Презентация по математике на тему Предел функции в токе и на бесконечности (11 класс)

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ И В ТОЧКЕПонятие предела функции y=f(x) связано с понятием предела числовой последовательности У числовой последовательности переменная n, возрастая, принимает только целые значения, а у функции переменная х может принимать любые значения.

Число А называется пределом функции у=f(x), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное числоS, что при всех |x|>S, выполняетсянеравенство:


При достаточно больших по модулю значениях х, значения функции f(x) очень мало отличаются от числа А (меньше, чем на число ε , каким бы малым оно не было).смысл определения:
Рассмотрим геометрический смысл этого определения.Неравенстворавносильно двойному неравенствучто соответствует расположению части графика у=f(x) в полосе шириной 2ε.










Т.е. число А есть предел функции какой бы узкой она не была. если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое число S, что при всехсоответствующие ординаты графика функции у=f(x) будут заключены в полосе



Доказать, чтоПример.

Т.е. для любого ε >0 существует число Такое, что для всех х, таких что |x|>S, выполняется неравенство:Для любого ε>0Решение.







Рассмотренное определение предела при x стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине.Можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности любого знака, т.е. при Замечание 1.


В случае, когда неравенстводолжно выполняться при всех x таких, что х>s.В случае, когда неравенстводолжно выполняться при всех x таких, что х<-s.Перейдем к понятию предела функции в точке.Рассмотрим некоторую функцию у=f(x). Пусть эта функция задана в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой этой точки.





Число А называется пределом функции у=f(x), при х→x0, (или в точке x0)если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное числоδ, что при всех |x-x0|< δ, выполняетсянеравенство:


При всех значениях х, достаточно близкихк x0, значения функции у=f(x) очень мало отличаются по абсолютной величине от числа А (меньше, чем на число ε, каким бы малым оно не было).смысл определения:
Неравенстворавносильно двойному неравенствуАналогично неравенстворавносильно неравенствуЭто соответствует расположению части графикав полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ -окрестность точки x0.





Т.е. число А есть предел функции при х→x0, если для любого, сколь угодно малого числакакой бы узкой она не была. найдется такая δ–окрестность точки x0, что для всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функциибудут заключены в полосе















Доказать, чтоПример.

Пусть ε=0.1Тогда неравенство будет выполняться при Аналогично, при ε=0.01Неравенство будет выполняться приРешение.




Т.е. для любого ε >0 неравенствовыполняется приТ.е. для любого ε >0 существует число что для всех х, таких что |x-1|<δ, выполняется неравенство:




Определение предела не требует существования функции в самой точке x0, т.к. рассматриваются значения функции в некоторой окрестности точки x0. Т.е. рассматривая пределмы предполагаем, что но не достигает значения x0. Замечание 2.



переменная x принимает значения только меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах соответственно справа и слева:Если при Замечание 3.



Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при Вместо значений x, удовлетворяющих условию рассматриваются такие x, что прии значения x, такие что при





Если пределы функции f(x) слева и справа одинаковы и равны А, то существует общий предел этой функции, также равный А: