Презентация по дисциплине Элементы математической логики на тему Общие понятия теории множеств

КГБ ПОУ «Хабаровский машиностроительный техникум» Разработчик: Ермолко Г.С. Множество есть многое мыслимое как единое целое. Георг Кантор Цели занятия: Сформировать представление о «Теории множеств» и ее взаимосвязи с другими науками;Изучить понятие множества и его элементов; Рассмотреть способы задания и виды множеств;Научиться выполнять простейшие операций над множествами и рассмотреть их свойства;Научиться решать простейшие задачи теории множеств. Теория множеств Математика Математическая логика Архитектура аппаратных средств Основы алгоритмизации и программирования Основы безопасности компьютерных сетей Компьютерное моделирование и др. Понятие множества Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку:множество учащихся класса, множество букв алфавита,множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д.. Коллекция марок Набор карандашей Стая птиц Чайный сервиз Букет цветов Стадо коров Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I - множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел. Обозначения некоторых числовых множеств: Элемент множества Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c… z.Если элемент х принадлежит множеству М, то записывают хϵМ, если не принадлежит – x M. Задание Множества конечные бесконечные пустые Множество месяцев в году Множество точек на прямой Множество простых чисел на [14;16],обозначаетсяш Виды множеств Задание Определите вид множества:а) множество чисел, кратных 13;б) множество делителей числа 15;в) множество деревьев в лесу;г) множество натуральных чисел;д) множество лифтов в техникуме;е) множество корней уравнения х + 3 = 11;ж) множество решений неравенства х + 1 < 3. Способы задания множеств 1. Перечислить все его элементы.2. Указать характеристическое свойство элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.«Множество А натуральных чисел, меньших 7»: А = {x | x Є N и x<7}В={х │ х=2k, k Є N}. Подмножество Множество В является подмножеством множества А (ВA), если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Считают, что:Пустое множество считают подмножеством любого множества.Любое множество является подмножеством самого себя. Пример 1. Даны множества, определить являются ли они подмножествами:C={4, 5, 7, 9,11}D={5, 7,11}DC, СD2. Даны множества, определить являются ли они подмножествами:F={к, а, р, т}G={a, к, р}GF, GF Операции над множествами Определение объединения Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х׀ хА или хВ}. Обозначается, АВ. Пример 1. Даны множества, найдите их объединение:C={0, 5, 12, 16,18}D={5, 7,20}CD={0, 5, 7, 12, 16, 18, 20}2. Даны множества, найдите их объединение:F={п, о, е, з, д}G={е, з, д, а}FG={п, о, е, з, д, а} Определение пересечения Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х ׀ хА и хВ}. Обозначается А∩В. Пример 1. Даны множества, найдите их пересечение:C={0, 5, 12, 16,18}D={5, 7,20}C∩D={5}2. Даны множества, найдите их пересечение:F={п, о, е, з, д}G={е, з, д, а}F∩G={е, з, д} Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х ׀ хА и х∉В}. Обозначается, А\В.В случае, когда В является подмножеством А, т.е. ВА, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А). Определение разности Пример 1. Даны множества, найдите их разность:C={0, 5, 12, 16,18}D={5, 7,20}C\D={0, 12, 16, 18}2. Даны множества, найдите их разность :F={п, о, е, з, д}G={е, з, д, а}F\G={п, о} Определение дополнения Дополнением множества А называется разность U\А.Обозначается, и читается «не А» . Иначе, дополнением множества А называется множество , состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А. Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают U. При работе с числовыми множествами в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел. Определение универсального множества Пример 1. Даны множества, найдите дополнение множества С:C={0, 5, 12, 16,18}D={5, 12}C\D={0, 16, 18}2. Даны множества, найдите дополнение множества A:U-все буквы русского алфавитаA- согласные буквыU\A - гласные буквы Свойства операций над множествами 1. Свойство поглощения:AA=A, A∩A=A2. Пересечение и объединение множеств коммутативно:AB=BA; A∩B=B∩A 3. Пересечение и объединение множеств ассоциативно:(AB)С=A(BC); (A∩B)∩C=A∩(B∩C)4. Для любых множеств A, B справедливо: если BﬤA, то A∩B=A и AB=B Свойства операций над множествами 5. Для любых множеств A, B и С справедливы свойства дистрибутивности:A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)A(B∩C)=(AB)∩(AC)6. Свойства пустого множества:Aш=AA∩ш=ш7. Законы де Моргана: Вопросы для закрепления: Дайте определение понятию «множество».Какие виды множеств вы знаете?Какими способами можно задать множество?Какие операции выполняются над множествами?Какими свойствами обладают операции над множествами? Домашнее задание Задайте произвольно множества A, B, C и проверьте выполнение свойств операций над множествами.