S – диаметрально противоположные точки16
Шар17Объём шара радиуса R равен ROРассмотрим шар радиуса R с центром в точке OТеорема:
style.rotation
Объем шараАрхимед считал, что объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного около него цилиндра: Vш=4/3πR³. 18
Как Архимед находил объем шараПлощади сечений: Sц, Sш, Sк.Sц=4πR²;Sш=π[CE]², где [CE]²=[EO]²-[OC]²=R²- -(x-R)²=2Rx-x²;Sк=π[CD]²= πx²19
20
Основные формулыR – радиус шараVшара=4/3πR³Sсферы=4πR²21
22Выберем ось OX произвольным образомS(x) – сечение шара плоскостью,перпендикулярной к Оси ОХ и проходящей через т. M(x) этой оси, есть круг с центром в т. MOXR – радиус шараXM(x)BAВыразим S(x) через X и RИз прямоугольного OMC:
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Сфера23Двумерная сфераСфера — замкнутая поверхность геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве).Уравнение сферы(x – x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2,где (x0,y0,z0) — координаты центра сферы, R — её радиус. Сфера является поверхностью шара. Площадь поверхности сферы 4πR2.Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере.
n-мерная сфера.Гиперсфера В общем случае уравнение n-1-мерной сферы (в евклидовом пространстве) имеет вид:, где (a1,...,an) — центр сферы, а r — радиус.Пересечение двух n-мерных сфер — n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+2 n-1-мерных сфер.n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость. 24
Катеноид25Катеноид — поверхность, образуемая вращением цепной линиивокруг оси OX.