Доклад по алгебре Решение квадратных уравнений различными способами (8 класс)

ГБОУ Гимназия №1797 «Богородская»
г. Москва


Доклад
«Решение
квадратных уравнений
различными способами».
(8 класс, алгебра)
















Выполнила:
Назарова Г.А.
Учитель математики






Содержание:

1. Определение квадратного уравнения, его виды ________________стр. 3

2. Из истории квадратных уравнений __________________________стр. 4

3. Различные способы решения квадратных уравнений:
1) Разложение левой части уравнения на множители ________________стр. 6
2) Метод выделения полного квадрата ____________________________стр. 6
3) Решение квадратных уравнений по формуле _____________________стр. 7
4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета _____________ стр. 8
5) Решение уравнений способом переброски _______________________стр. 9
6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения ________________стр. 10
7) Графическое решение квадратного уравнения __________________ стр. 13
8) Решение квадратных уравнений с помощью
циркуля и линейки _________________________________________стр. 14
9) Решение квадратных уравнений с помощью
номограммы _____________________________________________стр. 18
10) Геометрический способ решения квадратных уравнений _________стр. 20

4. Дидактический материал __________________________________стр. 22

5. Литература _______________________________________________стр. 24









1. Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2 + bx + c = 0,
где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а
· 0.


Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах2 + с = 0, где с
· 0;
2) ах2 + bх = 0, где b
· 0;
3) ах2 = 0.















2. Из истории квадратных уравнений.

а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
х2 + х = 13 EMBED Equation.3 1415, х2 – х = 14 13 EMBED Equation.3 1415
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

б) Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах2 + bх = с, а > 0
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.
в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х2 + bх = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.









3. Различные способы решения квадратных уравнений.

1) Разложение левой части уравнения на множители.


· Примеры.

1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х – 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.

2) Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

· Пример

Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х – 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.

3) Решение квадратных уравнений по формуле

Вывод формулы:

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а
· 0,

на 4а и следовательно имеем:

4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0.
((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0,
(2ах + b)2 = b2 – 4ас,
2ах + b = ± 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2ах = – b ± 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Х1,2 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


· Примеры
Решим уравнения:

а) 4х2+ 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;
х = 13 EMBED Equation.3 1415, х = 13 EMBED Equation.3 1415; х = 13 EMBED Equation.3 1415, х1 = 13 EMBED Equation.3 1415 , х = 13 EMBED Equation.3 1415, х2 = –1
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,
т. е. при b2 – 4ас
·0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) 4х2 – 4х + 1 = 0,

а =4, b= - 4, с = 1. D = b2 – 4ас= 16 – 4
·4
·1 = 0, D = 0, один корень;
х=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b2 – 4ас= 0, то уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в) 2х2 +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b2 – 4ас= 9 – 4
·2
·4 =9 – 32 = - 13,
D < 0. Уравнение не имеет корней.
Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b2 – 4ас< 0, то уравнение
ах2+ bх + с = 0 не имеет корней.

4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета
(прямой и обратной)

а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + q = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид

13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.3 1415
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q13 EMBED Equation.3 1415можно предсказать знаки корней).
а) Если свободный член q13 EMBED Equation.3 1415приведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.
Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.

Например,
х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;

х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

б) Если свободный член q13 EMBED Equation.3 1415приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.
Например,
х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;
х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.

б) Теорема Виета для квадратного уравнения

ах2 +вх +с = 0
имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения
х2 +рх + q = 0.
Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.


· Примеры
1. Решить уравнение
х2 – 9х + 14 =0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

х1 +х2 = 9
х1х2 = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение
х2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

х1 +х2 = - 3
х1х2 = - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.



5)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а
· 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2 х2 + а bх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = 13 EMBED Equation.3 1415; тогда приходим к уравнению
у2 + by + ас = 0,
равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = 13 EMBED Equation.3 1415 и х1 = 13 EMBED Equation.3 1415. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.


· Примеры
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у2 – 11y +30 = 0.
Согласно теореме Виета

13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 2,5;3.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а
· 0.

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = 13 EMBED Equation.3 1415.


Доказательство. Разделим обе части уравнения на а
· 0, получим приведенное квадратное уравнение

х2 + 13 EMBED Equation.3 1415 х + 13 EMBED Equation.3 1415 = 0.

Согласно теореме Виета

13 EMBED Equation.3 1415

По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

13 EMBED Equation.3 1415
Получаем х1 = 1, х2 = 13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. По теореме Виета

13 EMBED Equation.3 1415

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,


13 EMBED Equation.3 1415
т.е. х1 = – 1 и х2 = 13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.


· Примеры

1. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1; – 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х1= - 1, х2= - 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Ответ: - 1; - 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415

можно записать в виде

х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415


· Пример

Решим уравнение 3х2 – 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;

D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;

х = 13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 2; 13 EMBED Equation.3 1415.

В. Приведенное уравнение

x2 + px + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415
принимает вид:

х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 или х1,2 = - 13 EMBED Equation.3 1415 (3).
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

· Примеры
1. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2 = 7±13 EMBED Equation.3 1415= 7±13 EMBED Equation.3 1415= 7±8.

Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .

7. Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении
x2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
x2 = – px – q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.




у
у=х2


у = - рх - q






· х1 х2 х






· Пример
1.Решим графически уравнение
х2 – 3х – 4 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде
х2 = 3х + 4
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и
N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
х2 = 4.

у
у=х2 у = - 3х + 4












- 1 4 х

Ответ: х1 = – 1 , х2 = 4 .



8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного
уравнения
ах2 + bх + с = 0
с помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в
точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения
ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;13 EMBED Equation.3 1415) на
оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ
·ОD = ОА
· ОС, откуда

ОС = 13 EMBED Equation.3 1415.





у



С(0; 13 EMBED Equation.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·А(0; 1)
К
В(х1, 0) D(х2, 0) х
·



Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров
SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK = 13 EMBED Equation.3 1415,


SF = 13 EMBED Equation.3 1415 .
Итак:
построим точки S(13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415 ) (центр окружности) и А (0;1);
проведем окружность с радиусом SA;
абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>13 EMBED Equation.3 1415), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где
х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = 13 EMBED Equation.3 1415), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х1 ; 0 ), где
х1 – корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < 13 EMBED Equation.3 1415), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.



У у у





S
S S
А
1. А 1. х. А 1 х
В
х1 В х2 х1 В

а) б) в)



а) AS > SВ, или R > 13 EMBED Equation.3 1415. б) AS = SВ, или R = 13 EMBED Equation.3 1415.
Два решения х1 и х2. Одно решение х1.

в) AS < SВ, или R < 13 EMBED Equation.3 1415.
Нет решения.


· Примеры

1.Решим графически уравнение
х2 – 2х – 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = – 13 EMBED Equation.3 1415

у = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).


у
1 А
- 1 3 х

S(1; - 1)

Ответ: х1 = – 1 , х2 = 3 .


2. Решим уравнение
х2 – 5х + 4 = 0.
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = – 13 EMBED Equation.3 1415

у = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).
у


Ответ: х1 = 1 , х2 = 4 .

S(2,5; 2,5)
1 А


1 4 х


3. Решим уравнение
х2 +4х + 4 = 0.
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = – 13 EMBED Equation.3 1415

у = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).


у




S ( - 2; 2,5)

А

- 2 х
Ответ: х = – 2 .

4. Решим уравнение
х2 – 2х + 3 = 0.
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = – 13 EMBED Equation.3 1415

у = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).


у


S(1; 2)

А

х

Ответ: уравнение не имеет решения.



9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:
ОВ = 13 EMBED Equation.3 1415, АВ = 13 EMBED Equation.3 1415

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию
13 EMBED Equation.3 1415,


откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

p q



О В Е



F D


H A

C



· Примеры

1. Для уравнения
z2 – 9z + 8 = 0.
Номограмма дает корни
z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).
2. Решим с помощью номограммы
номограммы уравнение
2z2 – 9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого
уравнения на 2,получим уравнение
z2 – 4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3. Для уравнения

z2 + 5 z – 6 = 0

номограмма дает положительный
корень z1 = 1,0, а отрицательный
корень находим, вычитая
положительный корень
из – р, т.е. z2 = – р – 1 =
= – 5 – 1 = – 6,0 (рис.13.)

4. Для уравнения

z2 – z – 8 = 0

номограмма дает положительный
корень z1 = 4,0, отрицательный
равен z2 = – р – z1 =
= 2 – 4 = – 2,0.

5. Для уравнения

z2 + 4 z + 3 = 0, оба корня которого
отрицательные числа, берем
z1 = – t и находим по номограмме два ,64
положительных корня t1 и t2
уравнения t2 – 4 t + 3 = 0, это
t1 = 1 и t2 = 3, а затем z1 = – t1 = – 1
и z2 = – t2 = – 3. если коэффициенты
p и q выходят за пределы шкалы, то
выполняют подстановку z = kt
и решают с помощью номограммы
уравнение

t2 + 13 EMBED Equation.3 1415

где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства

– 12,6
·13 EMBED Equation.3 1415.
6. Для уравнения
z2 – 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку
z = 5t, получим уравнение
t 2 – 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим
t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5 t1 = 5 0,6 = 3,0
и z2 = 5 t2 = 5 4,4 = 22,0.


10.Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.


· Примеры
Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 213 EMBED Equation.3 1415,
следовательно, площадь каждого равна 213 EMBED Equation.3 1415 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре

равных квадрата, сторона каждого из них 213 EMBED Equation.3 1415, а площадь 613 EMBED Equation.3 1415



D x C
613 EMBED Equation.3 1415
213 EMBED Equation.3 1415
613 EMBED Equation.3 1415

213 EMBED Equation.3 1415

x2
213 EMBED Equation.3 1415

613 EMBED Equation.3 1415
213 EMBED Equation.3 1415
613 EMBED Equation.3 1415

A х B


Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников
(4
· 213 EMBED Equation.3 1415 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(613 EMBED Equation.3 1415), т.е.
S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
х = 8 – 213 EMBED Equation.3 1415 – 213 EMBED Equation.3 1415 = 3
2. А вот, например, как древние греки решали уравнение

у2 + 6у – 16 = 0.
Решение представлено на рис., где
у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение .Выражения у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.

у у 3

у2


3у

3у
9

3

3. Решить геометрически уравнения у2 – 6у – 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем
у2 – 6у = 16.

На рис. находим «изображения» выражения у2 – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.
Значит, если к выражению у2 – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у2 – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)2 = 16 +9, т.е. у – 3 = ±13 EMBED Equation.3 1415 или у – 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = – 2.

у у 3

у – 3
у – 3


3

3
9





4. Дидактический материал к работе.


1. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:

а) х2 – х = 0; е) х2 – 4х + 4 = 0;
б) х2 + 2х = 0; ж) х2 + 6х + 9 = 0;
в) 3 х2 – 3х = 0; з) х2 + 4х +3 = 0;
г) х2 – 81 = 0; и) х2 + 2х – 3 = 0.
д) 4 х2 – 13 EMBED Equation.3 1415 = 0;



2. Решите уравнения по формуле:

а) 2х2 – 5х + 2= 0 г) 4х2 – 12х +9 = 0
б) 6х2 + 5х + 1=0 д) 10х2 – 6х + 0,9 = 0
в) 3х2 – 7х – 1 = 0 е) 2х2 – 3х + 2 = 0


3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:

1) х2 – 2х – 15 = 0 7) х2 – 2х + 1 = 0
2) х2 + 2х – 8 = 0 8) х2 + 4х + 4 = 0
3) х2 + 10х + 9 = 0 9) х2 – 6х + 9 = 0
4) х2 – 12х + 35 = 0 10) 4х2 + 7х – 2 = 0
5)3 х2 +1 4х + 16 = 0 11) 5х2 – 9х – 2 = 0
6) х2 – 5х + 6 = 0 12) х2 – 11х + 15 = 0



4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:

2х2 – 9х +9 = 0 5) 3х2 + х – 4 = 0
10х2 – 11х + 3 = 0 6) 5х2 – 11х + 6 = 0
3х2 +11х +6 = 0 7) 2х2 + х – 10 = 0
4х2 +12х + 5 = 0 8) 6х2 +5х – 6 = 0





5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

5х2 – 7х + 2 = 0 5) 839х2 – 448х – 391 = 0
3х2 + 5х – 8 = 0 6) 939х2 + 978х +39 = 0
11х2 + 25х – 36 = 0 7) 313х2 + 326х + 13 = 0
11х2 + 27х +16 = 0 8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0


6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:

4х2 – 36х + 77 = 0 3) 4х2 + 20х + 25 = 0
15х2 – 22х – 37 = 0 4) 9х2 – 12х + 4 = 0



7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:

х2 – 8х – 9 = 0 3) х2 + 18х + 81 = 0
х2 + 6х – 40 = 0 4) х2 - 56х + 64 = 0




8. Решите графически уравнения:

1) х2 – х – 6 = 0; 4) х2 – 2х – 3 = 0;

2) х2 – 4х + 4 = 0; 5) х2 + 2х – 3 = 0;

3) х2 + 4х +6 = 0; 6) 4х2 – 4х – 1 = 0.

9. Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:

1) х2 – 3х + 2 = 0; 4) 2х2 – 7х + 5 = 0;
2) х2 – 3х – 10 = 0; 5) х2 – 6х + 9 = 0;
3) х2 +4х + 3 = 0; 6) х2 +4х + 5 = 0.


10. Решите с помощью номограммы уравнения:

1) z2 – 7z + 6 = 0; 4) z2 – z – 6 = 0 ;
2) z2 + 5z + 4 = 0; 5) z2 – 11z + 18 = 0;
3) z2 – 4z + 4 = 0; 6) z2 – 2z + 3 = 0.



Литература:

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990
Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
Дидактические материалы по алгебре.
М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.








13PAGE 15


13PAGE 14615






Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native