Практическая работа Матричный способ решения систем линейных уравнений

Практическая работа № 5
“ Решение систем линейных уравнений матричным способом ”
Цель работы:
1. Познакомиться со способами решения матричных уравнений
2. На конкретных примерах научиться решать системы уравнения с помощью обратной матрицы
Содержание работы:
1. Рассмотрим матричное уравнение: A · X = B 
Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения слева на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
( A−1 · A ) · X = A−1 · B ,   E · X = A−1 · B,   X = A−1 · B. 
Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой: X = A−1 · B
Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .
2. Рассмотрим матричное уравнение: X · A = B
Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения справа на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
X · ( A · A−1 ) = B · A−1;   X · E = B · A−1;   X = B · A−1 .
Таким образом, искомое решение матричного уравнения: X = B · A−1 
Обратите внимание на то, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A.
Пример 1. Решим матричное уравнение:  2 1
1 3
  · X =  1 0
3 2
  .
Решение.
1. Вычисляем обратную матрицу A−1 методом Гаусса:
 2 1  1 0
1 3 0 1
   1 3  0 1
2 1 1 0
   1 3  0 1
0 −5 1 −2
 
  1 3  0 1
0 1 −1/5 2/5
   1 0  3/5 −1/5
0 1 −1/5 2/5
  .
Таким образом, обратная матрица имеет вид
A−1 =  3/5 −1/5
−1/5 2/5
  .
2. Обе части уравнения умножаем слева на матрицу A−1 .
3. Находим решение уравнения:
X = A−1 · B =  3/5 −1/5
−1/5 2/5
 ·  1 0
3 2
 =  0 −2/5
1 4/5
  .
Ответ:
X =  0 −2/5
1 4/5
  .
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
            Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
            Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Систему уравнений можно записать: A×X = B.
Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А-1.
D = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
 
M11 =  = -5;                  M21 =  = 1;                   M31 =    = -1;
M12 =                M22 =                     M32 =
M13 =                  M23 =                     M33 =
 
                     A-1 = ;
 
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = ×= .
 
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Приложения: