Приемы быстрых вычислений на уроках математики

Приемы быстрых вычислений








Выполнил: Эрбис А.С.
учитель математики и
информатики.
МБУ СОШ №70







г.о. Тольятти
Формирование вычислительных умений и навыков традиционно считается одной из самых «трудоемких» тем. Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на является весьма дискуссионным в методическом плане. Широкое распространение калькуляторов ведет за собой необходимость уделять большее внимание отработки навыков вычисления Широкое распространение калькуляторов ставит необходимость «жестокой» отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее овладение арифметическими вычислениями с математическими способностями и математической одаренностью. Однако внимание к устным арифметическим вычислениям является традиционным для образовательной школы. В связи с этим значительная часть заданий всех существующих сегодня учебников математики направлена на формирование устных вычислительных умений и навыков.
Что же в педагогике понимается под словами «вычислительные навыки»? Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приемами.
Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.
Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих методических приемов.
Вместе с тем, ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом – системой операций. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Умение осознано контролировать выполняемые операции позволяет формировать вычислительные навыки более высокого уровня, чем без наличия этого умения.
Отличительным признаком навыка, как одного из видов деятельности человека, является автоматизированный характер этой деятельности, тогда как умение представляет собой сознательное действие.
Однако навык вырабатывается при участии сознания, которое первоначально направляет действие к определенной цели при помощи осмысленных способов его выполнения и контролирует его. Советский психолог С. А. Рубинштейн пишет: «Высшие формы навыка у человека, функционирующие автоматически, вырабатываются сознательно и являются сознательными действиями, которые стали навыками; на каждом шагу – в частности при затруднениях – они вновь становятся сознательными действиями; навык, взятый в его становлении, является не только автоматическим, но и сознательным актом; единство автоматизма и сознательности заключено в какой – то мере в нем самом».
Определение «навык» в Психологическом словаре:
Навык
Доведенное до автоматизма путем многократных повторений действие; критерием достижения навыка служат временные показатели выполнения, а также тот факт, что выполнение не требует постоянного и интенсивного внимания (контроля). Операция (в теории деятельности А. Н. Леонтьева). Н. м. б. не только двигательными, но и перцептивными, мнемическими, мыслительными, речевыми и т. п. Огромное количество специальных навыков связано с осуществлением разных видов деятельности (бытовой, учебной, профессиональной). По современной терминологии, навыки относят к содержанию т. н. процедурной памяти. Способность к формированию и воспроизведению навыка один из важнейших показателей общей интеллектуальной потенции и сохранности. Навыки свойственны людям и животным.
Навык (трудовых движений) приобретенное в результате обучения и повторения умение решать трудовую задачу, оперируя орудиями труда (ручной инструмент, органы управления) с заданной точностью и скоростью. Навык это хорошо сформированное действие, в динамическую структуру которого входят когнитивные компоненты: сенсомоторный образ рабочего пространства, образ исполнительного акта, программа действия и контроль (текущий и конечный) за его совершением, а также исполнительные (моторные) компоненты, включая коррекционные процессы.  Взаимоотношения между перечисленными компонентами подвижны. Между ними возможен «обмен» временем и функциями, что обеспечивает точное и своевременное выполнение действия при достаточно широком диапазоне внешних обстоятельств и внутренних условий его осуществления. При организации процесса обучения трудовым навыкам необходимо уделять особое внимание формированию когнитивных компонентов для предотвращения совершения импульсивных и реактивных актов и обеспечения выполнения целесообразных и разумных действий. Это достигается, в частности, вариативностью условий, в которых формируются навык. [2, с. 215]
Общие и специальные приемы быстрых вычислений
Приёмы устного счёта очень разнообразны. При выполнении вычислений устно, порой надо проявлять творческую инициативу, смекалку и выполнять действие тем или иным способом.
Приёмов устного счёта существует огромное множество. Все эти приемы можно объединить в две группы:
- общие (приемы, в которых используются свойства арифметических действий, используются для любых чисел)
- специальные (для конкретных чисел, частные случаи).
Таблица 1
Общие приемы

Краткие сведения
Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.

Прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий
При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа:
1) Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.
2) Использование сочетательного и переместительного свойств.
3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп.
Пример:
Требуется сложить 28, 47, 32 и 13.
1) пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы.
28=20+8 32=30+2
47=40+7 13=10+3
2) воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами:
20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон)
(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) – (сочетательный закон)
3) выполняем сложение каждой группы
50+10+50+10
4) 50+50+10+10 (переместительный закон)
5) 100+10+10=120 выполняем сложение




Таблица 2
Специальные приемы

Краткие сведения
Приёмы, которые применимы только к некоторым числам и некоторым действиям.

Приём №1.
Приём округления
Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях.
Прием заключается в следующем:
1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого» числа.
2) Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли.
Примеры:
1) 399+473=400+473=873–1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1)
399+473=(399+1)+(473–1)=400+472=872
2) 56–38=(56+4–38) – 4=(60–38) – 4=22–4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц)
3) 72–15=((72–2) –15)+2=(70–15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо прибавить
4) 752–298=(752 – (298+2))+2=(752–300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.
93–22=(93 – (22–2)) – 2=(93–20) – 2=73–2=71

Приём №2
Приём перестановки слагаемых или перестановки сомножителей
Суть приёма заключается в перемене мест слагаемых для того, чтобы сначала сложить те числа, которые в сумме дают «круглое» число или просто более легко складываются.
Примеры:
1) 389+567+111=389+111+567=500+567=1067 (переместительные свойства суммы)
2) 2357+1998+3055=2357+1997+(3010+45)=2357+1998+3010+43+2=2357+43+1998+2+3010=2400+2000+3010=7410 (первое и второе слагаемые дополняются за счёт третьего)

Приём №3
Приём замены одного действия другим
Замена вычитания сложением: вычитаемое сначала дополняется единицами до «круглого» числа, а затем полученное «круглое» число дополняют уже до уменьшаемого, т.е. основное действие вычитания заменилось на «двойное» сложение.
Примеры:
1) 600–289 дополняем 289 до 300: это 11 и ещё 300 до 600. Итого: 311
Вместо того чтобы вычислять 600–289=311, мы вычисляем 289+11+300=600, при этом без записи, произнося про себя 11, 300, итого 311
2) 730–644 вычитаемое 644 дополняем до 650 (6), затем до 700 (50) и до 730 (30): 6+50+30=86

Приём №4
Приём умножения на 5,50,500
1. Множитель, который умножаем на 5,50,500, представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте.
Пример:
13EMBED Equation.31415
Но есть более простой способ! Если один из множителей увеличить в два раза, то и произведение увеличится в 2 раза, следовательно, для получения истинного результата надо полученное произведение уменьшить в два раза.
Пример:
1) 13EMBED Equation.31415
2) 13EMBED Equation.31415
(первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в 2 раза)
Умножение чисел на 50 и 500 начинается также, как и умножение на 5, с деления, множимого на 2 и заканчивается умножением полученного результата на 100 или 1000, что равносильно приписыванию двух или трёх нулей справа.
Пример:
13EMBED Equation.DSMT41415

Приём №5
Приём умножения на 25, 250, 2500
При умножении числа на 25, сначала мы умножаем на 100, а полученный результат делим на 4, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 4, а потом умножить на 100.
Пример:
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Аналогично выполняется умножение на 250 и на 2500.

Приём №6
Прием умножения на 125
Для использования этого приёма надо помнить, что 125 это 1/8 часть 1000, т.е. в тысяче 125 содержится 8 раз, т.е. сначала мы умножаем на 1000, а полученный результат делим на 8, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 8, а потом умножить на 1000.
Примеры:
1)13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

Приём №7
Приём умножения на 15
Пятнадцать состоит из одного десятка и 5 единиц, но 5 это половина 10, следовательно, мы должны число умножить на 10 и взять ещё половину полученного от умножения этого числа на десять.
Пример:
13EMBED Equation.31415Особенно эффективен этот приём умножения на 15 чётных чисел, где действия можно выполнить так: 13EMBED Equation.31415
А с нечётными так: 13EMBED Equation.31415

Приём №8
Приём умножения на 9 и 99
Множители 9 и 99 на единицу меньше круглых чисел 10 и 100. Поэтому умножение числа 9 мы можем выполнить так:
умножаем число на 10 и вычитаем из полученного это же число, умноженное на единицу (т.е. берем число не 9, а десять раз и уменьшаем после на это же число)
Умножение числа на 99 производится аналогично.
Примеры:
1) 259=2510–251=250–25=225
2) 3599=35100–351=3500–35=3465

Приём №9
Приём умножения на 11
Этот приём аналогичен умножению на 9, только здесь мы будем числа сначала умножать на 10, а после прибавлять ещё один, одиннадцатый, раз
это же число.
Примеры:
1) 8711=8710+871=870+87=957
2) 23211=23210+2321=2320+232=2552
Это общий приём умножения на 11.
Умножение на 11 двухзначного числа осуществляется очень простым способом:
достаточно между цифрами, стоящими в разряде десятков и в разряде единиц, вставить их сумму. Если сумма
выражается двухзначным числом, то десятки плюсуются с первым числом (пример 2).
Примеры:
1) 54х11=594, (5+4=9)
2) 78х11=858 (7+8=15, 7+1=8).
Этот приём основан на умножении столбиком на 11:
7811=858


Методические рекомендации по обучению прикидке и оценке результатов вычислений в основной школе, в частности в 5–6 классах
Очевидно, что вычислительные навыки является необходимыми элементами общеобразовательной подготовки учащихся, прежде всего силу своей практической значимости. Умение предвидеть результат, осуществить его проверку входит в учебно-интеллектуальную группу общеучебных умений, которые создают необходимую основу для самостоятельно приобретенных знаний, дальнейшего образования.
Безошибочное выполнение вычислений является необходимой базой для обучения другим школьным дисциплинам. Причем, существуют определенные требования к уровню сформированности вычислительных навыков по годам обучения (таблица 3) [5, с. 67]:
Таблица 3
Класс
Скорость арифметического счета (операций в минуту)
Количество предложений с логическими союзами или связками в речи


Сложение четырехзначных чисел
Вычитание четырехзначных чисел
Умножение трехзначных чисел


5
3–4
2–3
1
3–5

6
3–5
2–4
1–2
4–6

7
4–5
3–4
1–3
5–7

8
5–6
3–5
2–3
6–8

9
6–7
4–5
2–4
7–9

10
7–8
5–6
3–4
8–9

11
8–9
6–7
3–5
Не менее 10


Таким образом, вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Поэтому знание простейших правил вычислений позволяет ускорить процесс обучению математики.



















Список использованной литературы
1. Баврин, И.И. Сельский учитель Рачинский и его задачи для умственного счета [Текст]. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 112 с. – Б-ка физ.-мат. лит. для школьников и учителей.
2. Емельяненко, М.В. Система развивающих заданий по теме «Умножение многозначного числа на однозначное» // Начальная школа, 1996. – №12. – с. 47–51.
3. Катлер, Э. Система быстрого счета по Трахтенбергу. Перевод П.Г. Каминского и Я.О. Хаскина [Текст] / Катлер, Э., Мак–Шейн. – М.: Просвещение, 1967. – 134 с.
4. Ларина, Л.Н. Роль учителя в формировании вычислительной культуры. – (http://www.gym5cheb.ru/lessons/index.php–numb_artic=412071.htm.) 13.04.2010
5. Математика [Текст]: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1: Обыкновенные дроби / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 153 с.: ил.
6. Математика [Текст]: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2: Рациональные числа / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 142 с.: ил.
7. Математика [Текст]: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1: Натуральные числа / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 18-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 153 с.: ил.
8. Математика [Текст]: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2: Дробные числа / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 18-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 157 с.: ил.