Справочник.Теоретический материал по геометрии для сдачи ГИА

Справочник. Теоретический материал по геометрии для ГИА.
1 уровень:
1.Определение вертикальных углов.( Стр. 22)
Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
2.Теорема о вертикальных углах .(Стр. 22)
Вертикальные углы равны.
3.Определение смежных углов .(Стр. 22)
Два угла, у которых одна сторона общая , а две другие являются продолжениями одна другой ,называются смежными.
4.Теорема о смежных углах.(Стр.22)
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
5.Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.(Стр.33,34)
Определение .1.Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника. 2.Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны , называется биссектрисой треугольника. 3.Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
6.Равнобедренный треугольник.(Стр.35,36)
Определение. Треугольник, называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона- основанием равнобедренного треугольника.
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса ,проведённая к основанию, является медианой и высотой.
7.Признаки равенства треугольников.(Стр.30,38,39.)
1 признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2признак:Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны.
3признак:Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
8.Признаки параллельности прямых.(Стр.55-57)
1.Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2.Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3.Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.
9.Признаки равенства прямоугольных треугольников.(Стр.77-78)
1 признак. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
2 признак. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
3 признак. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
4 признак .Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
10.Теорема о сумме углов треугольника.(Стр.70)
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
11.Теорема Пифагора.(Стр.129-130)
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
12.Определение параллелограмма и его свойства.(Стр.101)
Определение.
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства.
А)В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Б)Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
В)Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма
d12+d22=2(a2+b2)13.Определение ромба и его свойства.(Стр.109)
Определение.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства.
1.Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
2.Т.к. ромб является параллелограммом , то он обладает всеми свойствами параллелограмма
14.Определение прямоугольника и его свойства.(Стр.108-109)
Определение.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства
Диагонали прямоугольника равны.
Т.К.прямоугольник является параллелограммом , то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
15.Определение квадрата и его свойства.(Стр.110)
Определение.
Квадратом называется прямоугольник ,у которого все стороны равны.
Свойства
1.Все углы квадрата прямые.
2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
16.Определение трапеции и её свойства.(Стр.103)
Определение.
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Свойства
Трапеция называется равнобедренной ,если её боковые стороны равны .В равнобедренной трапеции диагонали равны.
Трапеция называется прямоугольной, если один из углов- прямой.
17. Признаки подобия треугольников.(Стр.142-143)
1признак.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого ,то такие треугольники подобны.
2признак.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3признак .Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника ,то такие треугольники подобны.
18.Определение и теорема о центральном угле.(Стр.170)
Определение. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
Теорема .Центральный угол равен дуге на которую он опирается.
19.Определение и теорема о вписанном угле. Следствия.(Стр.171)
Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Теорема .Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность- прямой.
20.Теорема синусов.(Стр.256)
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. csinγ=asinα=bsinβ=2R
21.Теорема косинусов.(Стр.257)
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.a2=b2+c2-2bccosαb2=a2+c2-2accosβc2=a2+b2-2abcosγ22.Все формулы площадей плоских фигур.(См.шпаргалку с формулами)
2уровень
1.Теорема об отрезках хорд.(Стр.173)
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2.Теорема об отрезках секущих.(Стр.175.Задача№672)
Если через точку ,лежащую вне окружности, проведены две секущие, то произведение первой секущей на её внешнюю часть равно произведению второй секущей на её внешнюю часть.
3.Теорема о касательной и секущей.(Стр.175.Задача№ 670)
Если через точку, лежащую вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
4.Теорема о биссектрисе треугольника, делящей противоположную сторону на пропорциональные отрезки.(Стр.140.Задача№535)
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
5.Определение и теорема о вписанном четырёхугольнике.(Стр.183,185)
Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник- вписанным в эту окружность.
Теорема. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов.
Обратная теорема. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность.
6.Определение и теорема об описанном четырёхугольнике(Стр.181,183)
Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности ,то окружность называется вписанной в многоугольник, многоугольник- описанным около этой окружности.
Теорема. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Обратная теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
7.Неравенство треугольника(Стр.74).
Любая сторона треугольника больше разности двух других сторон треугольника ,но меньше суммы двух других сторон треугольника.
8.Отношение площадей подобных фигур.(Стр.139)
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
9.Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.(Стр.148)
1.Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.(По другому -квадрат высоты , проведённой из вершины прямого угла равен произведению отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. )
2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.(По другому- квадрат катета равен произведению гипотенузы и отрезка гипотенузы, прилежащего к данному катету)
B
acc
abcC
A
Cb
1.h2=acbc 2.a2=cac 3.b2=cbc10.Теорема о точке пересечения медиан треугольника(Стр.146)
Медианы треугольника пересекаются в одной точке ,которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
11.Определение и теорема о средней линии треугольника(Стр.146)
Определение .Средней линией треугольника называется отрезок ,соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
12.Определение и теорема о средней линии трапеции.(Стр.210.)
Определение .Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Теорема Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
13.Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника(Стр.156,157)
1.Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. .Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3.Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
4.Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
14.Определение правильного многоугольника(Стр.275)
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.
15.Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.(Стр278)
Пусть S-площадь правильного многоугольника, аn- его сторона ,Р- периметр,R-радиус описанной окружности,r-радиус вписанной окружности.
сторона радиус площадь
тр. а3=R3a3=2r3R3=а333,r3=а336,R3=2r3S=а234кв а4=R2a4=2r R4=а422 , r4=а42,R4=2r4 S=12Pr
шест а6=R
a6=2r33 R6=а6 ,r6=а632,R6=2а63S=12Pr
16.Формула расстояния между двумя точками.(Стр.237)
d=(х2-х1)2+(у2-у1)217.Формула координат середины отрезка.(Стр23)
х0=х2+х12 ,у0=у2+у12
18 .Значения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов для углов 30,45,60 градусов.(Стр.159)
α 30 45 60
sinα122232cosα322212tgα331 3ctgα31 33
19.Формулы для радиусов описанной и вписанной окружностей.
R=abc4S, r=2Sa+b+c