Презентация по геометрии по теме Действия над векторами

Тема занятия: Действия над векторами Лекция по дисциплине «Математика» для студентов 1 курсаПреподаватель: Федорова Э.Р. Понятие вектора Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. Понятие вектора На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкойВектор АВ, А – начало вектора, В – конец.CDEFLK А В АВ C D E F K L Понятие вектора Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней:Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: ММ = 0. a b c М Понятие вектора Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 5 с = 17Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. a М В А с Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. а b c d m n s L Равенство векторов Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b , еслиа bа = b а c b d m n s f Откладывание вектора от данной точки Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А.Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой А а М а Сумма двух векторов Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b a b A a b B C Сложение векторов O Правило треугольника Законы сложения векторов 1) а+b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. АС = АВ + BС = а+b АС = АD + DС = b+a2) (а+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон) a a b b A D C B a b Сложение векторов O Правило параллелограмма Сумма нескольких векторов Правило многоугольникаs=a+b+c+d+e+f k+n+m+r+p=0 a b c d e f s k m n r p O Противоположные векторы Пусть а – произвольный ненулевой вектор.Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены.a = АВ, b = BAВектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0 А B a b c -c Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. а а b -b -b a - b Вычитание векторов O Умножение вектора на число Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k≥0 ипротивоположно направлены при k<0.Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны. а -2a 3а Законы умножения вектора на число Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства:(kn) а = k (na) (сочетательный закон) (k+n) а = kа + na (первый распределительный закон) K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) == 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c Решить № 401, 402, 403 Задания для закрепления Хорошего Вам дня!!!!! Спасибо за занятие