Задачи, решаемые векторным способом.

Задачи, решаемые векторным способом.
§1.Основные задачи о прямых и плоскостях.
1.Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки М1 и М2 с координатами (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2). Чтобы написать уравнение прямой М1М2, примем М1 за начальную точку, а М1М2 за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают.
Получаем x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1. Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.
В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь (x1,y1) и (x2,y2), и мы получаем x-x1 y-y1x2-x1 y2-y1 =0.
2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть М1, М2,М3 – не лежащие на одной прямой точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) и (x3,y3,z3) в общей декартовой системе координат. Выберем М1 в качестве начальной точки, а М1М2 и М1М3 в качестве направляющих векторов. Тогда получим уравнение плоскости x-x1 y-y1 z-z1x2-x1 y2-y1 z2-z1x3-x1 y3-y1 z3-z1 =0.
3. Параллельность прямой и плоскости.
Пусть известен направляющий вектор прямой a(α1,α2,α3), а плоскость задана одним из уравнений (r-r0, n)=0 или (r-r0,p,q)=0. Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно (a,n)=0 или (a,p,q)=0. Если плоскость задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0, то условию параллельности - Aα1+Bα2+Cα3 =0. Пусть прямая задана системой уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.
Тогда получаем AB1 C1 B2 C2 + BC1 A1 C2 A2 + CA1 B1 A2 B2=0, или A B СA1 B1 C1A2 B2 C2=0.
Все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.
4. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть дана плоскость с уравнением (r-r0, n)=0 и точка М с радиус вектором R. Рассмотрим вектор М0М =R-r0, соединяющий начальную точку плоскости с М(рис 1).Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор n, то есть h=(R-r0, n)n. Если в декартовой прямоугольной системе координат точка М имеет координаты (X,Y,Z), то равенство запишется следующим образом h= AX+BY+CZ+DA2+B2+C296075528702000130111528702000130175028702000127317522987000 М
2063115768350017938751346200011868157937500nh109156514224000R1005840246380001273175206375001091565825500М0-2921024003000r0100584033210500100584050800096075533210500e3 e2
Oe1рис.1
5. Расстояние от точки до прямой.
Если прямая задана уравнением r-r0, a=0, то можем найти расстояние h от точки М с радиус – вектором R до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах R-r0 и a , на длину его основания (рис 2). Результат можно записать формулой h= R-r0. aa.
Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.
Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением Ax+By+C=0 в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть M0(x0,y0) – начальная точка прямой, а M(X,Y)- некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмём вектор a(-B,A). Площадь параллелограмма равна S=X-x0A-Y-y0(-B). Тогда S=AX+BY+C и h = AX+BY+CA2+B2.
175831524130000145351524130000
149860016954500147891516954500103441516954500145351513144500М
h127889024828500 R107950040195500165798512763500161290035687000
М0221615254000010795002540000e3r0e2
107950046355001034415127000Оe1
§2.Доказательства и решения задач.
Задача 1: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Доказательство: Пусть ABCD – данный ромб (рис.3). Введем обозначения AB=a, BC=b. Из определения ромба следует AB=DC=a, AD=BC=b.
По определению суммы и разности векторов AC=a+b; DB=a-b.
Рассмотрим AC*DB=(a+b)(a-b)=a2-b2. Так как стороны ромба равны, то a=b. Следовательно, AC*DB=0. Из последнего условия следует что, AC⊥DB, что и требовалось доказать.
920115212725003962402127250092075021272500A
a396240132715003962401327150092075013271500DB
bC
рис.3
Задача 2: Даны два вектора AB и CD, причем А(-1;2;4), В (-4;5;4), С(-1;-2;2) и D(2;1;5). Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.
Решение: Найдем сначала координаты векторов. AB =(-3;3;0) и CD=(3;3;3).
Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:
AB *CD =(-3)*3 +3*3+0*3 = 0.
Последнее и означает, что AB ⊥CDЗадача 3: Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.
47205901073150032442151600200011582402692400014820902692400026289026924000BB1
ca8629651733550026289011620500324421517335500FD A1
2628906477000AEb C C1
рис.4 рис.5
Решение: Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, b, с:
BC=а, CA= b,AB=с. Тогда AD=AB+BD=AB+12BC=с+12a. Аналогично определяются и другие медианы: ВЕ=a+12b , СF=b+12c.
Так как, в силу замкнутости BC +CA+AB=а+b+с=0б то мы имеем AD+BE+CF=(c+12a)+( a+12b)+( b+12c)=32(a+b+c)=32*0=0. Следовательно, отложив от точки В, вектор B1C1 =ВЕ и от точки С1 – вектор C1D1= СF, мы получим.
A1B1+B1C1+C1D1=AD+BE+CF=0.
А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.
Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.5), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.
Задача 4: Доказать, что для любого треугольника имеет место формула
c2 = a2+b2–2ab*соsС (теорема косинусов)
Решение. Положим: а = СВ, b= CA, с =AB (рис.6).
Тогда с= a–b, и мы имеем (учитывая, что угол между векторами а и b равен С): с2 =(а–b)2 = а2 -2аb + b2 = а2–2аb*соsС+ b2.
10915652705100015811527051000A
cb15811535369500
Ba C
рис.6
Задача 5: Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Решение: Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.7). Имеем векторные равенства AB+AD=AC, AB-AD=DB. Возведем эти равенства в квадрат. Получим: AB2+2ABAD+AD2=AC2, AB2-2ABAD+AD2=DB2Сложим эти равенства почленно. Получим: AB2+AD2=AC2+DB2 так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.
2167890285750001771652857500017716528575000108204028575000BC
17716541846500
A D
рис.7
Задача 6: Даны три точки: А(1;1), В(-1;0), С(0;1). Найдите такую точку D(х;y), чтобы векторы AB и СD были равны.
Решение: Вектор AB имеет координаты (-2, -1). Вектор СD имеет координаты (х–0, y–1). Так как AB = СD , то х–0 = -2, y–1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х =-2, y = 0.
Задача 7: Даны два вектора AB и СD, причем А(-1;2;4), В(-4;5;4), С(-1;-2;2), D (2;1;5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.
Решение: Найдем сначала координаты векторов. AB (-3;3;0) и СD (3;3;3).
Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:
AB *СD = (-3)*3 + 3*3 + 0*3 = 0.
Последнее означает, что AB ⊥СDЗадача 8: Доказать, что прямая проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
Доказательство: Пусть ABCD – данная трапеция, М и N – середины оснований BC и AD, а O-точка пересечения прямых AB и CD (рис.8). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.
Треугольник OAD и OBC подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому OAOB=ODOC=k. Так как OB↑↑OA и OC↑↑OD, то OA=kOB , OD=kOC. Точка М – середина отрезка ВС, поэтому OM=12(OB+OC). Аналогично ON=12(OA+OD).
Подставив в это выражение равенство для OA и OD, получим:
ON=k12OB+OC=kOM.
Отсюда следует, что векторы ON и OM коллинеарны, и , значит, точка О лежит на прямой MN.
2037080194183000200469519418300095504018942050089154018942050015754351170305009550401170305009550401778000891540177800014960601981835001305560125793500100330017653000194945012579350043053019818350064516012579350010033001765300043053013055600064516017653000 О
BM C
AN D
рис.8
Задача 9: Доказать что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство: Пусть MN – средняя линия трапеции ABCD (рис.9). Докажем, что MN∥AD и MN=AD+BC2.
По правилу многоугольника MN=MB+BC+CN и MN=MA+AD+DN. Сложив эти равенства получим:
2MN=(MB+MA)+(BC+AD)+(CN+DN).Но M и N- середины сторон AB и CD, поэтому MB+MA=0 и CN+DN=0. Следовательно, 2MN=(BC+AD), откуда MN=12(BC+AD).
Так как векторы AD и BC сонаправлены, то векторы MN и AD также сонаправлены, а длина вектора (BC+AD) равна AD+BC. Отсюда следует MN∥AD и MN=AD+BC2, что и требовалось доказать.
2282190352425003486153524250052959035242500BC
228219023812500233934029527500348615352425002606040771525001485901600200001485907715250034861577152500
MN
26727154699000260604018415001676403746500
AD
рис.9