Презентация по математике на тему Дифференциальные уравнения (11 класс)
Дифференциальные уравнения. ПриложенияПолезно решатьдифференциальные уравнения. И. Ньютон 𝒇´(x) =𝒌∙𝒇(x) Тихомирова Г.Ю. «МБОУ СОШ № 23 г. Владивостока»
СодержаниеМатематический диктантВопросыИсторическая справкаПриложения ДУСамостоятельная работаВыводДомашнее заданиеРефлексияМатематики шутят Литература𝒅𝒚𝒅𝒙
Математический диктант Какие из приведённых уравнений являются дифференциальными?1) 𝟐𝒙 +𝟐𝒚=𝟎; 2) 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒅𝒚=𝟎; 3) 𝒅𝟐𝒚𝒅𝒚𝟐 +𝟐𝒚=𝟎; 4) 𝒚´ +𝟐𝒙𝒚=𝟎; 5) 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟑=𝒚; 6) 𝒚´´ + 𝟐𝒙𝟑=𝟏.
6) 𝒚´´ =−𝟒𝒚. 2. Найдите уравнения с разделяющимися переменными. 1) 𝒚´𝒙 + 𝒙𝟐−𝟏=𝟎; 2) 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒅𝒚=𝟎; 3) 𝒚´ + 𝟐𝒚𝒙+𝟏=(𝒙+𝟏)𝟑; 4) 𝒚´ + 𝟐𝒙𝒚=𝟎; 5) 𝒚𝟐 𝒅𝒚 + 𝒙𝟐𝒅𝒙=𝒚; Математический диктант 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =𝝋(𝒚)𝒅𝒚
6) 𝒚´´ =−𝟒𝒚. 3. Укажите однородные ДУ. 1) 𝒚𝒙𝒅𝒙 + (𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝒅𝒚=𝟎; 5) 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒅𝒚=𝟎; 2) 𝒚´ + 𝟐𝒚𝒙+𝟏=(𝒙+𝟏)𝟑; 4) 𝒚´ + 𝟐𝒙𝒚=𝟎; 3) (𝒚𝟐−𝒙𝒚) 𝒅𝒚 + 𝒙𝟐𝒅𝒙=𝟎; Математический диктант 𝑷𝒅𝒙+𝑸𝒅𝒚= 0
Математический диктант 6) 𝒚´´ =−𝟒𝒚. 4. Укажите линейные ДУ I порядка. 1) 𝒚𝒙𝒅𝒙 + (𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝒅𝒚=𝟎; 5) 𝒅𝒙 +𝒚𝒙𝒅𝒚=𝟎; 2) 𝒚´ + 𝟐𝒚𝒙+𝟏=(𝒙+𝟏)𝟑; 4) 𝒚´ + 𝟐𝒙𝒚=𝒙𝟓; 3) (𝒚𝟐−𝒙𝒚) 𝒅𝒚 + 𝒙𝟐𝒅𝒙=𝟎; 𝒚´+𝒑𝒚=𝒒
Математический диктант 5. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2;3), угловой коэффициент касательной к которой в каждой точке равен удвоенной абсциссе этой точки. 1) 𝒚=𝒙𝟐+𝟐; 2) 𝒚=𝟐𝒙𝟐−𝟓; 3) 𝒚=𝒙𝟐−𝟏; 4) 𝒚=𝟐𝒙−𝟏.
Проверка𝒅𝒚𝒅𝒙 =𝟐𝒙, 𝒌 =𝒇´(𝒙𝟎), 𝒅𝒚=𝟐𝒙ⅆ𝒙, 𝒚=𝒙𝟐+𝑪; 𝒚(𝟐)=𝟑; 𝟑=𝟒+𝑪; 𝑪=−𝟏; 𝒚=𝒙𝟐−𝟏.
Математический диктант 5. Найдите закон движения тела s(t), если его скорость 𝒗=𝟑𝒕𝟐. 1) 𝒔=𝒕𝟑𝟑+𝑪; 2) 𝒔=𝒕𝟑+𝑪; 3) 𝒔=𝟑𝒕𝟐+𝑪; 4) 𝒔=𝟔𝒕+𝑪. 𝑣 =𝑠´(𝑡)=𝑑𝑠𝑑𝑡, 𝑑𝑠𝑑𝑡= 3𝑡2, 𝑑𝑠=3𝑡2ⅆ𝑡.
Математический диктант 6. Какая функция является решением уравнения 𝒇𝐼(x) =𝒌∙𝒇(x)? 1) 𝒇(𝒙)=𝒆𝑪𝒌𝒙; 2) 𝒇(𝒙)=𝒆𝒌𝒙+𝑪; 3) 𝒇(𝒙)=𝑪𝒆𝒌𝒙; 4) 𝒇(𝒙)=𝑪𝒆𝒌𝒙+𝑪. 𝒇𝐼(x) =𝒌𝑪𝒆𝒌𝒙, 𝒌∙𝒇(x) =𝒌𝑪𝒆𝒌𝒙
Какое уравнение называется дифференциальным?Как определить порядок ДУ?Какого порядка ДУ мы изучили?Где применяется замена y=zx?Что является решением ДУ?Где применяется замена y=uz?Может ли ЛДУ быть одновременно ЛДУ сразделяющимися переменными. Как решать такоеуравнение? Ответьте на вопросы
Основное открытие Ньютона«Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa».«6 aeccdae 13eff 7i 3l 9n 4o 4qrr 4s 9t 12vx».Анаграмма Ньютона(Дано уравнение, заключающее в себе текущие количества (флюенты), найти течения (флюксии) и наоборот).
Ньютон (1642-1727) Портрет работы Вандербанка «Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».Смысл анаграммыв современных терминах:Дифференциальное и интегральное исчисление Ньютон открыл в 1665—1666 годы, однако не публиковал егодо 1704 года. Гений Ньютона открыл миру математические законы природы, подарил универсальный язык описания непрестанно меняющегося мира.
Термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.Готфрид Вильгельм Лейбниц(1646 —1716)Лейбниц, независимо от Ньютона , создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисление, основанные на бесконечно малых (с 1675 года).Лейбниц создал комбинаторику как науку; он заложил основы математической логики.Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ПриложенияЗадачаДУРешениеФизикаРадиоактивный распад𝑑𝑚𝑑𝑡=−𝑘𝑚𝑚=𝑚𝑜∙𝑒−𝑘𝑡Охлаждение тел𝑑𝑇𝑑𝑡=−𝑘(𝑇−𝑡воз)𝑇−𝑡воз=С∙𝑒−𝑘𝑡Кинематика𝑑𝑣𝑑𝑡=−𝑘𝑚∙𝑣𝑣=𝑣𝑜∙𝑒−𝑘𝑡𝑚Электростатика𝑑𝑄𝑑𝑡=−𝑘∙𝑄Q=𝑄𝑜∙𝑒−𝑘𝑡Колебания и волны𝑑2𝑥𝑑𝑥2=−λ𝑚∙𝑥𝑥=𝑥0∙cos𝜔𝑡{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ПриложенияЗадачаДУРешениеФизикаРадиоактивный распадОхлаждение телКинематикаЭлектростатикаКолебания и волныПриложения ДУ в естествознании
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ПриложенияЗадачаДУРешениеХимияПереход вещества в раствор𝑑𝑥𝑑𝑡=𝑘∙(𝑃−𝑥)P−𝑥=𝐶∙𝑒−𝑘𝑡𝑥=𝑃∙(1−𝑒−𝑘(𝑡−𝑡0))Закон действующих масс𝑑𝑄𝑑𝑡=−𝑘∙𝑄,𝑄=𝑎−𝑥𝑄=𝑎∙𝑒−𝑘𝑡,БиологияЧисленность изолированной колонии𝑑𝑥𝑑𝑡=𝛾∙𝑥x=𝑥𝑜∙𝑒𝛾(𝑡−𝑡0)Численность популяции𝑑𝑥𝑑𝑡=𝛾∙𝑥−𝛿𝑥2𝑥𝜇−𝑥=𝐶∙𝑒𝛾𝑡, 𝜇=𝛾 𝛿,𝑥=𝑥0∙𝜇𝑥0+(𝜇−𝑥0)∙𝑒−𝛾𝑡{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ПриложенияЗадачаДУРешениеХимияПереход вещества в растворЗакон действующих массБиологияЧисленность изолированной колонииЧисленность популяцииПриложения ДУ в естествознании
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ПриложенияЗадачаДУРешениеЭкономикаДинамика роста населения𝑑𝐴𝑑𝑡=−𝑘∙𝐴𝐴=𝐴0∙𝑒𝑘𝑡Регулируемый рост населения𝑑𝐴𝑑𝑡=𝑘𝐴∙(𝑀−𝐴)𝐴=𝑀𝐴0𝐴0+(𝑀−𝐴0)∙𝑒−𝑘𝑀𝑡Эффективность рекламы𝑑𝑥𝑑𝑡=𝑘𝑥𝑁−𝑥,𝑥0=𝑁𝛾x=𝑁1+(𝛾−1)∙𝑒−𝑘𝑁𝑡{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ПриложенияЗадачаДУРешениеЭкономикаДинамика роста населенияРегулируемый рост населенияЭффективность рекламыПриложения ДУ в экономике
Это интересноНочью 23 сентября 1846 Иоганн Галле и Гейнрих д’Арре, проводя наблюдения на обсерватории в Берлине, обнаружили планету всего в одном градусе от положения, рассчитанного в 1846 году французским астрономом Урбеном Леверье на основании данных о небольших возмущениях в движении Урана. Немного менее точное предсказание английского астронома Джона Адамса, сделанное на год раньше, встретило в Англии необоснованный скептицизм, и было опубликовано только после открытия планеты. Интересно, что рассчитанная Леверье и Адамсом орбита Нептуна очень быстро отклонялась от действительной орбиты планеты, и если бы поиски затянулись на несколько лет, то по этим вычислениям найти планету уже было бы нельзя.Астрономы одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать на небе. Точно в указанном месте эта планета (её назвали Нептун) была затем обнаружена. Планета Нептун открыта «на кончике пера» (путем вычислений)
style.rotation
Экспертиза знанийКриминалисты обнаружили труп человека.Температура тела в момент обнаружения19°С.Через 1 час температура тела снизилась на 6°С.Сколько времени прошло с моментапреступления, если температура воздуха равна10°С, а температура тела в момент убийствабыла 37°С?
РешениеСкорость охлаждения тела в воздухе прямо пропорциональна Разности между температурой тела и температурой воздуха.𝑑𝑇𝑑𝑡=−𝑘∙𝑇−10, 𝑙𝑛𝑇−10= −𝑘𝑡+𝑙𝑛𝐶, 𝑑𝑇𝑇−10=−𝑘𝑑𝑡, 𝑙𝑛𝑇−10= 𝑙𝑛𝑒−𝑘𝑡+𝑙𝑛𝐶, 𝑙𝑛𝑇−10= 𝑙𝑛𝐶𝑒−𝑘𝑡, 𝑇≥10, 𝑇−10=𝐶𝑒−𝑘𝑡. 𝑡=0, 𝑇=37 => 𝐶=27. 𝑇−10=27𝑒−𝑘𝑡. 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝑡=𝑡0, 𝑇=19 =>19−10=27𝑒−𝑘𝑡. 𝑡=𝑡0+1, 𝑇=13 =>13−10=27𝑒−𝑘(𝑡+1). 𝑇−10=27𝑒−𝑘𝑡. 9=27𝑒−𝑘𝑡, (1)3=27𝑒−𝑘𝑡+1, (2) (2)÷(1) 13=𝑒−𝑘. 𝑇−10=27∙(13)𝑡. 𝑇−10=33−𝑡. 𝑇=19 =>19−10=33−𝑡, 9=33−𝑡, 32=33−𝑡, 2=3−𝑡, 𝑡=1. Ответ: 1 час.
2. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2;3), угловой коэффициент касательной к которой в каждой точке равен удвоенной абсциссе этой точки. 1) 𝒚=𝒙𝟐+𝟐; 2) 𝒚=𝟐𝒙𝟐−𝟓; 3) 𝒚=𝒙𝟐−𝟏; 4) 𝒚=𝟐𝒙−𝟏. Экспертиза знаний
Проверка𝒅𝒚𝒅𝒙 =𝟐𝒙, 𝒌 =𝒇´(𝒙𝟎), 𝒅𝒚=𝟐𝒙ⅆ𝒙, 𝒚=𝒙𝟐+𝑪; 𝒚(𝟐)=𝟑; 𝟑=𝟒+𝑪; 𝑪=−𝟏; 𝒚=𝒙𝟐−𝟏.
Экспертиза знаний3. При благоприятных условиях культура из 100бактерий за сутки увеличивается в 25 раз.Сколько бактерий будет в культуре через 36 часов после начала опыта?
Экспертиза знаний4. Катер движется по озеру со скоростью 37,5км/ч. Определите скорость катера (в м/мин)через 3 минуты после остановки турбины,если через одну минуту после остановкитурбины его скорость стала 125 м/мин.
ВыводЗаконы природы выражаются дифференциальными уравнениями.Различные явления описываются одинаковыми ДУ.𝒇𝐼(x) =𝒌∙𝒇(x)
Домашнее заданиеГлава VII, §2, № 25, 27по учебнику Виленкин Н.Я. «Алгебра и математический анализ».fillcolorfill.typefill.on
РефлексияУ меня получилось ...Мне запомнилось ...я попробую ...я добился ...Было непросто ...я познакомился с ...хотелось бы ...rrrrr
Спасибо за внимание!
Математики шутятКлассификация интегралов: собственные − которые сам взял, и несобственные, которые списал; определенные − к которым есть ответ, и неопределенные, к которым ответа нет; сходящиеся − которые сходятся с ответом, и расходящиеся. − Почему формула Ньютона-Лейбница обозначена двумя именами? − Интеграл как песня. Так вот Ньютон написал музыку, Лейбниц − слова.
Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – M.: Наука, 1987Бейли Н. Математика в биологии и медицине: пер. с англ. – М. Мир,1970.Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. – М.: ООО «Издательство Новая волна», 2004.Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян «Практикум по высшей математике». – Ростов-на-Дону, Феникс, 2004.Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – Москва, Высшая школа, 1990.Литература