Математические основы темы Алгебра и начала анализа: Производная и ее геометрический смысл
Алгебра и начала анализа
Вариант 8. Производная и ее геометрический смысл
Математические основы темы интеграл.
Данная тема включает в себя следующие вопросы:
Задачи, приводящие к понятию производной.
Определение производной.
Вычисление производных:
Формулы дифференцирования
Правила дифференцирования
Дифференцирование функции y = f(kx + m)
Уравнение касательной к графику функции.
2. Дидактический анализ темы:
2.1. Цели изучения темы.
Образовательные:
познакомить учащихся с новой математической моделью – производной функции; показать физический и геометрический смысл производной для решения физических и геометрических задач; показать применение производной для исследования функции и построения ее графика.
Развивающие:
развитие памяти учащихся; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие логического мышления, внимания и умения работать в проблемной ситуации.
Воспитательные:
развитие познавательного интереса учащихся; развитие любознательности учащихся; развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели.
2.2. Ведущие понятия темы.
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку x0. Дадим аргументу приращение Δx такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции Δy (при переходе от точки x0 к точке x0 + Δx) и составим отношение ΔyΔx. Если существует предел этого отношения при Δx → 0, то указанный предел называют производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначают f '(x0).
Определение 2. Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y = f(x)в точке с абсциссой х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f '(а) выражает угловой коэффициент касательной: k = f '(а).
Определение 3. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, то ее называют дифференцируемой.
Определение 4. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производные в точке x, то и их сумма имеет производную в точке х, причем производная суммы равна сумме производных.
Определение 5. Если функция y = f(x) имеет производную в точке х, то и функция имеет производную в точке х, причем (kf(x))' = kf '(x).
Определение 6. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производные в точке x, то и их произведение имеет производную в точке х, причем (f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x)g '(x).
Определение 7. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производные в точке x и g(x) ≠ 0 в этой точке , то функция y=f(x)g(x) имеет производную в точке х, причем f(x)g(x) '=f'xgx-fxg'(x)g2(x).
Определение 8. Производная функции y = f(kx + m) вычисляется по формуле (f(kx + m))' = kf'(kx + m).
2.3. Ведущие (базовые) умения по теме и алгоритмические предписания к ним.
Алгоритм нахождения производной для функции y = f(x)
1. Зафиксировать значение x, найти f(x).
2. Дать аргументу x приращение Δx, перейти в новую точку x+Δx, найти f(x+Δx).
3. Найти приращение функции: Δy=f(x+Δx)−f(x).
4. Составить отношение ΔyΔx.
5. Вычислить limΔx→0ΔyΔx.
Этот предел и есть f′(x).
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой a.2. Вычислить f(a).3. Найти f '(x) и f '(a).4. Подставить найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f '(a)(x – a).
2.4. Ключевые задачи по теме.
Пример 1.а) Найти производную функции y=x4+3x2+sin(x)Решение:Воспользуемся первым свойством - производная суммы равна сумме производных, так же воспользуемся и вторым свойством:y'=(x4+3x2+sin(x) )'=(x4 )'+(3x4 )'+(sin(x) )'=4x3+6x+cos(x)Ответ: y'=4x3+6x+cos(x)б) Найти производную функции y=cos(x) (x5+1)Решение:Воспользуемся третьим свойством:y'=(cos(x) (x5+1))'=cos' (x)(x5+1)+cos(x) (x5+1)'==-sin(x) (x5+1)+cos(x) (5x4 )==-x5 sin(x)-sin(x)+5x4 cos(x)Ответ: y'=-x5 sin(x)-sin(x)+5x4 cos(x)
Пример 2.Найти значение производной функции y=(5x-4)6 в точке x=1Решение:y'=5×6(5x-4)5=30(5x-4)5y' (2)=30(5×1-4)5=30(1)5=30Ответ: y'(2)=30
Пример 3.
Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .
Решение:
Из геометрического смысла производной получаем, что производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой , то есть
Найдем производную от заданной функции:
в точке имеем:
Тогда окончательно получим, что
Ответ:
Пример 4.
К кривой в точке с абсциссой х0 =1 провести касательную.
Зафиксируем точку х0 =1. Значение функции в этой точке равно 1.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:
1) Найти х0 и точку касания.
х0 - дано. Точка касания: (;.
2) Найти производную в любой точке х.
.
3) Найти значение производной в точке с абсциссой х0.
.
4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.
.
Упрощаем и получаем: .
Ответ: .
3. Технологическая карта темы.
Дата проведения урока Тема учебного занятия Стандарт темы Результат урока Способы организации деятельности уч-ся
план план Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Знать физический и геометрический смысл производной. Урок ознакомления с новым материалом.
Алгоритм нахождения производной. Уметь находить производную функции через приращение функции и приращение аргумента. Урок закрепления знаний и умений учащихся.
Формулы дифференцирования Производные основных элементарных функций. Уметь вычислять производные элементарных функций. Комбинированный урок
Правила дифференцирования. Производные суммы, разности, произведения и частного. Уметь вычислять производные, применяя правила и формулы дифференцирования. Комбинированный урок
Понятие и вычисление производной n-го порядка. Вторая производная. Уметь вычислять производные n-го порядка. Комбинированный урок
Дифференцирование сложной функции. Производная сложной функции. Уметь вычислять производную сложной функции. Урок ознакомления с новым материалом.
Дифференцирование обратной функции Производные обратных функций. Уметь вычислять производные сложных функций. Комбинированный урок.
Уравнение касательной к графику функции. Уравнение касательной к графику функции. Уметь решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции. Урок ознакомления с новым материалом.
Решение задач с параметром и модулем с использованием уравнения касательной к графику функции. Урок применения знаний и умений
Решение задач по теме «Правила и формулы отыскания производных» Урок обобщения и систематизации знаний.
Контрольная работа Урок контроля знаний и умений учащихся.
4. Урок данной темы с учётом современных требований к урокам математики.
Тема урока:
Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и геометрический смысл производной.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: доска, интерактивная доска, мел.
Цели урока:
Образовательные: ввести понятие производной; рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной; закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах.
Развивающие: развивать подсознательную активность учащихся; формировать учебно – познавательные действия по работе с дополнительной литературой; углубление знаний учащихся о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.
Воспитательные: воспитывать культуру личности, отношение к математике как к части общечеловеческой культуры, воспитывать у учащихся интерес к математике, формировать умение слушать и вступать в диалог.
Ход урока.
I. Организационный момент (3 мин)
Приветствие. Сообщить тему и цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся.(10 мин)
Фронтальный опрос.
Дать определение функции.
Дать определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на интерактивной доске Слайд №1)
Дать определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?
Дать определение приращения аргумента и приращения функции.
III. Изучение нового материала. (20мин.)
Слайд №2
Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.
Слайд №3
С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.
Слайд №4
Итак, определение производной:
Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
f ′ (𝑥) = lim∆x⟶0∆y∆x.
Обозначается f ′(х) или df/ dx, где df – дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).
Если функция имеет производную в точке хо, то ее называют дифференцируемой в точке хо. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.
Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной.
Слайд №5
I. Механическая задача.
Итальянский ученый Г. Галилей, изучая свободное падение тел, экспериментальным путем определил зависимость пути S, пройденного телом за время t: S = gt2/2, где g – ускорение свободного падения. При свободном падении скорость тела v растет, движение неравномерное. Как найти скорость тела в любой момент времени, т.е. мгновенную скорость v(t)? Мы знаем, что при равномерном движении v=S/t. При неравномерном движении по этой формуле находится средняя скорость на всем пути: vср=∆S/∆t. Рассмотрим два момента времени: t и t+∆t, причем ∆t – малый промежуток времени. Тогда за этот промежуток времени тело пройдет путь ∆S=S(t+∆t) – S(t) и vср=∆S/∆t. Если ∆t0, то vсрv(t), значит. lim∆t⟶0vср = v(t), lim∆t⟶0 ∆S∆t = v(t)
Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:
v = S′ (t)
Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆t0, то
а = lim∆t⟶0 ∆v∆t Итак, задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.
II. Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции 𝒚 = f(𝑥).
Слайд №6
Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику
Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = kсекх +b, где kсек – угловой коэффициент секущей,
kсек =∆y/∆x = tg αсек, где αсек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).
Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: lim∆x⟶0kсек= kкас, причем kкас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.
Значит, kкас = tg α = lim∆x⟶0∆f∆x
Вывод. Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:
kкас = tg α = f ′ (𝑥)
IV.Закрепление изученного материала.
У доски ученики решают номера 27.1(а, б), 27.5(а, б), 27.6 (а, б) из учебника : Математика.10 класс. А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова.- М. :Мнемозина, 2007.
№ 27.1(а,б)
S(t) = 2t + 1
t1 = 2
t2 = 3
S(3) - S(2) = 7 – 5 = 2
Δt = 1
Vcp = ΔSΔt=2б) t2 = 2,5
S(2,5) - S(2) = 6 – 5 = 1
Δt = 0,5
Vcp = ΔSΔt=2№ 27.5(а, б)
а) у = 9,5х – 3
f (𝑥) = 9,5
б) у = -16х + 3
f (𝑥) = -16
№ 27.6 (а, б)
а) f (𝑥) = х2, х0 = 2
f (𝑥0) = 4
б) f (𝑥) = х2, х0 = -1
f (𝑥0) = -2
V. Постановка домашнего задания.
Домашнее задание: §27, № 27.1(в, г), 27.5(в,г) , 27.6 (в, г)
№ 27.5(в, г)
t2 = 2,1
S(2,1) - S(2) = 0,2
Δt = 0,1
Vcp = ΔSΔt=2г) t2 = 2,05
S(2,05) - S(2) = 0,1
Δt = 0,05
Vcp = ΔSΔt=2№ 27.5(в,г)
в) у = 6,7х – 13
f (𝑥) = 6,7
г) у = - 9х + 3
f (𝑥) = - 9
№ 27.6 (в, г)
в) f (𝑥) = х2, х0 = 2
f (𝑥0) = 4
г) f (𝑥) = х2, х0 = 9
f (𝑥0) = 18
5. Комплект КИМ.
Самостоятельная работа
по теме: «Вычисление производной»
Вариант I
Найти производную функции:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
5.*;
6.*;
7.*.
Оценка: «3» -1-4 номер; «4» - 5 номеров; «5» - 6 номеров
Вариант II
Найти производную функции:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
5.*;
6.*;
7.*.
Оценка: «3» -1-4 номер; «4» - 5 номеров; «5» - 6 номеров
Контрольная работа №6 "Правила и формулы отыскания производных"
Вариант I 1. Найдите производные функций: а) y=2x4;
б) y = −1;
в) y = - 32x;
г) y=7x−10; д) y=3x+sin(x). 2. Найдите производные функций: а) y=xсos(x) б) y=x tg(x) в) y=(4x−6)5. 3. Вычислите f′(π4), если f(x)=3cos(x)+4x2−2πx+5. 4. Прямолинейное движение точки описывается законом t7−3t3. Найдите ее скорость в момент времени t=2c. 5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство f′(x)≤0, если f(x)=4,5x2−12x3. 6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство f′(x)=0, если f(x)=sin(2x)+2x, xϵ[π;5π]. Вариант II 1. Найдите производные функций: а) y=3x4; б) y=−2; в) y=−x4+5cos(x); г) y=−3x−4; д) y=10х. 2. Найдите производные функций: а) y=xcos(x); б) y=xctg(x); в) y=(6x+1)8. 3. Вычислите f′(π4), если f(x)=4sin(x)+0,5x2+π4x−3. 4. Прямолинейное движение точки описывается законом t4−15t2. Найдите ее скорость в момент времени t=4c. 5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство f′(x)<0, если f(x)=x2−5x3. 6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство f′(x)=0, если f(x)=2cos(2x)−22x, xϵ[−π;3π].