Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для обучающихся НПО 1,2 курсы

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ТРЕБОВАНИЯ
Группы, для которых проводится внутритехникумовский этап Олимпиады – ПК-15-1-К, С-15-9-К, С-14-8-К, А-14-7-К, ПК-14-5-К
1. Цель проведения Олимпиады — воспитание в будущих специалистах таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях.
2. Продолжительность Олимпиады – 3 астрономических часа.
3. Требования к проверке работ:
1) Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в работе. В то же время обязательным является снижение оценок за математические, особенно логические ошибки;
2) для объективности проведения Олимпиады обязательной является шифровка работ, проводимая членами оргкомитета олимпиады;
3) решение каждой задачи оценивается Жюри в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной предметно-методической комиссией:
Баллы Правильность (ошибочность) решения.
7 Полное верное решение.
6-7 Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6 Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.
3-4 Верно рассмотрен один из существенных случаев.
2 Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1 Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения.
0 Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0 Решение отсутствует.
Дополнение: максимальная оценка за каждую задачу – 7 баллов, независимо от количества пунктов в ней (таким образом, общая максимальная оценка участника за 5 задач может быть 35 баллов). Если в задаче два пункта, то максимальная оценка за решение лишь одного пункта – 4 балла.
4) Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик рассматривается только в случае ошибочного переноса записей из черновика в чистовик;
5) каждая работа должна быть оценена двумя членами Жюри. В случае расхождения их оценок вопрос об окончательном определении баллов, выставляемых за решение указанной задачи, определяется председателем Жюри;
6) результаты проверки всех работ участников Олимпиады члены Жюри заносят в итоговую таблицу.
4. Требования к порядку проведения Олимпиады:
1) задания каждой возрастной параллели составляются в одном варианте, поэтому участники должны сидеть по одному;
2) участники выполняют задания в тетрадях в клетку, каждый лист имеет угловой штамп техникума;
3) во время туров участникам запрещается пользоваться справочной литературой, электронными вычислительными средствами или средствами связи;
4) задания Олимпиады тиражируются в количестве, соответствующем количеству участников Олимпиады;
5) перед началом тура участник заполняет титульный лист угловой штамп, указывая на нём свои данные. Категорически запрещается делать какие-либо записи, указывающие на авторство работы, во внутренней части работы.
6) участники выполняют работы ручками с синими или фиолетовыми чернилами. Запрещается использование для записи решений ручек с красными или зелеными чернилами.
Задачи отборочного тура олимпиады по математике
НПО 1 КУРС: ПК-15-1-К, С-15-9-К
1.Сократите дробь:
x4-3x2+1x2-x-12.Найдите такие a и b, при которых для всех допустимых значений x верно
ax2-3x-bx-1=2x-13.Поставьте знак "+" между некоторыми цифрами числа 987 654 321, чтобы в сумме получилось 99. Сколько решений имеет задача?
4.Собака, находясь в точке A, погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30м от собаки. Скачок собаки равен 2м, скачок лисицы – 1м. Собака делает два скачка в то время когда лисица делает 3 скачка. На каком расстоянии от точки A собака догонит лисицу?
1524086995

5.Два человека, у которых есть один велосипед, должны попасть из пункта A в пункт B, находящийся на расстоянии 40км от A. Первый передвигается пешком со скоростью 4км/ч, на велосипеде – 30 км/ч. Второй – пешком со скоростью 6км/ч, на велосипеде – 20км/ч. За какое наименьшее время они могут добраться в пункт B(велосипед можно оставлять без присмотра)? 6.(Альтернативное задание). В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45см?

Решение:
1. Указание.
x4-3x2+1x2-x-1=x4-2x2-x2+1x2-x-1=x2-12-x2x2-x-1=x2-1-xx2-1+xx2-x-1=x2-1+x2. Указание.
Допустимыми значениями x являются все числа, кроме x=1.
ax2-3x-b=x-12x-1ax2-3x-b=2x2-x-2x+1ax2-3x-b=2x2-3x+1Из последнего равенства следует, что a=2, b=-1 .
3. Указание.
9+8+7+65+4+3+2+1=99;
9+8+7+6+5+43+21=99.
4. Указание.
Обозначим BC за x м, тогда (30+x)м – прошла собака до точки C, где –момент, когда собака догнала лисицу, x м – прошла лисица до точки C.
За единицу времени собака проходит 4м, а лисица – 3м, время движения у них одно и то же. Значит, возможно составить уравнение:
30+x4=x3,а отсюда x=90 м. Следовательно, расстояние AC, равное AB+BC, это AC=AB+BC=30+90=120 м.Ответ: 120м.
5. Указание.
Пусть первый человек пешком пройдет x километров, а на велосипеде проедет (40-x) километров. Тогда второй человек пешком пройдет (40-x) километров, а на велосипеде проедет x километров. Учитывая, что наименьшее время они затратят, если придут в пункт B одновременно, составим уравнение
x4+40-x30=40-x6+x20,откуда x=16 км.
Искомое время x4+40-x30=164+40-1630=445 ч.Ответ: 4 ч 48 мин.
6. Указание.
∆ABC – равнобедренный, отсюда ∠A=∠C=12180°-90°=45°∆AFK и ∆CEL- равнобедренные, так как ∠AKF=180°-∠F-∠A=180°-90°-45°=45°=∠A и аналогично ∠ELK=∠C. Поэтому AF=FK и LE=EC.
К тому же KF=LE (стороны прямоугольника), так что AF=KF=LE=EC.
Пусть FK=2x, a KL=5x. Тогда, AF=EC=FK=2x и FE=KL=5x. ПолучимAC=AF+FE+EC=2x+5x+2x=9x=45; откуда
x=5. Далее, FK=2x=10 см; KL=5x=25 см.
Ответ: 10 см; 25см.
Задачи отборочного тура олимпиады по математике
НПО 2 КУРС: ПК -14-5-К, С-14-8-К, А-14-7-К.
1.Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?
2.В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.
3.Дан треугольник ABC. Точка M лежит на стороне BC. Известно, что AB = BM и AM = MC, угол B равен 100. Найдите остальные углы треугольника ABC.
4.Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей?
5.а) Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они имеют одинаковые остатки при делении на 10, если известно, что числа и имеют одинаковые остатки при делении на 10?
б) Даны натуральные числа a, b и с. Известно, что у чисел 2a + b, 2b + c и 2c + a остатки при делении на 10 одинаковые. Докажите, что у чисел a, b и с остатки при делении на 10 тоже одинаковые.
Решение:
1.Ответ. 7,5 м..  Указание: . Пусть v (м/час) – скорость машин до знака, u (м/час) – скорость машин после знака. Вторая машина проедет знак позже первой на 10/v (час). За это время первая машина проедет 10u/v (метров) =106/8 =7.5 метров. Этот интервал и будет сохраняться после знака.
2.Ответ. 727 023. 
Указание. Заметим, что зачёркнута была последняя цифра, т.к. в противном случае после вычитания последняя цифра числа была бы нулевой. Пусть y – последняя цифра исходного числа, x – пятизначное число после зачёркивания. Тогда полученное число равно 10x+y–x = 9x+y =654 321. Деля это число на 9 с остатком (и учитывая, что y не превосходит 9), получим остаток y=3 и частное x=727 02.
3. Ответ. угол А=60, угол В= 20. 
Указание. Треугольники ABM и AMC – равнобедренные, поэтому углы при их основаниях равны. Обозначим эти углы x и y соответственно. Тогда по свойству внешнего угла AMB для треугольника AMC, имеем x=2y. Отсюда сумма углов A и C равна 4y=180–100, значит у=20.
4. Ответ. 14.. 
Указание. Ладью на шахматной доске назовём вертикальной, если на её вертикали нет других ладей. Аналогично, определим горизонтальные ладьи (в принципе, ладья может оказаться одновременно горизонтальной и вертикальной). Если имеется 8 вертикальных ладей, то больше на доске ладей нет (иначе новая ладья попала бы на чью-нибудь вертикаль из данных восьми ладей). Аналогично, если есть 8 горизонтальных ладей, то больше ладей нет. Покажем, что можно поставить 7 горизонтальных и 7 вертикальных ладей, что даст максимальное количество – 14 ладей. Действительно, их можно расположить на первой горизонтали и первой вертикали, кроме угловой клетки a1 (т.е. ладьи занимают клетки a2, a3,…,a8, b1, c1,…, h1).
5. Ответ. а) Да, обязательно. б) нет
Указание.
а) Вычитая эти два числа и , получаем, что разность a– b делится на 10, т.е. a и b оканчиваются на одну и ту же цифру.
б) Пусть s=a+b+c. Уменьшая каждое из чисел 2a + b, 2b + c и 2c + a на s, получим числа a–с, b–a, c–b (некоторые из них могут быть отрицательными), причём у этих чисел одинаковый остаток, скажем x, при делении на 10. Заметим, что сумма чисел a-b, b-c, c-a равна нулю, а с другой стороны, сумма их остатков при делении на 10 равна 3x. Значит, x=0.