МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики . Тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными»

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области «Каменский техникум строительства и автосервиса»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ОТКРЫТОГО УРОКА
по дисциплинеЕН.01 Элементы высшей математики
тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными»

Подготовила: преподаватель первой квалификационной категории
Срыбная Ю.В.

2015

Технологическая карта урока
Цели:
1.Обучающая:
- изучить понятие дифференциального уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными, алгоритм решения уравнений данного вида;
- формировать умения решать дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.
2. Развивающая:
- содействовать развитию математической речи;
- развивать логическое мышление, память;
- формировать умения применять приемы сравнения, сопоставления анализа, систематизации, обобщения;
- развивать познавательный интерес к дисциплине.
3. Воспитывающая:
- воспитывать профессионально – значимые качества: организованность, аккуратность, ответственность за свои действия при работе в паре;
- воспитывать культуру общения.

Методическая цель урока: применение ИКТ, использование активных форм и методов обучения.

Формирование компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.

Методы обучения:
- по источнику познания: словесные, наглядные, практические;
- по характеру познавательной деятельности: репродуктивные, активные: работа в малых группах, применение интерактивной доски, «мозговой штурм».

Тип урока: Урок изучения нового материала.
Вид урока: Интерактивная лекция, решение упражнений.
Оснащение:
- техническое: компьютер, проектор, интерактивная доска;
- дидактическое: учебные материалы к и/а доске, презентация, раздаточный материал с опорным конспектом (Приложение1), памятка (Приложение2).
ХОД УРОКА

(1 минута) Организационный момент (проводится для установления рабочей атмосферы, концентрации внимания, общей готовности.)
Преподаватель приветствует обучающихся, уточняет количество присутствующих, проверяет готовность обучающихся к уроку, наличие тетрадей, письменных принадлежностей.

(1 минуты) Целевая ориентация (цели урока и критерии оценивания формулируются преподавателем).
При оценивании обучающихся будет учитываться правильность их ответов и выполнения заданий, активность в работе.

(8 минут) Актуализация опорных знаний (проводится в процессе выполнения обучающимися устных заданий на интерактивной доске).

1) Выберите из предложенных уравнений дифференциальные (рассматриваются все варианты).
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 y((- 4y( + 4y = 0
y((+y = sin x 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
- Сформулируйте определение дифференциального уравнения.

2) Разделите данные дифференциальные уравнения на уравнения 1 и 2 порядка.
13 EMBED Equation.3 1415 y((+y = sin x
13 EMBED Equation.3 1415 y((- 4y( + 4y = 0
- Что называется порядком дифференциального уравнения? Как его определить?

3) Найдите в уравнениях 1 порядка равенство известного вам вида.
13 EMBED Equation.3 1415 (уравнение с разделенными переменными).

4) Из заданных на и/а доске выражений восстановите решение данного уравнения (обсуждается алгоритм решения уравнений этого вида).

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
-Что называется решением ДУ?
Подведение итогов актуализации знаний.

(17 минут) Формирование новых понятий и способов действий (происходит в процессе интерактивной лекции).
Рассмотрим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415. Проанализируем его содержимое. Это уравнение нового вида называется уравнением с разделяющимися переменными.
Тема урока: «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными».

1. Интерактивная лекция.
Определение. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, где 13 EMBED Equation.3 1415- некоторая функция переменной х; 13 EMBED Equation.3 1415- функция переменной у.
В левой части уравнения находится производная функции у по переменной х, а правая часть представляет собой произведение двух функций. Одна из них зависит от переменной х, вторая – от у.
Например, 13 EMBED Equation.3 1415- уравнение с разделяющимися переменными.
- Определите функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. Работа в тетради с материалом предыдущей лекции.
Познакомившись с новым видом дифференциального уравнения, запишем его в классификацию, которую мы начали оформлять на прошлом уроке.
ДУ

ДУ 1 порядка ДУ 2 порядка

ДУ с разделенными переменными
ДУ с разделяющимися переменными

Очень важно уметь решать ДУ с разделяющимися переменными, т.к. к ним сводится решение уравнений других видов.
Запишем производную в виде13 EMBED Equa
·tion.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Если g(y)
· 0, то данное уравнение можно переписать в виде: 13 EMBED Equation.3 1415, деля обе части на функцию g(y) и домножая на dx. Это уравнение содержит переменную х в правой части уравнения, а у- в левой. Т. е. мы получили уравнение с разделенными переменными.
Решение уравнения получается интегрированием его обеих частей:
13 EMBED Equation.3 1415, где С1 и С2 – некоторые постоянные,
или 13 EMBED Equation.3 1415, где С = С2 - С1.
Замечание: Необходимо проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых g(y)= 0.

ДУ с разделяющимися переменными может быть представлено в виде, когда в уравнение вместо производной входят дифференциалы dx, dу.
13 EMBED Equation.3 1415
Говорят, что ДУ записано в симметричной форме.
Для его решения нужно также разделить переменные
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - общий интеграл.
Замечание: Необходимо также проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых f2(x)=0 и g1(y)= 0.

3. Оформление конспекта в тетради (по материалам опорной лекции (Приложение1).

4. Проработка по конспекту материала лекции, составление алгоритма решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
- Что такое алгоритм? Алгоритм – последовательность действий, выполнение которых приводит к получению результата.
- А что такое компьютерная программа? Компьютерная программа - последовательность инструкций, предназначенных для исполнения устройством управления вычислительной машины. Компьютерная программа - это тоже алгоритм. Стандартом по профессии «Информационные системы» регламентируется область и объекты профессиональной деятельности, требования к результатам обучения. Профессиональные компетенции предполагают, что выпускник должен владеть программированием, проводить тестирование программ и систем, выявлять ошибки и сбои в работе, т.е. он должен уметь составлять алгоритм решения той или иной задачи.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений
с разделяющимися переменными
разделить переменные, заменив, если необходимо, производную отношением дифференциалов (с учетом условий, когда это можно сделать);
проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными;
найти общий интеграл или общее решение уравнения;
проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых g(y)= 0.
(Памятки с алгоритмом решения раздаются обучающимся (Приложение 2).

(12 минут) Формирование навыков умственного труда (происходит в процессе «тестирования» выработанного алгоритма)
После написания - создания программы, она должна пройти этап тестирования. Т.е. этап выявления дефектов: ошибок, недочетов, сбоев в работе. Проверим работу нашего алгоритма.
1) Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 по алгоритму (решение осуществляется на доске и в тетрадях).
Решение: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где С1=2С.
2) Решить уравнение по алгоритму: 13 EMBED Equation.3 1415 (решение осуществляется в парах, с последующей проверкой на доске).

Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - общий интеграл.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415-общее решение.

(2 минуты) Выставление оценок с комментариями (проводится согласно озвученным критериям).
При оценивании учитываются правильность ответов и выполнения заданий обучающимися, их активность в работе.

(2 минуты) Домашнее задание (выдается с пояснениями к выполнению).
1 Решить ДУ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
2 Внеаудиторная работа.
Ознакомиться с Интернет-ресурсами:
- http://alwebra.com.ua
- http://orenstudent.ru.
Написать или найти в интернете программу решения ДУ (по желанию).

(2 минуты) Подведение итогов урока, рефлексия (проводится для уточнения поставленных и достигнутых целей урока в виде блиц-опроса).
- Что нового узнали на уроке?
- Чему научились на уроке?
- Столкнулись ли с трудностями на уроке? (Как планируете их преодолеть?)
- Как оцениваете свою работу на уроке?
- Был ли урок интересным?
- Достигнуты ли цели урока?
- Что можете пожелать по итогам урока себе, сокурсникам, преподавателю?

Приложение 1
Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (конспект лекции)

Определение. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, где 13 EMBED Equation.3 1415- некоторые функции переменной х; 13 EMBED Equation.3 1415- функции переменной у.

Схема решения ДУ с разделяющимися переменными.
Запишем производную в виде13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Разделим переменные: 13 EMBED Equation.3 1415.
Проинтегрируем обе части:
13 EMBED Equation.3 1415, где С1 и С2 – некоторые постоянные,
или 13 EMBED Equation.3 1415, где С = С2 - С1.

Симметричная форма дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 13 EMBED Equation.3 1415.
В уравнение вместо производной входят дифференциалы dx, dу.

Для его решения нужно также разделить переменные
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - общий интеграл.

Приложение 2
ПАМЯТКА
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
с разделяющимися переменными
разделить переменные, заменив, если необходимо, производную отношением дифференциалов;
проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными;
найти общий интеграл или общее решение уравнения;
проверить, не потеряны ли корни уравнения, при которых g(y)= 0.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native