Презентация на тему Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида , где – независимая переменная; – искомая функция, и - первая и вторая производные искомой функции Основные виды дифференциальных уравнений второго порядка: Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами; Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами; Уравнения, допускающие понижение порядка. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение видаy′′+py′+qy=0, где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: k2+pk+q=0. Т.е. производим следующую замену: y′′ → k2 y′ → k1 = k y → k0 = 1 Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией: у = C1ek1x + C2ek2x, где C1 и C2 − произвольные действительные числа (const). 2) Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. В этом случае говорят, что существует один корень k1. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: y = (C1x+C2)ek1x. где C1 и C2 − произвольные действительные числа (const). 3) Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет два комплексных сопряжённых корня k1=α+βi, k2=α−βi. Общее решение записывается в виде: y = eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)].где C1 и C2 − произвольные действительные числа (const).