Конспект урока на тему: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники».

Учитель математики
МБОУ СОШ №70 г. Липецка
Хохлова Наталья Александровна
Конспект урока на тему: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники».
Урок – лекция. (10 класс) – 1 час.
Учебная задача: совместно с учащимися «открыть»:
понятия симметричных точек относительно точки, прямой и плоскости по аналогии с изученной ранее темой «Симметрия на плоскости»;
понятием правильного многогранника, его виды и элементы симметрии;
теорему о том, что «не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n≥6».
Диагностируемые цели:
В результате ученик:
Знает определения точек симметричных относительно точки (прямой, плоскости), центра (оси, плоскости) симметрии, определение правильного многогранника, виды правильных многогранников, теорему о том, что «не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n≥6».
Умеет выделять элементы симметрии правильных многогранников, решать простейшие задачи, связанные с элементами симметрии правильных многогранников.
Метод обучения: УДЕ, частично - поисковый.
Форма обучения: фронтальная, индивидуальная.
Средства обучения: канва – таблица, презентация, модели правильных многогранников.
Действия учителя Действия учеников Записи на доске
Мотивационно – ориентировочный этап
- Здравствуйте, ребята!
Посмотрите на рисунок и скажите, что за объемные фигуры изображены на рисунке?
-Дайте определение многогранника.
-Какие из изображенных многогранников вам известны?
-На какие две группы можно разделить эти многогранники?
Какие многогранники называют выпуклыми? Определим, какие многогранники будут выпуклыми, а какие невыпуклыми. Почему 3,6,7 невыпуклые?
- Что мы знаем о сумме всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника?
- Какая фигура лежит в основании данного многогранника?
-Чему равна сумма углов в многоугольнике?
- Давайте подсчитаем, чему равна сумма всех углов в правильном шестиугольнике? Каждого угла шестиугольника?
Это нам сегодня понадобиться для изучения новой темы.
- Однажды Л.Н. Толстой сказал: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?».
-С симметрией мы встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту.
Мы часто видим симметричные творения природы (листья, цветы, птицы, животные) или творения человека (здания, техника) - все то, что окружает нас каждый день. В быту: молотки, рубанки, лопаты, трубы. Мы смотрим на себя в зеркало и видим, что части нашего лица симметричны друг другу. По улицам ездят автомобили, автобусы, правая и левая части которых симметричны. Таким образом, симметрия бывает не только на плоскости (кленовый лист), но и в пространстве (лицо).
Ребята, для начала вспомним такие понятия, как симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, которые мы изучили на плоскости.
-Какие же точки называются симметричными относительно точки?
При этом точку О называют центром симметрии.
- Сформулируйте определение точек симметричных относительно прямой.
При этом прямую а называют осью симметрии.
По аналогии с симметрией на плоскости определятся симметрия в пространстве. Симметрия тесно связана с многогранниками.
Цель нашего урока: расширить знания о симметрии и многогранниках.
Тему урока мы запишем в процессе заполнения таблиц. На рисунке изображены многогранники.
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранником.
Правильная призма (1), наклонная призма(4), пирамида треугольная (2), пятиугольная (5).
На выпуклые и невыпуклые многогранники.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Выпуклые:1,2,4,5, невыпуклые:3,6,7.
Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 3600.
В основании данного многогранника лежит правильный шестиугольник.
Сумма углов в многоугольнике равна 1800∙(n-2).
Сумма всех углов в правильном шестиугольнике равна 7200. Каждый угол равен 1200.

Точки А и А1 и называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1 .
Точки А и А1называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку.
(слайд 1)
(слайд 2)
(слайд 3)
(слайд 4)
(слайд 5)
(слайд 6)

(слайд 7 -11)
(слайд 12)
(слайд 13)
Содержательный этап
- Как было сказано выше, по аналогии с симметрией на плоскости определятся симметрия в пространстве. Поэтому в процессе работы заполним следующую канву – таблицу.
Мы вспомнили определение точек симметричных относительно точки. Попробуйте сформулировать такое определение только для симметричных точек в пространстве.
Чем будет точка О?
- А как формулируется определение точек симметричных относительно прямой в пространстве?
Чем будет являться прямая а?
- В пространстве существует понятие точек симметричных относительно плоскости. Попытайтесь дать определение.
Значит, плоскость α- плоскость симметрии.
Итак, точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.
Таким образом, в пространстве помимо центральной и осевой симметрии, которые есть на плоскости, добавляется зеркальная симметрия.
-Оказывается у некоторых многогранников тоже есть центр, ось и плоскость симметрии, которые называют элементами симметрии этого многогранника.
-Рассмотрим два многогранника: куб и параллелепипед. Куб называют правильным многогранником. Давайте выясним почему?
Давайте подсчитаем, сколько ребер сходиться в каждой вершине куба, параллелепипеда.
Чем являются грани этих многогранников?
Особо важно, что все грани куба равны между собой, а у параллелепипеда не все грани равны между собой.
Таким образом, куб будем относить к правильным многогранникам.
- Посмотри на следующий рисунок. Давайте попробуем определить является ли одна из этих пирамид правильным многогранником. Действуем по той же схеме (определяем число ребер сходящихся в каждой вершине, вид граней и их равенство).
Попробуйте дать определение правильного многогранника.
Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и тоже число ребер.
- Возникает вопрос, сколько граней, являющихся правильными многоугольниками, может сходиться в одной вершине, чтобы в результате получился правильный многогранник.
Давайте подсчитаем, а полученные результаты будет сравнивать с 360°, так как по теореме, которую мы вспоминали в начале урока сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 3600.
1. Рассмотрим правильный треугольник. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине треугольника, если:
а) в каждой вершине сходится три грани;
Сумма меньше 3600, значит, такой правильный многогранник может быть.
б) в каждой вершине сходится четыре грани;
Сумма меньше 3600, значит, такой правильный многогранник может быть.
в) в каждой вершине сходится пять граней;
Сумма меньше 3600, значит, такой правильный многогранник может быть.
г) в каждой вершине сходится шесть граней;
Сумма равна 3600, противоречит теореме. Следовательно, такого многогранника не может быть.
2. Рассмотрим правильный четырехугольник – квадрат. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине квадрата, если:
а) в каждой вершине сходится три грани;
Сумма меньше 3600, значит, такой правильный многогранник может быть.
б) в каждой вершине сходится четыре грани;
Сумма равна 3600, противоречит теореме. Следовательно, такого многогранника не может быть.
3. Рассмотрим правильный пятиугольник. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине квадрата, если:
а) в каждой вершине сходится три грани;
Сумма меньше 3600, значит, такой правильный многогранник может быть.
б) в каждой вершине сходится четыре грани, очевидно, что сумма равна 3600, противоречит теореме. Следовательно, такого многогранника не может быть.
Если будем рассматривать правильный шестиугольник, то сумма плоских углов при каждой вершине, в которой сходится три грани, будет равна 360°. Это тоже противоречит теореме.
Исходя из наших расчетов, можно сделать предположение, что не существует многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники. Верно ли это предположение?
-Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Сформулируем и докажем ее.
Теорема. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n≥6.
Доказательство:
Угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 1200. Почему? (обратить внимание учеников на подсчеты в начале урока).
При каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов.
Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 1200∙3=3600. Это невозможно. Почему? (так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 3600).
Из этого условия сделаем следующий важный вывод: каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.
В соответствии с этим выводом получаем следующие виды правильных многогранников:
правильный тетраэдр;
правильный октаэдр;
правильный икосаэдр;
куб;
правильный додекаэдр;
Немного из истории.
Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона «Тимаус» (427 -347 до н.э.). Поэтому правильные многогранники также называют «платоновыми телами». Каждый из правильных многогранников, а их всего пять, Платон ассоциировал с четырьмя «земными» элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «неземным» элементом – небом (додекаэдр).Рассмотрим виды правильных многогранников и их элементы симметрии, заполняя следующую канву-таблицу (см. приложение). Эту таблицу мы заполним не полностью, продолжим заполнение на уроке – семинаре. Точки А и А1 и называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1 .
Точка О – центр симметрии.
Точки А и А1называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку.
Прямая а – ось симметрии.
Точки А и А1называются симметричными относительно плоскости α, если плоскости α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку.
По три ребра в каждой вершине.
Грани куба – квадраты (правильные многоугольники), грани параллелепипеда – прямоугольники (неправильные многоугольники).
Обсуждение предложенных вариантов.
Каждый угол в правильном треугольнике равен 600.
Если в каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна 3∙60°=1800.
Если в каждой вершине сходится четыре грани, то сумма плоских углов при вершине равна 4∙600=240°.
Если в каждой вершине сходится пять граней, то сумма плоских углов при вершине равна 5∙600=300°.
Если в каждой вершине сходится шесть граней, то сумма плоских углов при вершине равна 6∙600=360°.
Каждый угол в квадрате равен 900.
Если в каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна 3∙90°=2700.
Если в каждой вершине сходится четыре грани, то сумма плоских углов при вершине равна 4∙900=360°.
Каждый угол в правильном пятиугольнике равен 1080.
Если в каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна 3∙180°=3240.
Так как угол в правильном шестиугольнике равен 1200, следовательно, меньше 1200 угол правильного n-угольника при n≥6 быть не может.
Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 3600.Симметрия
На плоскости В пространстве

(слайд 14)
Заполненная канва – таблица:
Симметрия
На плоскости В пространстве
Две точки называются симметричными относительно данной точки (центра симметрии), если данная точка является серединой соединяющего их отрезка.
Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.
Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку.
(слайд 15)

(слайд 16)
(слайд 17)
(слайд 18)
(слайд 19)
(слайд 20)
Рефлексивно – оценочный этап
- Какова была цель урока?
- О каком новом виде симметрии вы узнали?
- Сколько видов правильных многогранников существует? Почему? Домашнее задание: §3 (п.35-37) выучить определения и формулировки теорем, заполнить до конца канву – таблицу.
(слайд 21)
5147310354330Теорема.
Доказательство:
Теорема.
Доказательство:
-100965354330Симметрия
рис.
рис.
рис.
00Симметрия
рис.
рис.
рис.
Канва – таблица по теме: «Симметрия».

Канва таблица по теме: «Элементы симметрии правильных многогранников» (заполненная на уроке).
Правильный многогранник Определение Центр симметрии Ось симметрии Плоскость симметрии
Тетраэдр
Тетраэдр – правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Каждая из вершин является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.
Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.
Октаэдр Икосаэдр
Куб Додекаэдр Канва – таблица для учеников.
Правильный многогранник Определение Центр симметрии Ось симметрии Плоскость симметрии