Презентация по математике на тему Комбинаторные задачи (9 класс)

Комбинаторные задачи.Комбинаторика. выбор расположение перестановки n! n! При создании этой презентации были использованы следующие материалы: А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра 9. Учебник. Часть 1. Изд. Мнемозина. Москва 2010.Материалы презентации «Российская академия образования. Институт педагогических исследований одарённости детей (ИПИО).Программно-методический комплекс "Элементы теории множеств и комбинаторики " для среднего и дополнительного образования. Ю.В. Михеев, А.А. Никитин, Г.А. Сапрыкина, Л.С. Шум»: слайды №23. (http://www.openclass.ru/dig-resource/150925).Картинки и изображения с сайта http://images.yandex.ru/. Комбинаторика. Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы выбора или расположения элементов множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика рассматривает конечные множества. 1. Метод перебора вариантов. Пример 2 Из цифр 1, 5, 9 составить трёхзначные числа без повторяющихся цифр. Организованный перебор! 1 159 195 5 9 519 591 915 951 2 комбинации 2 комбинации 2 комбинации Всего 2•3=6 комбинаций. Дерево возможных вариантов! Методы перебора(дерево возможных вариантов). Пример 3 Из цифр 2, 4, 7 составить трёхзначные числа, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз. а)Сколько таких чисел начинается с 2? б) Сколько всего таких чисел можно составить? 2 24 22 27 224 227 242 247 272 277 274 244 а)Ответ: 8 чисел. б)Ответ: 24 числа. 1)Числа без повторений: 247 274 2)Числа, в которых повторяется 2: 224 227 242 272 3)Числ0, в котором повторяется 4: 244 4)Числ0, в котором повторяется 7: 277 1способ: построим дерево возможных вариантов, если первая цифра числа 2 2 способ: Дерево возможных вариантов. Пример 4. «Этот вечер свободный можно так провести…» (А. Кушнер):пойти прогуляться к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вите или к Вике. А можно остаться дома,сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, потом поиграть с братом или разобраться наконец у себя на столе. Нарисовать дерево возможных вариантов. Вечер Прогулка Дом Парк Площадь Река Витя Вика Витя Витя Вика Вика ТВ Книжка Брат Стол Брат Стол Применение дерева возможных вариантов. Пример 4. В закрытом ящике три неразличимых на ощупь шара: двабелых и один чёрный. При вытаскивании чёрного шара, его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят 3 раза подряд. а) Нарисовать дерево возможных вариантов.б)В скольких случаях будут вытаскиваться шары одного цвета? в) В скольких случаях среди вытащенных шаров белых будет больше? ББЧ ББЧ Ч ББЧ БЧ Б Ч ББЧ БЧ Ч Б БЧ Ч Ч Б БЧ Б Ч БЧ Б Ч БЧ Ч Ч Ч Б Ч На завтрак можно выбрать булочку, кекс, пряники или печенье, запить можно чаем, соком или кефиром. Сколько вариантов завтрака есть? х/бизд. напитки булочка кекс пряники печенье чай сок кефир чай чай чай чай кефир сок сок сок сок кефир кефир кефир булочка булочка булочка кекс кекс кекс пряники пряники пряники печенье печенье печенье Выбор напитка- испытание А Выбор хл./бул. изделия.- испытание В Испытание А имеет 3 варианта (исхода), а испытание В-4, всего вариантов независимых испытаний А и В 3•4=12. Для того, чтобы найти число всех возможных исходов (вариантов) независимого проведения двух испытанийА и В, надо перемножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания В 2.Правило умножения. В комнате 3 лампочки. Сколько имеется различных вариантов освещения комнаты, включая случай, когда все лампочки не горят. 1 лампочка 2 лампочка 2 лампочка + - + - 3 лампочка 3 лампочка + - 3 лампочка 3 лампочка + - + + + - +++ ++- +-+ +-- -++ -+- --+ --- - - 1 способ: метод перебора исходов (вариантов) 2 способ: правило умножения. Испытание А- действие 1 лампочки, испытание В-действие 2 лампочки, испытание С-действие 3 лампочки. Решим задачу: У каждого испытания 2 исхода: «горит» и «не горит» Всего исходов: 2•2•2=8 Семейный ужин. Пример 1. В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делатьэто без повторений? №1 №2 №3 №4 №5 №6 6 5 4 3 2 1 6•5•4•3•2•1= 720дн. -почти 2 года 3. « Эн факториал»-n!. 1•2•3•4•5•6=720 Определение. Произведение подряд идущих первых nнатуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»: n!=1•2•3•…•(n-1)•n. 2!= 1•2= 2 3!= 1•2•3= 6 4!= 1•2•3•4= 24 5!= 1•2•3•4•5= 6!= 120 1•2•3•4•5•6= 720 7!= 1•2•3•4•5•6•7= 5040 n!=(n-1)!•n Удобная формула!!! Пример 2. Сколькими способами 4 вора могут по одному разбежаться на все 4 стороны. 2 1 3 4 N O W S Банк 4 3 2 1 1•2•3•4=4!=24 Их разыскивает полиция… Расписание уроков. Пример 3. В 9 классе в среду 7 уроков: алгебра, геометрия, литература,русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить? Расставляем предметы по порядку Предмет Число вариантов Алгебра 7 Геометрия 6 Литература 5 Русский язык 4 Английский язык 3 Биология 2 1 Физкультура Всего вариантов расписания 1•2•3•4•5•6•7= =5040 7!= Перестановки и их число. Теорема о перестановках элементов конечного множества. n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами. Определение. Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке.