урок на тему «Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке»

Сценарий урока:
Урок алгебры и начала анализа в 11 классе по теме:
«Отыскание наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на отрезке»
Учебник: автор А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа»
Учитель: Медведева Ирина Анатольевна
Оборудование: плакаты, проектор, мультимедийная разработка, доска, документ-камера.
Цели урока:
Обучающая- показать основной прием отыскания наибольшего и наименьшего значения на отрезке, отработать ключевую математическую компетенцию-умение работать с числом, числовой информацией.
Развивающая- развить нестандартное мышление через умение находить пути решения в зависимости от условия задачи, воспитать культуру соблюдения всех этапов алгоритма.
Воспитательная- воспитать терпение, упорство в достижении цели.
Задачи урока:
Научить:
1.Свободно ориентироваться в базовых математических понятиях.
2.Владеть технологией обработки различных видов информации.
3.Действовать по алгоритму.
4.Уметь составлять математическую модель по условию задачи.
5.Отрабатывать и закреплять полученные знания .Ход урока:
1.Актуализация знаний учащихся.
Так как урок- закрепление изученного материала, начинаем с повторения теории. Накапливать опыт на заданную тему мы начинали с помощью графиков. Перед учениками три плаката с графиками. Казалось бы везде одно и то же задание- найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. В чем различие? На первом графике функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений в концевых точках, на втором графике функция достигает наибольшего значения в концевой точке, а наименьшего – в точке, лежащей внутри отрезка (стационарная точка), на третьем графике функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений в точках, лежащих внутри отрезка(одна стационарная, две критические).
А о каких функциях мы ведем речь? Вспомним основные понятия.


2. При повторении теоретического материала на экране высвечивается повторяемые определения:
1)слайд3.ppt Определение непрерывной функции:
Функцию y=f(х) называют непрерывной в точке х=а , если выполняется соотношение :
Функцию y=f(х) называют непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
2)слайд4.ppt Если выражение составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в которой определено выражение.
3)слайд5.ppt Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наименьшего значений.
4) слайд6.ppt Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
Наибольшее и наименьшее значение достигается внутри отрезка.
Наименьшее значение достигается внутри отрезка, а наибольшее в концевой точке.
5)слайд7.ppt Наибольшее и наименьшее значения достигаются в концевых точках.
6)слайд8.ppt Если наибольшее(или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
7)слайд9.ppt Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называют стационарными.
8)слайд10.ppt Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует,- называют критическими.
9)слайд11.ppt Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(х) на отрезке [а;в].
1.Найти производную.
2.Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри
отрезка [а;в] .
3.Вычислить значения функции y=f(х) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и в , выбрать среди этих значений наименьшее (это будет ) и наибольшее (это будет ).
Отрабатываем полученный алгоритм:
слайды 12-16.ppt Пример: Найти наименьшее и наибольшее значение функции а)на отрезке 0;6 ;б)на отрезке ;в) на отрезке ;

3.Упражнения: (взяты из открытого банка задач ЕГЭ)
У детей на столах лежат листы, на которых напечатаны задания и алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения на отрезке.
В классе:
Решаем вместе с учениками у доски
№1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

№2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
№3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
№4.Самостоятельная работа
Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решаем вместе с учеником у доски
№5.Задача
Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м.
Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была
наибольшей.
Решения:
№1. Dy=0;+∞)1. y/=2х-3+1х .2. х=0- критическая точка.
Найдем стационарные точки из условия y/=0.
2х-3+1х=0 ,
2x2-3х+1=0,
D=9-4∙2=1,
х1=12;х2=1.
12;1- стационарные точки.
1∈34;54 .
3.y1=1-3+10=8.
y34=916-94+ln34+10=856+ln34 .
y54=2516-154+ln54+10=71316+ln54 .
yнаим=8.

Ответ.8
№2. Dy=R1.y/=eх-7+х-8eх-7.
2.Критических точек нет.
Найдем стационарные точки из условия y/=0.
eх-7+х-8eх-7=0,
eх-7х-7=0 ,
х=7- стационарная точка.
7∈6;8 .
3.y6=6-8e6-7=-2e-1.y7=7-8e0=-1 /
y8=0 .
yнаим=-1.
Ответ.-1.
№3. Dy=R1.y/=-12sinх+63.
2. Критических точек нет.
Найдем стационарные точки из условия y/=0.
-12sinх+63=0,
-12sinх=-63,
sinх=32 ,
х=π3+2πк,к∈Z,х=2π3+2πк,к∈Z.
π3∈0;π2 .
3.y0=12∙1-23π+6=18-23π.
yπ3=12∙12+63∙π3-23π+6=12.
yπ2=12∙0+63∙π2-23π+6=3π+6.
yнаиб=12.
Ответ.12
Все задания решают ученики у доски одновременно; первое задание ученик, решая, комментирует , другие два задания решаются молча. После того, как решили первое задание, обсуждаем решение остальных. Учащиеся записывают все задания в тетради.

№4. Dy:х≠π2+πк,к∈Z1.y/=3-3cos2х.
2.х=π2+πк,к∈Z- критические точки.
Найдем стационарные точки из условия y/=0.
3-3cos2х=0 ,
3cos2х-3=0 ,
cos2х=1 ,
cosх=-1,cosх=1.
х=2πк,к∈Z,х=π+2πк,к∈Z.
0∈0;π4 .
3.y0=-5.yπ4=3π4-3-5=3π4-8.
yнаиб=-5.
Ответ.-5
Решение проверяем с помощью документ- камеры.
№5. Оптимизируемая величина- площадь прямоугольника. Пусть х м- ширина прямоугольника, тогда (100-х)м- длина прямоугольника. Введем функцию S=х(100-х), где х∈0;100.Исследуем её на наибольшее значение:
1.S/=100-2х.
2. 100-2х=0,
х=50.
50- стационарная точка, критических точек нет.
50∈0;100 .
3.S(0)=0.
S(50)=2500.
S(100)=0.
Sнаиб=2500 при х=50.
50м- ширина прямоугольника, 100-50=50(м)- длина прямоугольника.
Ответ.50м, 50м.
4.Подведение итогов урока. Комментарии по домашнему заданию.
(3 мин.)
Учитель ещё раз обращает внимание на основные моменты теории.
Отмечает успешную работу отдельных учащихся, выставляет оценки за работу у доски,
дает и поясняет домашнее задание (см.приложения)- у детей на столах листы с
индивидуальными домашними заданиями. Начало формы
Конец формы
Приложения:
Домашнее задание №1
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
_____________________________________________________________________________
3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
________________________________________________________________________________
4.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
_______________________________________________________________________________
5.№954б,№950б
Домашнее задание №2
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
__________________________________________________________________________
3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
______________________________________________________________________________
4.Задание B14 Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
________________________________________________________________________________
5. №954б,№950б
Домашнее задание №3
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
______________________________________________________________________________
3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
_________________________________________________________________________
4.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
__________________________________________________________________________
5. №954б,№950б
Домашнее задание №4
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
__________________________________________________________________________
2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
.
________________________________________________________________________________
3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
__________________________________________________________________________
4.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
_______________________________________________________________________
5. №954б,№950б
Домашнее задание №5
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
__________________________________________________________________________
2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
.
______________________________________________________________________________
3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
______________________________________________________________________________
4.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
_____________________________________________________________________________
5. №954б,№950б
Домашнее задание №6
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
________________________________________
2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
______________________________________________________________________________
3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
__________________________________________________________________________________
4.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
____________________________________________________________________________________
5. №954б,№950б
Домашнее задание №7
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
_____________________________________________________________________________
3.Задание B14 3 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
_____________________________________________________________________________
4.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
___________________________________________________________________________
5. №954б,№950б
Домашнее задание №8
1.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
______________________________________________________________
2.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

3.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

4.Задание B14 Начало формы
Конец формы
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
____________________________________________________________________________
5. №954б,№950б