Реферат на тему Первое достаточное условие экстремума
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе мы рассмотрим первое достаточное условие экстремума.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум. Обращение в нуль производной является только необходимым и не является достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
Точки, в которых производная f ʹ(х) функции f (х) обращается в нуль, будем называть стационарными точками функции f (х).
Каждая стационарная точка - это точка возможного экстремума. Такие условия будут рассмотрены в данном реферате.
Формулировка
Пусть дана система вложенных сегментов , тогда , то есть . Причём, если , то такая точка одна.
Доказательство
Существование:
Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) . Возьмём два числа :
(по определению сегмента);
Таким образом . Тогда по аксиоме непрерывности: .
Единственность:
Предположим противное, пусть существуют две различные точки , принадлежащие всем отрезкам последовательности то есть:
. Так, как , то либо либо .
Не ограничивая общности, предположим, что .
Тогда мы имеем: . То есть . Так, как.
Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки , принадлежащие всем отрезкам последовательности неверно, значит
Замечание:
Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.
В самом деле, легко видеть, что последовательность вложенных друг в друга интервалов не имеет общих точек, поскольку
Пример:
Доказать, что если система вложенных сегментов причём , то последовательности и (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём .
Теорема. (первый достаточный признак существования экстремума функции).Пусть — критическая точка непрерывной функции . Если при переходе через точку меняет знак с « + » на « — », то — точка локального максимума; если при переходе через точку меняет знак с « — » на « + », то — точка локального минимума; если при переходе через точку не меняет знак, то не является точкой локального экстремума.
Доказательство. Пусть — точка возможного экстремума, причем >0 и <0 .
Тогда по теореме о достаточном признаке возрастания и убывания функции функция возрастает при ( т.е. >) и убывает при ( т.е. <),
т. е. точка является точкой локального максимума.
Аналогично доказывается и существование точки локального
минимума.
Если сохраняет знак в окрестности точки , то в этой окрестности функция монотонна, т. е. точка не является точкой локального экстремума.
⊠
На рисунке дана геометрическая интерпретация точки локального максимума.
Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции).Стационарная точка функции , дважды дифференцируемой в , является точкой локального минимума , если > 0, и точкой локального максимума, если < 0.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и > 0. Тогда в возрастает, но = 0, следовательно, в при переходе через точку меняет знак с « — » на « + » . Согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка является точкой локального минимума функции .
Если <0, то в '(х) убывает, но = 0, следовательно, в при переходе через точку производная функции меняет знак с « + » на « — » Тогда, согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка является точкой локального максимума функции .
Первое достаточное условие экстремума, которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки . Тогда:
– если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;
– если при переходе через точку производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.
Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла , и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл «сверху вниз», а при переходе через точку развернулся в противоположную сторону. Минимум.
Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции. Внимание! Сейчас мы работаем с производной, а не с самой функцией! Перед нами парабола , ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки: I) Берём какую-нибудь точку интервала и находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать : , значит, производная отрицательна на всём интервале .
II) Выбираем точку , принадлежащую интервалу , и проводим аналогичное действие: , следовательно, на всём интервале .
III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке последнего интервала: , поэтому в любой точке интервала .
В результате получены следующие знаки производной: Время собирать урожай!
На интервалах производная отрицательна, значит, САМА Функция на данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале , значит, функция возрастает на , и её график идёт «снизу вверх».
При переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:
При переходе же через точку производная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:
Ответ: функции возрастает на интервале и убывает на интервалах . В точке функция достигает минимума: , а в точке – максимума:
Остерегайтесь сокращенной записи . Под значками обычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.
На первом этапе мы нашли производную и критические точки (в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где (парабола ниже оси) и (парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.
Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и другое, так называемое 2-ое достаточное условие экстремума. Однако для исследования функций оно мало информативно и больше используется в экстремальных задачах.
Пример 2
Исследовать функцию с помощью первой производной
Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.
Решение:
1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .
2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
Таким образом, получаем три критические точки:
3) Откладываем на числовой прямой все обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки производной: Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: . Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .
Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из 6-ти интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.
Итак, производная сообщила нам, что сама функция возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .
В точке функция достигает максимума: В точке функция достигает минимума:
Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение ;-)
При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там нет экстремума – она как убывала, так и осталась убывающей.
! Повторим важный момент: точки не считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).
Ответ: функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .
Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой: Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции. В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).
Пример 4
Найти экстремумы функции
Пример 5
Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости. Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма определена на интервале , но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!
Пример 6
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.
Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знак постоянства была найдена область определения данной функции: , знание которой критически важно учитывать в нашей задаче:
Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень и крайние точки области определения: .
Но производная проявила своеволие – она в отличие от своего родителя определена и на интервале . Более того, точка (не критическая!!! ;)) вошла в этот интервал! Определяем знаки производной только на интервалах области определения функции: Функция убывает на интервале и возрастает на интервале . Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) отсутствуют. Значение осталось не при делах, так как на интервале попросту нет графика функции .
Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на , экстремумы отсутствуют.
Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо уважить область определения функции!
Пример 7
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Пример 8
Найти точки экстремума функции
Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдём критические точки:
На всякий случай детализирую преобразования знаменателя: , затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».
Таким образом, – критические точки. Почему значения , обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что сама функция в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.
Определим знаки производной на полученных интервалах: Функция возрастает на интервале и убывает на .
В точке функция достигает минимума: .В точке функция достигает максимума: .В точке нет экстремума.
Ответ: – точка минимума, – точка максимума
По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы ;-)
Давайте посмотрим на эту оригинальную картину: В точке – классическое остриё, направленное вниз, при – «нормальный» максимум. В точках функция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).
Решения и ответы:
Пример 2:Решение:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.2) Найдём критические точки: – критическая точка. 3) Методом интервалов определим знаки производной: Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на интервале . В точке функция достигает минимума:
Пример 4:Решение:
1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке .2) Найдём критические точки: , – критические точки. 3) Методом интервалов определим знаки производной: В точке функция достигает минимума: . В точке экстремум отсутствует.Ответ: в точке функция достигает минимума: Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции
Пример 5:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки .
2) Найдём критические точки: Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель – критическая точка. 3) Определим знаки производной: Ответ: функция возрастает на и убывает на . В точке она достигает максимума:
Пример 7:
Область определения: .Найдём критические точки: – критическая точка. Определим знаки производной: Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на интервале В точке функция достигает минимума:
Локомотив исследования функции методами дифференциального исчисления неумолимо приближает нас к конечной станции, и после изучения непрерывности, области определения, интервалов знак постоянства, асимптот, интервалов монотонности и экстремумов функции осталось рассмотреть выпуклость, вогнутость и перегибы графика. Формальное определение выпуклости и вогнутости графика достаточно трудно для чайника, поэтому ограничимся геометрической интерпретацией понятия на конкретных примерах. Рассмотрим график функции , которая непрерывна на всей числовой прямой: Его легко построить с помощью геометрических преобразований, и, наверное, многие читатели в курсе, как он получен из кубической параболы.
Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика.
График функции является выпуклым на некотором интервале, если он расположен не ниже любой хорды данного интервала. Подопытная линия выпукла на , и, очевидно, что здесь любая часть графика расположена над своей хордой. График функции являются вогнутым на интервале, если он расположен не выше любой хорды этого интервала. В рассматриваемом примере пациент вогнут на промежутке . Пара коричневых отрезков убедительно демонстрирует, что тут и любой кусок графика расположен под своей хордой.
Точка графика, в которой он меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называется точкой перегиба. У нас она в единственном экземпляре (первый случай), причём, на практике под точкой перегиба можно подразумевать как зелёную точку , принадлежащую самой линии, так и «иксовое» значение .
ВАЖНО! Перегибы графика следует изображать аккуратно и очень плавно. Недопустимы всевозможные «неровности» и «шероховатости». Второй подход к определению выпуклости/вогнутости в теории даётся через касательные:
Выпуклый на интервале график расположен не выше касательной, проведённой к нему в произвольной точке данного интервала. Вогнутый же на интервале график – не ниже любой касательной на этом интервале.
Гипербола вогнута на интервале и выпукла на : При переходе через начало координат вогнутость меняется на выпуклость, однако точку не считают точкой перегиба, так как функция не определена в ней.
Более строгие утверждения и теоремы по теме можно найти в учебнике, а мы переходим к насыщенной практической части:
Как найти интервалы выпуклости, интервалы вогнутостии точки перегиба графика?
Материал прост, трафаретен и структурно повторяет исследование функции на экстремум.
Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции.
Пусть функция дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:
– если вторая производная на интервале, то график функции является выпуклым на данном интервале;
– если вторая производная на интервале, то график функции является вогнутым на данном интервале.
На счёт знаков второй производной по просторам учебных заведений гуляет доисторическая ассоциация: «–» показывает, что «в график функции нельзя налить воду» (выпуклость), а «+» – «даёт такую возможность» (вогнутость).
Если в точке есть перегиб графика функции , то: либо значения не существует(разберём, читайте!).
Данная фраза подразумевает, что функция непрерывна в точке и в случае – дважды дифференцируема в некоторой её окрестности.
Необходимость условия говорит о том, что обратное справедливо не всегда. То есть из равенства (либо небытия значения ) ещё не следует существования перегиба графика функции в точке . Но и в той, и в другой ситуации называют критической точкой второй производной.
Точка называется точкой максимума (минимума) функции ,если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , . На рис.9 изображены точки: -точка максимума, - точка минимума.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Минимум или максимум функции называется экстремумом функции.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 1. Необходимое условие экстремума функции. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю.
Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси .
Из теоремы 1 вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.
Обратное неверно: не при всяком значении , при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум. На рис.10 изображен график функции, у которой при производная равна нулю (касательная параллельна оси , но в этой точке функция не имеет экстремума.
Рассмотрим точки в которых функция не является дифференцируемой (то есть не существует конечной производной).
В таких точках функция может иметь минимум или максимум, а может не иметь ни того, ни другого.
Например, функция не имеет производной в точке , но в этой точке данная функция имеет минимум. (рис.11).
Функция не имеет конечной производной в точке (касательной является ось ). В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. (рис.12).
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум в точках, в которых производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Теорема 2. Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
Правило исследования функции на экстремум:
1. Найти критические точки функции , то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
2. Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.
3. Определить знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек.
.В соответствии с достаточными условиями экстремума выписать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
Пример. Найти точки экстремума функции и значения функции в этих точках.
Решение. Область определения функции – вся числовая прямая.
Находим производную данной функции и приравниваем ее к нулю: . Решая это уравнение, получаем и - критические точки (необходимое условие экстремума выполнено).
Проверяем выполнение достаточного условия экстремума. Рассмотрим точку . Слева от этой точки , например, , справа от нее , например, . Следовательно, достаточные условия экстремума выполняются, и точка является точкой минимума. Находим значение функции в точке минимума: .
Теперь рассмотрим точку . Слева от этой точки , справа , Следовательно, достаточное условие экстремума не выполняется и точка не является точкой экстремума.
Ответ:
Вопрос. Производная функции равна . Какая из критических точек не является точкой экстремума?
Начало формы
Пусть функция непрерывна на отрезке . Такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений на заданном отрезке. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка (в этом случае эта точка является критической), либо на его границе.
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке .
1. Найти критические точки на интервале .
2. Вычислить значения функции в найденных критических точках.
3. Вычислить значения функции на концах отрезка.
4. Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном реферате мы рассмотрели первое достаточное условие экстремума.
Первое достаточное условие экстремума, которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки . Тогда:
– если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;
– если при переходе через точку производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.
Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл «сверху вниз», а при переходе через точку развернулся в противоположную сторону. Минимум.
Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.
Список использованной литературы
1. Берман, А.Ф. Сборник задач по курсу математического анализа / А.Ф Берман, И.Г. Араманович.- М.: Наука, 1971.- 736 с.
2. Богданов, Ю. Математический анализ : Учебное пособие для вузов / Ю. Богданов, О. Кастрица, Ю. Сыроид.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- 351с.
3. Берс, Л. Математический анализ. Т.1 / Л Берс.- М.: Высш. шк., 1975.- 519 с.
4. Джагунта, М. Математический анализ Mathematical Analysis / М. Джагунта, Ж. Модика.- Boston: Birkhauser, 2007.- 465с.
5. Макаров, И.П. Дополнительные глава математического анализа / И.П Макаров.- М.: Просвещение, 1986.- 312 с.
6. Тарасов, Л.В. Математический анализ Беседы об основных понятиях / Л.В Тарасов.- М.: Наука, 1979.- 149 с.ил.
7. http://www.alleng.ru/edu/math9.htm
8. www.sprinter.ru/books/matematicheskii-analiz
9. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/