Урок на тему Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дюртюлинский филиал
Федерального государственного образовательного учреждения
среднего профессионального образования
«Октябрьский нефтяной колледж им. С. И. Кувыкина»










Методическая разработка
открытого урока
по дисциплине «Математика».

Тема урока:
«Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»

для специальности:
151031 «Монтаж и техническая эксплуатация
промышленного оборудования (по отраслям)».





Преподаватель
естественнонаучных дисциплин
Хаматова Ф.М.





Дюртюли -2013г.

Дата проведения: 26.10.2013 года
Группа: 2МД-10
Урок №14



Тема: «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами».

Цели урока:

Образовательные:
формирование учебно-познавательной компетенции;
сформулировать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;
научить составлять характеристическое уравнение;
показать, что общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения;
закрепить решением примеров три случая нахождения общего решения дифференциального уравнения;

Развивающие:
формирование компетенции личного самосовершенствования;
развивать способности самостоятельно очерчивать учебную проблему, формулировать алгоритм ее решения, контролировать процесс и оценивать полученный результат.
способствовать развитию памяти, пространственного воображения;
развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.
развивать наблюдательность, самостоятельность, мышление студентов посредством логических учебных действий.

Воспитательные:
воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Комплексно-методическое обеспечение: мультимедийный проектор с экраном, ноутбук, штатив, листы контроля, раздаточный материал,
презентация проекта в Power Point.



Методы обучения:
словесные;
наглядные;
практические.
Использование инновационных технологий:
технология дифференцированного обучения;
проблемное обучение;
личностно-ориентированное обучение;
информационные технологии;
блочно-модульное обучение.




































Ход урока.
I.Организационный момент
Цель: обеспечить благоприятную внешнюю обстановку для работы на уроке, создать атмосферу делового общения, обеспечить психологическую подготовку студентов к работе.
Проверка подготовленности студентов и кабинета к уроку, выявление отсутствующих, организация внимания студентов.
(На доске и в тетрадях запись даты и темы)
II. Постановка целей. Мотивация учащихся.
1.Сформулировать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; научить составлять характеристическое уравнение;
показать, что общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения;
закрепить решением примеров три случая нахождения общего решения дифференциального уравнения.
2. Способствовать развитию памяти, пространственного воображения, алгоритмической культуры; развивать познавательные интересы через применение информационных технологий; развивать наблюдательность, самостоятельность, мышление студентов посредством логических учебных действий.
3.Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.
А сейчас предлагаю определиться с вашими целями.
Перед каждым из вас на партах разложены листы контроля.
Лист самоконтроля.
Ф.И. студента
Этапы урока

Задания
Количество баллов,
которые возможно набрать(0-36)
Мое участие на уроке

1
Вспомним определения
0-5


2
Тестирование
0-5


3
Изучение нового материала
0-7


4
Решение ключевых примеров
0-7


5
Закрепление
0-5


6
Задание« Найди и исправь ошибку»
0-2


7
Самостоятельное решение примеров
0-1


8
Рефлексия учебной деятельности
0-4


Общее количество баллов, набранных за урок



Напишите, пожалуйста, фамилию и имя. Наш урок состоит из нескольких этапов. После прохождения каждого этапа вы будете получать определенное количество баллов. Суммируя их, при подведении итогов сегодняшнего занятия, вы можете получить следующие отметки:
«5»:24-36 баллов.
«4»:18-23баллов.
«3»:9-17баллов.
Итак, ребята в добрый путь!

III. Актуализация опорных знаний.

Вспомним определения:
Какое уравнение называется дифференциальным? (на экране).
Ответ: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы (на экране).
Что называется порядком дифференциального уравнения? (на экране).
Ответ: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Что называется решением дифференциального уравнения? (на экране)
Ответ: Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Какое решение называется общим решением дифференциального уравнения? (на экране)
Ответ: Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Какое решение называется частным решением? (на экране)
Ответ: Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Тест

1.Термин «дифференциальное уравнение» ввел: (на экране)

А) Г. Лейбниц(17 век);
Б) Ж.Лагранж(18 век);
В) П.Лаплас(18 век);
Г) Л.Эйлер(18век).

2. Определите порядок дифференциального уравнения: (на экране)
13 EMBED Equation.3 1415
А) первого порядка;
Б) второго порядка;
В) третьего порядка;
Г) четвертого поря

3. К какому типу относятся дифференциальные уравнения? (на экране)
13 EMBED Equation.3 1415
А) линейное дифференциальное уравнение первого порядка;
Б) уравнение Бернулли;
В) первого порядка с разделяющимися переменными
Г) неполное уравнение второго порядка.

4.Вычислите производную функции: 13 EMBED Equation.3 1415. (на экране)
А) 13 EMBED Equation.3 1415
Б) 13 EMBED Equation.3 1415
В) 13 EMBED Equation.3 1415
Г) 13 EMBED Equation.3 1415
5.В каком из двух дифференциальных уравнении можно найти
частное решение: (на экране)
1. 13 EMBED Equation.3 1415при х=-2;
2. 13 EMBED Equation.3 1415
А) в первом и во втором;
Б) в первом;
В) во втором;
Г) нет правильного ответа.
Обменяйтесь тетрадями. Сверьтесь с правильными ответами на экране. Отметьте в тетрадях соседа верно выполненные задания теста знаком «+», а неверно выполненные задания со знаком «-»

IV. Изучение нового материала.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Эпиграф (на экране) Числа не управляют миром, но они
показывают, как управляется мир.
И.Гете.
Не будем спорить – будем вычислять.
Г.Лейбниц.

(Студентам рассказываю сферу применения дифференциальных уравнений, тем самым, разъясняя выбор эпиграфов урока).
Прежде чем дать определение нового вида дифференциального уравнения, раскроем подробно его название(с привлечением студентов):
1)дифференциальное уравнение (по определению) обязательно содержит производные или дифференциалы искомой функции;
2)уравнение второго порядка содержит производную, наивысший порядок которой равен 2;
3)это- уравнение линейное относительно искомой функции, ее производных, т. е. содержит их в первой степени;
4) это- уравнение с постоянными коэффициентами; значит, коэффициенты при функции, ее производных являются постоянными величинами.
Учитывая все это, можно сказать, что рассматриваемое уравнение содержит 13 EMBED Equation.3 1415в первой степени и коэффициенты при них - постоянные величины.
Определение: (на экране)
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами называется уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 - постоянные величины.
Формула (А) может быть записана и так:
13 EMBED Equation.3 1415 (B)

Для отыскания общего решения данного уравнения составляется характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Это уравнение получается из первоначального уравнения путем замены производных искомой функции, соответствующими степенями 13 EMBED Equation.3 1415и сама функция заменяется единицей. Тогда общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней:
13 EMBED Equation.3 1415
Возможны три случая: (на экране)
I случай:13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- действительные корни и различные, тогда общее решение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415(1)
II случай:13 EMBED Equation.3 1415-действительные и равные, тогда общее решение
примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415(2)


III случай:13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- комплексные числа, а именно 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415тогда общее решение имеет вид:

13 EMBED Equation.3 1415(3)

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 V.Решение ключевых задач.

13 EMBED Equation.3 1415Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений.
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
(Решаю и объясняю, потом на экране высвечивается полное оформление)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
(Студент вычисляет корни характеристического уравнения, сообща приходим к общему решению)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
(Решаю и объясняю,)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4 . 13 EMBED Equation.3 1415
(Решаю и объясняю)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415
Это третий случай, где 13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример5.Найти частное решение дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, если у(0)=1 и 13 EMBED Equation.3 1415.
(Решаю и объясняю с привлечением студентов)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как заданы начальные условия, то:
13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы найти значение 13 EMBED Equation.3 1415, дифференцируем общее решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 VI. Закрепление изученной темы.
Решите уравнение:

№50(1) (студент решает у доски)
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№51(2) –студент решает у доски
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Это третий случай, где 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

VII. Задание «Найди и исправь ошибку»:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

VIII.Примеры для самостоятельного решения
Все решают №54(1),нескольким студентам - индивидуальные задания.
№54(1)
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

IX. Рефлексия учебной деятельности.
1. Дать определение линейного однородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами.
2. Как решается данный вид уравнения?
3. Сколько корней может иметь характеристическое уравнение?
4.Сколько случаев нахождения общего решения дифференциального уравнения вы знаете?

X. Домашнее задание и актуализация темы следующего урока.
Цель: обеспечить понимание способов выполнения домашнего задания и актуальности следующей темы.

10.1. На следующем уроке будет практическое занятия по теме «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ».
10.2 Задание на дом: § 5 по учебнику Н.В.Богомолова; № 50 (2,3);
51 (1,3);изучить решение ключевого примера №5

XI. Подведение итогов урока по листам контроля.
Сводная таблица для выставления баллов заготовлена на оборотной стороне доски.

Все слайды находятся в презентации.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native