«Формирование вероятностных понятий в свете основных направлений математического развития учащихся как средство повышения качества образования»

Представление опыта по теме
«Формирование вероятностных понятий в свете основных направлений математического развития учащихся как средство повышения качества образования»
Шепель Лариса Алексеевна, учитель математики МБОУ СОШ №1,
аул Кошехабль Республика Адыгея
Учитывая требования к современному обучению школьная программа предусматривает сформировать у учащихся элементы математических понятий и логической структуры мышления. Это требуется от учителя, но, к сожалению, многие из них до конца не понимают, как преподавать элементы раздела математики, который называется математическая логика, как включать в систему обучения элементы теории вероятностей и статистики. К сожалению, мало методических пособий для учителей младшего школьного звена, которые помогли бы справиться с такими заданиями, сделали бы обучающий процесс интересным и доступным.
В книге «Госпожа Удача» У. Уивер пишет: «Теория вероятностей – это та важная область, которая неразрывно связанна с нашей деятельностью. Но между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятности все ещё не стал общепринятым среди деятелей образования. Надо надеяться, что элементы теории вероятности, насколько возможно, будут представлены в среднем образовании….».
С тех пор как написаны эти строки, широко развернулась реформа математического образования; того, чего желал У. Уивер, мы отчасти достигли – сейчас теорию вероятностей изучают в средних школах, и вопрос о том, когда она войдёт составной частью в программы начальной школы, есть не более чем вопрос времени.
Даже на уровне начальной школы изучение вероятности вносит много свежих и плодотворных идей. Лишенные вероятностных понятий, дети имеют деформированное представление о математике: они думают что между «истиной» и « ложью» ничего больше нет! Какое потрясение, когда в более старшем возрасте они обнаруживают существование целой области математики, базирующейся на понятии «может быть»! Математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому традиционно учат в школе. К сожалению, это известно далеко не всем.
Всё что требуется, - это искусно связать теорию вероятностей с миром ребёнка. Вокруг нас легко найти множество ситуаций, которые могут послужить толчком к глубоким размышлениям. И в этом фейерверке жизни может родиться целый новый мир – при одном условии: ребёнку должно быть создано достаточно богатое окружение. Таким образом, чем раньше мы введём понятие вероятности, тем меньше мы рискуем услышать мнение, что математика отрезана от повседневной жизни
Известны многие прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения. Мы поддерживаем идею А. Энгеля - пронизывать элементами теории вероятностей изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности полезным. В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей. Мы полагаем, что школьник, занимавшийся ею в достаточно раннем возрасте, легче перенесет абстрактную, далекую от реальной действительности, “математизацию” в старших классах. Точно также ему пойдет на пользу изучение теории вероятностей в старших классах, если уже в младших были введены некоторые элементы предмета на описательном уровне.
Достижению этой цели во многом может способствовать изучение элементов теории вероятностей через систему специальных задач и экспериментов. Систематическое использование различных видов комбинаторных задач на уроках и внеклассных занятиях по математике позволит:
1.Повысить эффективность обучения математике.
2.Повысить качество математической подготовки учащихся 3.Активизировать мыслительную деятельность учащихся.
Для учащихся младшего звена может быть предложена специальная программа.
Целью инвариантной части программы является формирование у учащихся базовых математических понятий и категорий, а также обучение математическим способам познания и отражения окружающего мира. Помимо вопросов, относящихся к расширенному изучению базового содержания начального курса математики, она включает в себя следующие разделы (см. табл):
Элементы теории множеств.
Комбинаторные задачи.
Опишем методику изучения каждого из вышеперечисленных разделов.
Таблица 1
Класс
Элементы теории множеств
Основные понятия математической логики
Комбинаторные задачи
1
2
Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств. Составление множеств на основе различных характеристических свойств. Выделение характеристического свойства данного множества. Отношения между множествами. Круги Эйлера.
Понятие высказывания. Простые и сложные высказывания. Способы соединения высказываний. Отрицание высказывания.
Выделение подмножества из множества. Решение комбинаторных задач с помощью приемов систематического перебора. Упорядочивание элементов подмножества. Решение задач с помощью составления таблиц.
3
Круги Эйлера. Пересечение множеств. Объединение множеств. Дополнение подмножества. Понятие разбиения множества на классы.
Операции над высказываниями. Конъюнкция, дизъюнкция.
Решение комбинаторных задач с помощью таблиц и графиков.
4
Разбиение множества на непересекающиеся классы. Декартово умножение множеств. Понятие упорядоченной пары.
Понятие предиката. Некоторые законы логических операций.
Правило суммы. Правило произведения.

Элементы теории множеств
Понятие множества лучше пояснить рассматривая те или иные группы объектов как единое целое: числа от 1 до 10, треугольники, квадраты и т.д. Все эти различные совокупности называют множествами. Можно говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве учащихся некоторого класса. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.
Как узнать, является ли та или иная совокупность множеством или нет?
Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству, либо не принадлежит[32].
Множество можно задать:
1) перечислив все его элементы;
2) указав характеристическое свойство его элементов.
Отношения между множествами можно показать на двух множествах:
А = {1,2,3,4,5} и В = { 3,4,6,7}.
Элементы 3,4 принадлежат одновременно множеству А и множеству В. Говорят, что 3,4 - общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекаются.
Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.
Рассмотрим теперь множества А={1, 2, 3, 4, 5} и В={3, 4, 5}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В является подмножеством множества А.
Выпишем, например, все подмножества множества А={2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2,3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А: {2, 3, 4}.
Теперь обратимся к множествам А = (1, 2, 3, 4, 5} и В = {3, 1,2, 5, 4}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множества А и В равны. Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы они не содержали элементов, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур.

Например, отношение подмножества множеств А={ 1,2, 3,4,5} и В ={3,4, 5} можно представить при помощи кругов Эйлера так, как на рис. 1. В ∁ А Рис.1.

Множества А={1, 2, 3,4, 5} и В ={3,4,6, 7} пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Поэтому при помощи кругов Эйлера они изображаются так, как на рис. 2.
В∩А
В
Непересекающиеся множества изображают при помощи двух кругов, не имеющих общих точек (рис. 3.)
А


Рис.3
Далее дается понятие, что из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти множества являются результатом операции над множествами. В частности, таких, как нахождение общих элементов двух и более множеств, объединение множеств, удаление из множества его части.
Пусть даны два множества:
А={2,4,6,8} и В= {5,6,7,8,9}
Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и
В : С={6,8}. Полученное множество С называют пересечением множеств А и В. Объединение множеств вводится через сложение.
Берем 2 красных кружка и 3 синих. К красным кружкам присоединяем синие (т.к. объединяем эти два множества) и пересчитаем, что их 5, т.е. 2+3=5. Таким образом показываем, что сложение чисел опирается на операцию объединения двух множеств.
Чтобы найти значение разности 5-3 часто используют такой прием. Берут 5 предметов, например, 5 кругов, убирают 3 круга и считают, сколько кругов осталось. Осталось 2, значит, 5-3=2.
Из множества, в котором 5 элементов, удалили подмножество, содержащее 3 элемента. Тогда в оставшейся части множества 5-3 элементов.
При помощи кругов Эйлера данная ситуация представляется на рис 4, где заштрихована та часть, которая осталась после удаления из множества А подмножества В. Эту часть называют дополнением множества В до множества А.

Рис.4.
При ознакомлении с декартовым произведением множеств целесообразно приводить пример задачи: "используя цифры 1, 2, 3, образовать всевозможные двузначные числа". Путём перебора получаем:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Запись каждого полученного числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования: два различных числа 12 и 21. В этом случае, когда важен порядок следования, говорят об упорядоченных парах.
Можно образовать упорядоченные пары из элементов двух различных множеств. Например, возьмем множества А ={1, 2, 3} и В ={3, 5} и образуем всевозможные упорядоченные пары так, что первая компонента выбирается из множества А, а вторая - из множества В. Получим множество: {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3,3), (3,5)}.
В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.
Элементы декартова произведения[ двух конечных множеств удобно записывать при помощи таблицы. Например, декартово произведение множеств А ={1, 2, 3} и В ={3, 5} можно представить в следующем виде:
Таблица 2
А В
ааа3
5
1
(1,3)
(1,5)
2
(2,3)
(2,5)
3
(3,3)
(3,5)
Понятие множества и операции над множествами позволяют уточнить представление о классификации. Любая классификация связана с расчленением множества объектов на подмножества. Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие - основы приема классификации.
При разбиении множества на классы необходимо выполнение следующих условий:
1) ни одно из подмножеств не пусто;
2) подмножества попарно не пересекаются;
3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.
Предлагая детям задания на классификацию, эти условия необходимо учитывать. Сначала предлагаются задания на классификацию хорошо знакомых предметов или геометрических фигур вида: "Убери лишний предмет..."
Например, учащимся предлагают предметы: огурец, помидор, капуста, молоток, лук, свекла, редька... Они, ориентируясь на понятие "овощи", могут разбить множество предметов на два класса: овощи и не овощи[22].
Умение выполнять классификацию формируется у школьников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Например, для упражнений в счете им часто предлагаются иллюстрации, к которым можно поставить различные вопросы, начинающиеся со слова: «Сколько...?».
Рассмотрим рис. 5, к которому можно поставить следующиевопросы:
- Сколько больших кругов?
- Сколько маленьких?
- Синих?
- Красных?
- Больших красных?
- Маленьких синих?

Рис. 5.
Но с этим рисунком можно провести работу не только по формированию навыка счета, но и по овладению логическим приемом классификации.
Задания, связанные с приемом классификации, обычно формулируются в таком виде: «Разбейте (разложите) все круги на две группы по какому-то признаку».
Большинство детей успешно справляется с этим заданием, ориентируясь на такие признаки, как цвет или размер. По мере изучения различных математических понятий задания на классификацию могут включать числа, выражения, равенства, уравнения, геометрические фигуры. Например, при изучении нумерации чисел в пределах 100 можно предложить им такие задания:
Разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой были похожие между собой:
а) 33, 84, 75, 22, 13,11,44,53
(в одну группу входят числа, записанные двумя одинаковыми цифрами, в другую - различными);
6)91,81,82,95,87,94,85
(основание классификации - число десятков, в одной группе чисел оно равно 8, в другой - 9);
в) 45, 36, 25, 52, 54, 61, 16, 63, 43, 27, 72, 34 (основание классификации - сумма "цифр", которыми записаны данные числа, в одной группе она равна 9, в другой - 7);
г) 45, 61, 13, 38, 84, 54, 75, 27, 98
(основание классификации - цифра, записанная в разряде десятков, в одной группе она обозначает четное число, в другой -нечетное).
Если в задании не указывать количество групп разбиения, то возможны различные варианты.
Например: 37, 61, 57, 34, 81, 64, 27 (данные числа можно разбить на три группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде единиц, и на две группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде десятков и обозначающие четное или нечетное число).
При изучении сложения и вычитания чисел в пределах десяти школьникам можно предложить такие задания на классификацию:
Разбейте данные выражения на группы по какому-то признаку:
а).3+1, 4-1, 5+1, 6-1, 7+1, 8-1.(в этом случае основание для разбиения на группы дети легко находят, так как признак представлен явно в записи выражения).
Но можно подобрать другие случаи:
б) 3+2, 6-3, 4+5, 9-2, 4+1, 7-2, 10-1, 6+1, 6+4, 3+4
(разбивая на группы данное множество выражений ученики могут ориентироваться не только на знак арифметического действия, но и на результат).
Приступая к новым заданиям, дети обычно ориентируются на те признаки, которые имели место при выполнении предшествующих.. В этом случае полезно указывать количество групп разбиения.
Например, к выражениям: 3+2, 4+1, 6+1, 3+4, 5+2 можно предложить задание в такой формулировке: "Разбейте выражения на три группы по какому-либо признаку". Ученики, естественно, сначала ориентируются на знак арифметического действия, но тогда разбиения на три группы не получается, они начинают ориентироваться на результат - тоже получаются только две группы. В результате поиска выясняется, что разбить на три группы можно, ориентируясь на значения второго слагаемого (2, 1,4).
Задания на классификацию можно применять не только для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве учащихся с новыми понятиями
Например, для определения понятия "прямоугольник" к множеству геометрических фигур, можно предложить такую последовательность заданий и вопросов:


9
8 7 Убери лишнюю фигуру.
Чем похожи между собой все оставшиеся фигуры? (У них 4 угла и 4 стороны).
Как можно назвать все эти фигуры? (Четырехугольники).
Покажите четырехугольники с одним прямым углом (3 и 5) (для проверки своего предложения ученики используют модель прямого угла).
5. Покажите четырехугольники:
а)с двумя прямыми углами (6 и 10);
6)с тремя прямыми углами ( таких нет);
в) с четырьмя прямыми углами (2,4,7, 8,9).
6. Разбейте четырехугольники на группы по количеству прямых углов.
(1 группа- 3 и 5; 2 группа - 6 и 10; 3 группа - 2, 4,7, 8, 9).
Четырехугольники соответствующим образом раскладываются на фланелеграфе.
Третья группа - это четырехугольники, у которых все углы прямые. Они имеют свое название. Это прямоугольники.
Таким образом, можно использовать задания на классификацию различных видов:
1) Подготовительные задания. К ним относятся: "Убери ( назови) лишний предмет", "Нарисуй предметы такого же цвета (формы, размера)", "Дай название группе предметов". Сюда же можно отнести задание на развитие внимания и наблюдательности: " Какой предмет убрали?" и " Что изменилось?".
2) Задания, в которых на основание классификации указывает учитель.
3) Задания, при выполнении которых дети сами выделяют основания для классификации.
Основные понятия математической логики
Вопросы введения и использования элементов логики в обучении математике в начальной школе обсуждались в отечественной и зарубежной методической литературе.
Остановимся на точке зрения А.А. Столяра. В частности, он указывал, что минимальная логическая программа, обеспечивающая потребности глубокого усвоения школьной математики и логического развития учащихся, включает разъяснение смысла логических операций (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации), отношений следования и эквивалентности между высказываниями, связывания кванторами, простейших правил вывода и анализ рассуждений.
Минимальная "логическая программа" должна быть реализована уже в начальных классах школы. Может быть осуществлена систематизация логических знаний среди хотя бы части учащихся в рамках специального факультативного курса или же продолжена работа по расширению логических знаний в связи с изучаемым математическим материалом.
В связи с уточнениями логики в теории и практике обучения математике уместно привести высказывание академика А.Н. Колмогорова из его статьи "Современные взгляды на природу математики": "Ответственность преподавателей математики здесь особенно велика, т.к. отдельного предмета "логика" в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики".
Речь идет, конечно, лишь о разумном, дидактически целесообразном разъяснении и применении некоторых логических понятий и обозначений как важных вспомогательных средств обучения. Переоценка роли логики, как одной из основ теории обучения математики, так же вредна, как и недооценка.
Роль элементов логики в обучении математике повышается в связи с поставленной реформой школы задачей сформировать у учащихся знания и навыки использования современной вычислительной техники, т.к. диалог "Человек - ЭВМ" предъявляет к человеку высокие требования логического порядка.
Рассмотрим методику разъяснения смысла и некоторых свойств логических операций на различных этапах обучения. Речь идет, разумеется, не об изучении логики или каких-либо элементов, а разъяснении простейших логических понятий, без понимания которых немыслимо понимание самой математики. Такое разъяснение может быть осуществлено на самых ранних этапах обучения и без применения специальной логической терминологии или символики. Важно не усвоение учащимися терминов, например, "конъюнкция", "дизъюнкция", или применение знаков и , а достижение правильного понимания или смысла логических связок " и", "или", которое не обнаруживается без специальных разъяснений.
Для разъяснения тонкого смысла логических связок целесообразны определенного рода упражнения:
Предлагается указать на числовой прямой точки, координаты х которых:
а) удовлетворяет одному из следующих условий:
х<5 (1)
х>1 (2)х<5 и х>1 (3)
х<5 или *х>1 (4)
б) не удовлетворяет условию или (1), или (2), или (3), или (4).
Сначала можно потребовать указать лишь некоторые точки (скажем, с целочисленными координатами), удовлетворяющие (неудовлетворяющие) этим условиям. В дальнейшем, после изучения отрицательных чисел, в подобных упражнениях целесообразно указывать на прямой все такие точки.Каждое из условий (1) - (4) выражено с помощью предложения; условия (1) и (2) - с помощью элементарных предложений, представляющих собой неравенства (разумеется, из того, что всякое неравенство или уравнение выражается с помощью предложения) не следует, что всякое предложение, в том числе, например,
"Днепр впадает в Черное море", выражает уравнение или неравенство); условия (3) и (4) - с помощью сложных (составных) предложений, сконструированных с помощью союзов и и или.
Обычно условие (3) называют системой неравенств и обозначают
Х<0
х-5
т.е. фигурная скобка заменяет союз и между неравенствами. Когда же решают такую систему, то ищут как раз те значения *, которые удовлетворяют (обращают в верное числовое неравенство) каждое из неравенств системы, что и соответствует смыслу союза и.
Можно привести пример геометрического содержания: предложение "Точка М принадлежит прямым а и в" истинно, если истинно каждое из двух составляющих предложения, т.е. если М -общая точка двух прямых.
Обобщая рассмотренные примеры, приходят к выводу: сложное предложение, образованное с помощью союза и выражает истинное высказывание тогда и только тогда, когда оба составляющие предложения выражают истинные высказывания.
Если же, как в условии (4), неравенства связаны союзом или, то иногда их называют совокупностью неравенств и обозначают
Х<5
х1
- т.е. квадратная скобка заменяет союз или между неравенствами.
Когда же решают такую совокупность неравенств, то ищут все те значения х, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств, что и соответствует смыслу союза или (точнее, одному из двух смыслов, в которых этот союз применяется в обыденной речи, а именно неразделительному союзу или).
Предложение "М а или М в" истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений, т.е. если точка М принадлежит прямой а, или принадлежит прямой в, или принадлежит обеим прямым а и в.
Таким образом, постепенно приходят к выводу, что предложения, составленные с помощью союза или, выражает истинное высказывание, если хотя бы одно из составляющих предложений выражает истинное высказывание.
Целесообразно всегда одновременно разъяснять и сопоставлять смысл союзов и и или, что будет способствовать их правильному пониманию.
Решая задачи 1 - 5, учащиеся по существу знакомятся с кванторными предложениями и их отрицаниями, учатся делать вывод об их истинности и ложности[9]. При решении задач 6 - 16 учащиеся содержательно усваивают понятия логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквиваленции, выражаемых словами или словосочетаниями "и", "или", "не", "если..., то...", "тогда и только тогда, когда", учатся пользоваться логическими законами де Моргана, контрапозиции, двойного отрицания, противоречия и др. Одновременно дети привыкают использовать слова "любой", "некоторый" или "существует", "и", "или" и все остальные, которые встречаются им при обсуждении решений задач, строго по назначению, относиться к ним внимательно, помня, что произвольная замена одних слов другими часто приводит к ложным умозаключениям.
Задачи
Учитель выдает ученикам тетради после проверки. Может ли он выдать Оле любую тетрадь? Объясни ответ.
Учитель раздал детям новые не подписанные тетради. Может ли он выдать Оле любую тетрадь? Объясни ответ.
Учитель сказал ребятам: "В каждом классе нашей школы есть хотя бы один отличник".
1) Значит ли это, что в каждом классе только по одному отличнику?
2) Есть ли в этой школе класс, в котором нет отличников?
4. В саду распустились 15 астр и 17 георгинов. Девочка сорвала из них 16 цветов. Ответь на вопросы:
1) Был ли среди них хотя бы один георгин?
2) Была ли среди хотя бы одна астра?
5. Верно ли, что среди фигур (набор предоставляет учитель):
1) есть красный четырехугольник?
2) каждая из этих фигур красная?
3) не каждый четырехугольник синий?
4) нет белых четырехугольников.
6. Для урока рисования ученики должны были принести краски и карандаши.
1) Готов ли Петя к уроку, если он приготовил краски?
2) Женя не принес ни красок, ни карандашей. Готов ли он к уроку?
3) Лена принесла и краски, и карандаши. Готова ли Лена к уроку?
7. Таня сказала, что она пойдет в кино, если Оля и Катя пойдут в кино.
1) Оля идет в кино, а Катя нет. Пойдет ли Таня в кино?
2) Оля и Катя идут в кино. И Таня пойдет?
8. 1) Сережа решил записаться в секцию борьбы, если туда запишутся Вова и Гриша. Вова записался в эту секцию, Гриша нет. Запишется ли туда Сережа?
2) Сережа решил записаться в секцию настольного тенниса, если туда запишется Вова или Гриша. Вова записываться не стал, а вот Гриша записался. Запишется ли туда Сережа?
9. Дедушка считает погоду хорошей, если светит солнце и температура воздуха на улице выше 15 градусов. Какую погоду, по мнению дедушки, нельзя назвать хорошей?
10. 1) Известно, что данное число делится на 3. Значит ли это, что данное число не делится на 2?
2) Известно, что данное число делится на 3 и на 1. Может ли оно делится на 2?
3) Известно, что данное число делится только на 3 и на 1. Делится ли оно на 2?
11. Назови число, которое:
1) делилось бы на 3 и на 5;
2) делилось бы на 3 или на 5.
12. Когда Алла, Катя и Люда спросили, какие отметки они получили за контрольную работу по математике, учитель ответил: "Попробуйте догадаться сами, если я вам скажу, что в классе двоек нет и у вас троих разные отметки, причем у Аллы не 3, у Люды не 3 и не 5". Напиши, какую отметку получила каждая из учениц.
13. Верно или не верно:
1)101и103-нечетные числа;
2)9x8+7=7+8x9;
3)12хЗ-5<11х4-15;
4) 34 делится на 4;
5)6х7+9хЗ>2х9+7х6;
6) 12x4:6=12:4x6.
14. Встретились 3 товарища: Белов, Рыжов и Чернов. Черноволосый сказал, что ни у одного из них цвет волос не соответствует фамилии. "Правильно", - сказал Белов. Какого цвета волосы у каждого из них, если у всех волосы разного цвета?
15. В трех ящичках находится крупа, вермишель и сахар. На одном из них написано "Крупа", на другом "Вермишель", на третьем - "Сахар или крупа". В каком ящике что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?
16. В четырех ящиках лежит по одному шарику: белый, черный, красный, зеленый. На первом ящике надпись "Белый", на втором - "Зеленый или белый", на третьем -"Красный или зеленый", на четвертом - "Черный, или зеленый, или красный". Но ни одна надпись не соответствует действительности. Какого цвета шарик лежит в каждом ящике?
Приведем решения некоторых задач.
Решение задачи 9. Обозначим высказывание "Светит солнце" буквой "С", а высказывание "Температура воздуха на улице выше 15 градусов" - 't>15°". По мнению дедушки, погода хорошая, если одновременно выполняются два условия: С и t>15 . В противном случае погоду нельзя назвать хорошей, т.е. следует сформулировать отрицание полученного сложного высказывания; получим "неверно, что С и t>15", иначе: не С или t <15°, а это значит -либо не С, но не t<15°, либо t< 15°, но неверно, что не С, т.е. С, либо и не С и t<15°. Таким образом, по мнению дедушки, погоду нельзя назвать хорошей, если не светит солнце, или температура воздуха 15 градусов, или температура воздуха ниже 15 градусов, или одновременно: не светит солнце, и температура воздуха 15 градусов или ниже.
Решение задачи №12. У А.: не 3 и не 2; у Л.: не 3, и не 5, и не 2, значит, у Л. - 4, тогда у А.: не 3,и не 2, и не 4, т.е. у А. - 5; следовательно, у К. - не 4, и не 2, и не 5, т.е. у К. - 3.Итак, Катя получила за контрольную работу по математике отметку "3", Люда - "4", Алла - "5".
Решение задачи 15. В третьем ящике: неверно, что крупа или сахар; это означает: не крупа и не сахар, т.е. вермишель. В первом - не крупа и не вермишель, т.е. сахар. Во втором - крупа.
Комбинаторные задачи
Альтернативная часть, предложенной нами, программы направлена на развитие интеллектуальных способностей учащихся. Она включает в себя задания, развивающие логические операции, внимание, память, восприятие, воображение.
Рассмотрим четыре типа комбинаторных задач.
I тип. Задачи на активный перебор вариантов.
Учащиеся начальных классов вполне могут решать комбинаторные задачи без использования формул, с помощью приемов систематического перебора. Например:
Запиши все возможные трехзначные числа, используя цифры
1, 2, 3.
Запиши различные разности, которые можно составить из чисел 50, 27, 45, 13, если для составления разностей брать по два числа. Вычисли значение разностей.
В каждом случае решается своя учебная задача: в первом -усвоение позитивного принципа записи чисел, во втором - формирование вычислительных навыков. Мы считаем нецелесообразным обучение приемам систематического перебора на заданиях особого вида. Их основная цель должна состоять в том, чтобы помочь учащимся открыть приемы, с помощью которых можно было бы не пропускать и не повторять несколько раз одни и те же варианты, как это часто происходит при случайном переборе.
Комбинаторные задачи должны давать возможность выполнять практические действия, которые потом будут перенесены в план умственных действий, например: сколькими способами можно положить в ряд ручку, карандаш и резинку?
Для обеспечения мотивации таких задач целесообразно предлагать их в виде игр.
Игра «День - ночь»
Учитель вызывает трех учеников (например, Наташу, Сережу, Борю). Они садятся у доски на стулья. По команде "День!" ребята встают и могут передвигаться. По команде "Ночь!" они садятся на стулья, но так, чтобы каждый раз порядок расположения их был другой. Все остальные дети записывают в тетради расположение вызванных учеников по первым буквам имен и следят за тем, чтобы играющие выполняли поставленное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не обнаружатся все возможные варианты. Их шесть:
Н. С. Б.
С. Н. Б.
Б. Н. С.
Н. Б. С.
С. Б. Н.
Б. С. Н.
В процессе игры возникают ситуации, когда играющие повторяют расположение или не могут найти новое. Тогда им помогают ребята класса. Возникают вопросы: «Можно ли играть без ошибок?» «Как нужно действовать для этого?» Ученики осознают необходимость введения правила, которого надо придерживаться в игре. Анализируя полученные расположения, они замечают, что нужно каждому садиться на первое место дважды, а двум остальным при этом меняться местами.
Игра «Башенки»
Учитель кладет в коробку три кубика: красного, синего и желтого цвета. И говорит, что будет брать не глядя по одному кубику и составлять башенку следующим образом: первый кубик -нижний этаж, второй кубик - средний, третий - верхний. Детям предлагается задумать вариант башенки, которая может получиться, и нарисовать его, изображая кубики квадратами соответствующего цвета. Затем проводится опыт: кубики вынимаются из коробки. Тот, кто угадал результат опыта, становится победителем. Игру можно повторить несколько раз. В результате ученики приходят к выводу, что если рисуешь одну башенку, то можешь получить в опыте как задуманный, так и другой порядок цветов. Возникает задача: "Сколько же башенок надо нарисовать, чтобы быть уверенным, что, сколько бы опытов ни проводили, среди рисунков всегда окажется правильный, и ты всегда будешь выигрывать?"
Таким образом, правила игры несколько изменяются. Можно задумать не один вариант расположения кубиков. Дети стараются нарисовать все башенки, которые можно составить. Должно получиться шесть рисунков:
к к с с ж ж
с ж к ж к с
ж с ж к с к
Рис. 6.
Проводятся опыты. И тот, кто составил все варианты, выигрывает.
В процессе решения данной задачи учащиеся осуществляют перенос наглядного приема в мысленную сферу. Чтобы составить все варианты башенок, они должны повторить в уме те же действия, которые раньше выполняли практически с предметами.
В описанных играх можно изменять различным образом данные и получить новые задачи, например:
Для составления башенок взять 4 кубика: 1 красный и 3 желтых.
В этом случае возможны четыре варианта:
к ж ж ж
ж к ж ж
ж ж к ж
ж ж ж к
Рис. 7.
2. В коробку положить 1 красный и 2 желтых кубика, а башенки составлять только из 2 кубиков. Возможны три варианта:
к ж ж
ж к ж
Рис. 8.
Итак, одно из направлений - это задачи-игры. Другое - задачи, показывающие некоторые доступные детям аспекты применения комбинаторики в повседневной деятельности человека, например:
1. Малярам нужно покрасить 6 дачных домиков для малышей детского сада ( красят крышу, стены и дверь). У них есть синяя, голубая и белая краски. Могут ли маляры покрасить все дома по-разному, чтобы малыши по цвету узнавали свой дом?
Учащимся предлагается нарисовать 6 домиков, взять цветные карандаши и показать, как нужно выполнить работу малярам.
2. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Покажи, какие дорожки будут сделаны.
3. Художественный бланк телеграммы стоит 15к., за доставку надо заплатить 25к. Если телеграмма не срочная, то за каждое слово платят 6к., если срочная, то за слово платят 25к. Какую телеграмму можно отправить, если есть 5р ЗО к и текст состоит из 20 слов? А если есть только 1р 50 к?
Для решения данной задачи необходимо иметь и комбинаторные, и вычислительные умения. Сначала определяют, какие виды телеграмм возможны: срочная на художественном бланке, срочная на обыкновенном бланке, не срочная на художественном бланке, не срочная на обыкновенном бланке. Затем подсчитывают стоимость телеграммы в каждом случае и сравнивают с количеством имеющихся денег.
II тип. Задачи, решаемые с использованием таблиц
Непосредственный перебор всех возможных вариантов при решении комбинаторных задач в некоторых случаях может быть затруднен. Облегчить процесс нахождения этих вариантов можно, научив детей пользоваться такими средствами организации перебора, как таблицы и графы. Они позволяют расчленить ход рассуждений, четко провести перебор, не упустив какие-либо из имеющихся возможностей.
Сначала, как с наиболее простым средством организации перебора, учащиеся знакомятся с таблицами. Рассматривая таблицу (рис.9), ученики "открывают" принцип ее составления. Затем им предлагается заполнить другую таблицу. Проговариваются разные способы заполнения: по строчкам, по столбцам.
Рис. 9.
В дальнейшем в целях освоения принципа составления таблиц используются и такие задания:
Ед.
Д. 4 5 7
4 5 7 1.Запиши в нужные клетки таблицы (рис.5) следующие числа: 57, 75, 44, 74, 55, 77, 47. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?
Рис.10.
2. Проверь, правильно ли заполнена таблица (рис. 11)?
Ед.
Д. 11 23
9 991 339
4 441 334
7 771 377
Рис.11.
Когда дети научатся составлять таблицы, можно переходить к решению комбинаторных задач с использованием трафаретов. Наблюдения показывают, что дети неоправданно много времени тратят на вычерчивание самой таблицы: затрудняются определить нужные размеры, разметить все столбики и строчки. Для того чтобы помочь детям разместить таблицу, мы разработали специальные трафареты (рис. 12). Опишем, как действуют учащиеся, решая с помощью таблицы задачу: "В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковыми именем и отчеством?"Ученик накладывает на тетрадный лист трафарет. Вписывает через "окошечки" на трафарете в верхнюю строчку и в первый столбик данные задачи. Через прорези намечает места записи составляемых объектов. Убирает трафарет. Цветными линиями отчерчивает данные задачи.
Затем ученик заполняет таблицу, подсчитывает числа всех возможных отличающихся имен-отчеств, сравнивает с числом мужчин в деревне и отвечает на вопрос задачи
И ПВ М
И И-ИИ-П И-ВИ-МПП-ИП-П П-В П-МВ В-ИВ-П В-ВВ-М
М М-ИМ-ПМ-ВМ-МРис.12
При заполнении таблиц нужно каждый раз определять, следует ли записывать составляемое соединение: не повторяет ли оно уже имеющиеся, удовлетворяет ли поставленным условиям. Клетки, которые при этом не заполняются, можно заштриховать. На рис изображено, как будет выглядеть тогда таблица, составляемая при решении задачи: "Поезд, который идет из города Ах в город Ух, делает по пути три остановки в городах Ох, Их, Эх. Сколько различных по стоимости железнодорожных билетов потребуется, если пассажиры могут переезжать из любого города в любой другой?
А О И э У
А АО АИ АЭ АУ
О оиОЭ ОУ
И иэИУ
э ЭУ
У III тип. Задачи, решаемые с помощью графов
Второе средство организации перебора при решении комбинаторных задач, с которым знакомятся младшие школьники -графы. Работа строится так, чтобы ученики в процессе решения задач сами приходили к изображению того или иного вида графа.
Например, требуется решить задачу:
"Однажды встретились пятеро друзей. Каждый, здороваясь, пожал каждому руку. Сколько всего рукопожатий было сделано?"
Сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека. Рассматривая разные предложения, приходят к тому, что быстрее и удобнее изображать людей точками. Учитель советует расположить точки примерно по кругу, нарисовать их цветным карандашом, чтобы записи были понятными и наглядными. Затем ученики придумывают, как показать, что два человека пожали друг другу руки. От двух точек навстречу друг другу проводятся черточки - "руки", которые, встречаясь, образуют одну линию. Так дети приходят к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются все рукопожатия одного человека (точка соединяется линиями со всеми остальными). Потом переходят к другому человеку. Проведенные линии помогают увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет. Составляются недостающие рукопожатия. (Эти линии лучше проводить другим цветом, так как потом легче будет подсчитывать общее число рукопожатий.) И так действуют до тех пор, пока все не поздороваются друг с другом. По получившемуся графу подсчитывается число рукопожатий (их всего 10).

Рис. 13.
Следующая задача - "Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?" - приводит учащихся к изображению ориентированного графа. Идея проведения стрелок возникает, когда учащиеся задумываются, как обозначить, например, число 12: надо показать, что оно начинается с цифры 1, а оканчивается цифрой 2. Петля появляется при обозначении, например, числа 11: стрелка должна начинаться и заканчиваться на одной и той же цифре. Открыв для себя на первых задачах эти условные обозначения (точки, линии, стрелки, петли), учащиеся в дальнейшем применяют их при решении различных задач, составляя графы того или иного вида. Например:

Рис. 14
Следующие задачи дают учащимся возможность получить навыки составления графов.
В финал турнира по шашкам вышли два российских игрока, два немецких и два американских. Сколько партий будет в финале, если каждый играет с каждым по одному разу и представители одной страны между собой не играют?
В вазе лежали конфеты четырех сортов. Каждый ребенок взял по две конфеты. И у всех оказались отличающиеся наборыконфет. Сколько могло быть детей?
Сколько разностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9,если для их составления брать по два числа? Будут ли среди нихразности, значения которых равны?
Можно предлагать учащимся и обратные задания: составить задачу по имеющемуся графу. Например: "Рассмотри внимательно граф и пофантазируй, о какой ситуации он может тебе рассказать".
Ученики, рассуждая, что точки могут обозначить людей, предметы, а линии говорят о том, что из них образуются пары, составляют разные варианты задач, например:
Четыре подружки вечером по телефону созваниваютсядруг с другом. Сколько звонков было сделано, если каждая подружка поговорила с каждой по одному разу?
В магазине продаются елочные шары четырех видов.Сколько отличающихся наборов, состоящих из двух разных шаров, можно составить?
Между четырьмя странами устанавливается авиационноесообщение. Сколько потребуется составить воздушных линий, чтобы жители каждой страны могли на самолете прямо долететь в любую другую страну?
IV тип. Задачи, решаемые с применением граф-дерева[6].
Младших школьников можно также познакомить с применением граф-дерева для решения комбинаторных задач. Сначала нужно научить детей понимать "язык" этих графов. С этой целью предлагается следующие задания:
Нарисуй башенки, которые "зашифрованы"(рис. 18), для этого пройди по всем возможным путям от верхней точки до нижних.
К верхний кубик
С Ж Зсредний кубик
Ж ЗС ЗЖ С нижний кубик
Рис. 15.
Какое число зашифровано в выделенном пути (рис.19)? Покажи путь, в котором зашифровано число 5571.
5 тысячи
5 7 сотни
1 7 1 7 десятки
7 1 7 1 единицы
Рис.16.
Затем учащиеся учатся использовать графы при решении комбинаторных задач. Например, задача: "Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр. Сколько среди них чисел, меньших 900?" Ученики рассуждают так: "Если числа меньше 900, то первой цифрой в числе может быть 7 или 5, ставим две точки (рис. 20). Сначала составим все числа с первой цифрой 7. При этом второй цифрой может быть либо 9, либо 5, либо 0 (проводим линии, ставим три точки). Если первая цифра 7, вторая 9, то третьей могут быть только цифры 5 или 0 (проводим линии, ставим две точки). Если первая цифра 7, вторая 5, то третьей могут быть 9 или 0... и т.д." Таким образом, граф помогает проводить перебор в определенной системе и не упускать какие-либо возможности.
9 5 0 5 0 9 0 5 9
Рис.17.
5 9 7 0 7 0 9 0 9 7
Рис.18.
При решении некоторых задач с помощью граф-дерева бывает трудно проверить уже имеющиеся. Опишем, какой прием можно использовать, чтобы облегчить эту проверку. Например, решается задача: "У мамы есть яблоки, груши, крыжовник и смородина. Сколько различных компотов может приготовить на зиму мама, если будет для одного компота брать по три разных компонента?" Когда ученики составили первую часть графа, учитель посоветовал записать под ней получившиеся компоты.
Эти записи помогут при образовании новых вариантов. Затем ученики продолжают рассуждения: "Если взяли яблоки и крыжовник, то третьим компонентом берем смородину. Груши не берем, так как такой компонент (яблоки, крыжовник, груши) уже записан". И так действуют, пока не найдут все варианты.
Приведем примеры некоторых задач, которые можно решать с помощью таблиц или графов.
В магазине продаются разные альбомы для рисования по25, 22 и 30 дубликов (условная единица стоимости), а также различные наборы красок по 65, 70, 62, 50 дубликов. Два мальчикакупили по альбому с красками и заплатили одинаковое количество денег. В каком случае это могло произойти? Может ли оказаться, что они купили различные альбомы и краски?
Запиши все возможные частные, если делимым могут бытьчисла 12, 9, 8,16,15, а делителем 1, 2, 3, 4.
Сколько всего частных можно составить из чисел 263, 4, 6,12?
Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв ш или ц, второй буквой могутбыть о, и, е, а оканчиваться слова могут буквами р, к, х.
Шерлоку Холмсу нужно открыть сейф, для этого он должен отгадать код. Он знает, что код - это трехзначное число, составленное из цифр 1, 6, 2, 6, 3, 6, 4 и больше числа 400. Какиечисла должен проверить Шерлок Холмс, чтобы найти код?
У девочки есть бумага зеленого и желтого цвета. Из нееона вырезает круги, квадраты и треугольники, делая их большимии маленькими. Сколько разных вариантов у нее получится?
На фабрике есть стержни для ручек четырех цветов: красного, синего, зеленого и черного. Сколько различных трехцветныхручек можно при этом собрать?
Альтернативная часть программы направлена на развитие интеллектуальных способностей учащихся и может быть составлена по усмотрению самого учителя. Она включает в себя задания, развивающие логические операции, внимание, память, восприятие, воображение.
Использование разнообразных задач с элементами теории вероятностей в курсе математики школы позволяет:
развивать:
— логическое мышление;
— способности к решению нестандартных задач;
—математическое мышление
-интерес к математике как науке;
уточнять:
математические понятия;
знакомиться:
с новыми понятиями, создавая хорошую базу знаний для обучения в старшем звене школы;
расширять:
— круг упражнений в курсе математики начальной школы;
— круг интересов младших школьников.
Давая ученикам инструмент — умение логически мыслить, проводить эксперименты, делать выводы, — позволяющие более уверенно чувствовать себя в проблемных ситуациях, в том числе и житейских, — не это ли и есть гуманизация образования?!