Методическое пособие для проведения практических занятий по дисциплине Элементы высшей математики
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФГОУ СПО
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРОМЫШЛЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Н.А. Проскурякова
Сборник практических заданий
по дисциплине
«Элементы высшей математики»
для студентов специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем
Воронеж 2007
Проскурякова Н.А. Сборник практических заданий по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем. - Воронеж: Воронеж. гос. пром.-эконом. колледж, 2007 . – 26 с.
Данное пособие содержит практические работы по дисциплине «Элементы высшей математики» и предназначено для организации практических занятий по указанной выше дисциплине для студентов специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.
Печатается по решению методического совета Воронежского государственного промышленно-экономического колледжа.
© Воронежский государственный
промышленно-экономический колледж, 2007
Содержание
13 TOC \o "1-1" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc177956633" 14Практическая работа № 1 13 PAGEREF _Toc177956633 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc177956634" 14Практическая работа № 2 13 PAGEREF _Toc177956634 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc177956635" 14Практическая работа № 3 13 PAGEREF _Toc177956635 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc177956636" 14Практическая работа № 4 13 PAGEREF _Toc177956636 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc177956637" 14Практическая работа № 5 13 PAGEREF _Toc177956637 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc177956640" 14Практическая работа № 6 13 PAGEREF _Toc177956640 \h 14111515
13 LINK \l "_Toc177956642" 14Практическая работа № 7 13 PAGEREF _Toc177956642 \h 14141515
13 LINK \l "_Toc177956643" 14Практическая работа № 8 13 PAGEREF _Toc177956643 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc177956644" 14Практическая работа № 9 13 PAGEREF _Toc177956644 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc177956645" 14Практическая работа № 10 13 PAGEREF _Toc177956645 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc177956646" 14Практическая работа № 11 13 PAGEREF _Toc177956646 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc177956647" 14Практическая работа № 12 13 PAGEREF _Toc177956647 \h 14211515
13 LINK \l "_Toc177956648" 14Практическая работа № 13 13 PAGEREF _Toc177956648 \h 14221515
13 LINK \l "_Toc177956649" 14Практическая работа № 14 13 PAGEREF _Toc177956649 \h 14231515
13 LINK \l "_Toc177956650" 14Практическая работа № 15 13 PAGEREF _Toc177956650 \h 14251515
13 LINK \l "_Toc177956651" 14Практическая работа № 16 13 PAGEREF _Toc177956651 \h 14261515
13 LINK \l "_Toc177956652" 14Практическая работа № 17 13 PAGEREF _Toc177956652 \h 14271515
13 LINK \l "_Toc177956653" 14Практическая работа № 18 13 PAGEREF _Toc177956653 \h 14281515
13 LINK \l "_Toc177956654" 14Практическая работа № 19 13 PAGEREF _Toc177956654 \h 14291515
13 LINK \l "_Toc177956655" 14Практическая работа № 20 13 PAGEREF _Toc177956655 \h 14301515
13 LINK \l "_Toc177956656" 14Практическая работа № 21 13 PAGEREF _Toc177956656 \h 14321515
13 LINK \l "_Toc177956657" 14Практическая работа № 22 13 PAGEREF _Toc177956657 \h 14331515
15
Практическая работа № 1
Операции над матрицами. Вычисление определителей
Цель работы: Проверить умения в вычислении определителей 3-го порядка, в выполнении действий над матрицами».
Обучающая часть.
1) Действия над матрицами (сложение, умножение матрицы на число, умножение матриц.).
2) Вычисление определителей 3-го порядка (по формуле, разложением по элементам строки или столбца).
II. Контролирующая часть.
I вариант
Выполните действия: а) А.В+С; б) С+13 EMBED Equation.3 1415.А; в) С – D; если
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; при 13 EMBED Equation.3 1415= -0,5. 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение.13 EMBED Equation.3 1415;
II вариант
Выполните действия: а) В.С-А; б) А+13 EMBED Equation.3 1415.D; в) D.В; если
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; при 13 EMBED Equation.3 1415= 0,5
Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415;
Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 2
Обратная матрица. Ранг матрицы
Цель работы: Закончить формирование умений в нахождении матрицы обратной данной и в вычислении ранга матрицы.
I. Обучающая часть:
1. Матрицы. Операции над матрицами.
2. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразование матрицы.
3. Определители 2го и 3го порядка. Свойства определителя.
4. Минор и алгебраическое дополнение определителя 13 EMBED Equation.3 1415.
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Найдите матрицу, обратную данной:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите матрицу обратную данной и проверьте равенство: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Найдите ранг матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Сделайте вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Найдите матрицу, обратную данной:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите матрицу обратную данной и проверьте равенство: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Найдите ранг матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Сделайте вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 3
Решение системы линейных уравнений
Цель работы: Закончить формирование умений в решении системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Сравнить методы Крамера и Гаусса.
I. Обучающая часть:
1.Определитель третьего порядка. Его свойства.
2.Матрица. Линейные преобразования матрицы. Ступенчатая матрица.
3.Система линейных уравнений с тремя неизвестными.
4.Решение системы линейных уравнений методами Крамера и Гаусса
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Решите систему уравнений методом Крамера:13 EMBED Equation.3 1415
2.Решитн систему уравнений методом Гаусса: 13 EMBED Equation.3 1415
3.Решите систему уравнений: а)13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
4.Сделайте вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Решите систему уравнений методом Крамера:13 EMBED Equation.3 1415
2.Решитн систему уравнений методом Гаусса: 13 EMBED Equation.3 1415
3.Решите систему уравнений: а)13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
4.Сделайте вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 4
Операции над векторами
Цель работы: Продолжить формирование умений в вычислении скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, в нахождение координат векторов.
I. Обучающая часть:
1. Вектор. Координаты вектора.
2. Скалярное произведение векторов.
3. Векторное произведение векторов. Площадь параллелограмма.
4. Смешанное произведение векторов. Объём параллелепипеда.
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415, если: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Определите взаимное расположение векторов: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Найдите объём параллелепипеда 13 EMBED Equation.3 1415, если: 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Сделайте вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415, если: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Принадлежат ли одной плоскости точки: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Найдите объём пирамиды 13 EMBED Equation.3 1415, если: 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Сделайте вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 5
Составление уравнений прямых и кривых второго порядка.
Цель работы: Закончить формирование умений в вычислении параметров прямых и кривых второго порядка.
I. Обучающая часть:
1. Прямая на плоскости (уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, взаимное расположение прямых на плоскости).
2. Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Две стороны исходящие из одной вершины параллелограмма, заданны соответствующими уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; координаты противоположной вершины параллелограмма 13 EMBED Equation.3 1415. Составьте уравнение двух других сторон параллелограмма.
2. Составьте уравнение окружности, касающейся оси координат в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и имеющей радиус равный 5.
3. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси 13 EMBED Equation.3 1415, если он проходит через точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415 и проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415. И постройте её график.
5. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Две противоположные вершины квадрата находятся в точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Составьте уравнения диагоналей этого квадрата.
2. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Составьте уравнение гиперболы по уравнениям её асимптот и координатам точки, через которую она проходит 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415 и проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415. И постройте её график.
5. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 6
Действия над комплексными числами
Цель работы: Закрепить умения в выполнении действий над комплексными числами.
Обучающая часть
1 Комплексное число.
2 Комплексное число в алгебраической форме.
3 Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, деление, возведение в степень).
II. Контролирующая часть
I вариант
1. Выполните действия:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
Выполните действия:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 7
Тригонометрическая и показательная
формы комплексного числа
Цель работы: Продолжить формирование умений перехода от комплексного числа в алгебраической форме к его записи в тригонометрической и показательной формах.
І. Обучающая часть:
1 Комплексное число.
2 Алгебраическая форма комплексного числа.
3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
4 Показательная форма комплексного числа.
ІІ. Контролирующая часть:
І вариант
1. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 *13 EMBED Equation.3 1415.
2. Представьте в показательной форме следующие числа:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415 *13 EMBED Equation.3 1415.
3. Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Запишите вывод о проделанной работе.
ІІ вариант
1. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 *13 EMBED Equation.3 1415.
2. Представьте в показательной форме следующие числа:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415 *13 EMBED Equation.3 1415.
3. Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 8
Вычисление пределов
Цель работы: Продолжить формирование умений в вычислении пределов.
I. Обучающая часть. 1) Понятие предела функции в точке.
2) Теорема о пределах
3) Неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
4) Первый и второй замечательный пределы.
5) Правило Лопиталя.
II. Контролирующая часть.13 EMBED Equation.3 1415
В-I
1. Вычислите предел функции
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415,
в) 13 EMBED Equation.3 1415,
г) 13 EMBED Equation.3 1415,
д) 13 EMBED Equation.3 1415,
е) 13 EMBED Equation.3 1415. 2. Вычислите предел функции
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Вычислите предел функции с помощью правила Лопиталя.
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1. Вычислите предел функции
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415,
в) 13 EMBED Equation.3 1415,
г) 13 EMBED Equation.3 1415,
д) 13 EMBED Equation.3 1415,
е) 13 EMBED Equation.3 1415. 2. Вычислите предел функции
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Вычислите предел функции с помощью правила Лопиталя.
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе Практическая работа № 9
Вычисление односторонних пределов
Цель работы: Закончить формирование умений в вычислении односторонних пределов, в определении точек разрыва функции и их характера.
I. Обучающая часть:
1 Графики элементарных функций.
2 Понятие левого и правого пределов функции.
3 Точка разрыва. Разрыв I-го и II-го рода.
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Постройте график функции. Найдите точки разрыва функции и исследуйте их характер.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415;
ж) 13 EMBED Equation.3 1415; з) 13 EMBED Equation.3 1415;
и) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Постройте график функции. Найдите точки разрыва функции и исследуйте их характер.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415;
ж) 13 EMBED Equation.3 1415; з) 13 EMBED Equation.3 1415;
и) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 10
Вычисление производной сложной функции
Цель работы: Закончить формирование умений в применении правил дифференцирования при вычислении производной функции. Продолжить формирование умений в вычислении производной сложной функции.
I. Обучающая часть:
1. Правила дифференцирования.
2. Таблица производных.
II. Контролирующая часть:
I вариант
1.Найдите производные следующих функций, используя, правила дифференцирования:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите производные следующих функций:
а)13 EMBED Equation.3 1415 в)13 EMBED Equation.3 1415
б)13 EMBED Equation.3 1415 г)13 EMBED Equation.3 1415
3. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1.Найдите производные следующих функций, используя, правила дифференцирования:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите производные следующих функций:
а)13 EMBED Equation.3 1415 в)13 EMBED Equation.3 1415
б)13 EMBED Equation.3 1415 г)13 EMBED Equation.3 1415
3. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 11
Производные и дифференциалы высших порядков.
Цель работы: Продолжить формирование умений в нахождении производной и дифференциалов высших порядков.
I. Обучающая часть: 1. Производные высших порядков.
2. Дифференциалы высших порядков.
3. Правила дифференцирования.
4. Таблица производных.
II. Контролирующая часть:
В – I
1. Вычислите производную второго порядка:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите дифференциалы второго порядка:
а) 13 EMBED Equation.3 1415x г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Запишите вывод о проделанной работе.
В – II
1. Вычислите производную второго порядка:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите дифференциалы второго порядка:
а) 13 EMBED Equation.3 1415x г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 12
Полное исследование функции. Построение графиков
Цель работы: Продолжить формирование умений применять приложения производной к исследованию функции и на основании проведенного исследования выполнять построение графика.
I. Обучающая часть:
1. Производная. Правила дифференцирования.
2. Признак монотонности.
3. Необходимое и достаточное условия локального экстремума.
4. Направление выпуклость графика функции. Точки перегиба.
5. Асимптоты графика функции.
II. Контролирующая часть:
I вариант
Исследуйте функцию методами дифференциального исчисления.
На основании результатов исследования постройте графики функций.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
Исследуйте функцию методами дифференциального исчисления.
На основании результатов исследования постройте графики функций.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED E
·quation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 13
Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
Цель работы: Закончить формирование умений в вычислении неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования и интегрированием заменой переменной. Продолжить формирование умений в интегрировании неопределенного интеграла по частям.
I. Обучающая часть:
1. Неопределенный интеграл. Его свойства.
2. Таблица интегралов.
3. Методы интегрирования:
а) непосредственное,
б) заменой переменной,
в) по частям.
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Вычислите неопределенный интеграл, используя непосредственное интегрирование:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в)13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Вычислите неопределенный интеграл, используя метод замены переменной:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Вычислите неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1. Вычислите неопределенный интеграл, используя непосредственное интегрирование:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в)13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Вычислите неопределенный интеграл, используя метод замены переменной:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Вычислите неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 14
Интегрирование рациональных и иррациональных функций. Универсальная подстановка
Цель работы: Продолжить формирование умений в вычислении неопределенных интегралов.
I. Обучающая часть:
1. Рациональная функция.
2. Деление многочлена на многочлен.
3. Элементарные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
4. Интегрирование функций: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Таблица интегралов.
6. Свойства интегралов.
7. Методы интегрирования.
II. Контролирующая часть.
I вариант
Вычислите неопределенный интеграл:
1. 13 EMBED Equation.3 1415; 2. 13 EMBED Equation.3 1415; 3. 13 EMBED Equation.3 1415; 4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
*6. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
Вычислите неопределенный интеграл:
1. 13 EMBED Equation.3 1415; 2. 13 EMBED Equation.3 1415; 3. 13 EMBED Equation.3 1415; 4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
*6. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 15
Вычисление определенных интегралов
Цель работы: Продолжить формирование умений в вычислении определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница, методом непосредственного интегрирования, методом замены переменной и интегрированием по частям.
I. Обучающая часть:
1. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.
2. Таблица основных интегралов.
3. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Методы интегрирования определенного Интеграла (непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям).
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Вычислите определенный интеграл методом замены переменной интегрирования:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Используя формулу интегрирования по частям вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Вычислите определенный интеграл методом замены переменной интегрирования:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Используя формулу интегрирования по частям вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 16
Вычисление площадей фигур и объемов тел вращения
Цель работы: Закончить формирование умений в вычислении определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
I. Обучающая часть:
1. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.
2. Таблица основных интегралов.
3. Методы интегрирования.
4. Формула Ньютона-Лейбница.
5. Площадь фигуры, ограниченной графиками функций.
II. Контролирующая часть:
I вариант
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. б) , 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 17
Нахождение области определения функции нескольких переменных
Цель работы: Продолжить формирование умений в построении графиков функций и решении неравенств.
I. Обучающая часть. 1. Уравнения прямых и кривых второго порядка.
2. Неравенства. Система неравенств.
II. Контролирующая часть.13 EMBED Equation.3 1415
В-I
1. Найдите область определения функции:
а) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите с помощью систем неравенств замкнутую область D, заданную следующим образом:
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1. Найдите область определения функции:
а) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите с помощью систем неравенств замкнутую область D, заданную следующим образом:
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 18
Вычисление частных производных и дифференцирование функций нескольких переменных
Цель работы: Закончить формирование умений в вычислении частных производных функции двух переменных, в нахождении дифференциала функции нескольких переменных.
I. Обучающая часть:
1. Функция нескольких переменных;
2. Частные производные функции 13 EMBED Equation.3 1415;
3. Дифференциал функции нескольких переменных;
4. Таблица производных;
5. Правила дифференцирования.
II. Контролирующая часть:
В-I
1. Найдите частные производные следующих функций:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите дифференциалы следующих функций:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1. Найдите частные производные следующих функций:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите дифференциалы следующих функций:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 19
Вычисление двойных интегралов
Цель работы: Продолжить формирование умений в вычислении двойного интеграла.
І. Обучающая часть:
1 Таблица интегралов.
2 Свойства интегралов.
3 Формула Ньютона – Лейбница.
4 Двойной интеграл. Повторный интеграл.
ІІ. Контролирующая часть:
I вариант
1. Вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д)13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415; ж)13 EMBED Equation.3 1415; з)13 EMBED Equation.3 1415; и)13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415; ж)13 EMBED Equation.3 1415; з)13 EMBED Equation.3 1415; и)13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 20
Приложение двойного интеграла
Цель работы: Закончить формирование умений в вычислении двойного интеграла.
I. Обучающая часть:
1. Таблица интегралов. Свойства интегралов.
2. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Повторный интеграл.
4. Геометрическое приложение двойного интеграла (площадь области, объем цилиндрического тела).
II. Контролирующая часть
В-I
1. Найдите площадь области, ограниченной линиями:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1. Найдите площадь области, ограниченной линиями:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 21
Ряд с неотрицательными членами
Цель работы: Продолжить формирование умений находить сумму ряда и исследовать ряд на сходимость.
I. Обучающая часть:
1. Числовой ряд. Свойства сходящихся рядов.
2. Сумма ряда.
3. Достаточные условия сходимости ряда (признак сравнения, Признак Даламбера, интегральный признак сходимости).
II. Контролирующая часть:
В-I
1. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите сумму ряда: 13 EMBED Equation.3 1415
3. Исследуйте ряд на сходимость:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) По признаку Даламбера 13 EMBED Equation.3 1415;
в) По интегральному признаку 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите сумму ряда: 13 EMBED Equation.3 1415
3. Исследуйте ряд на сходимость:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) По признаку Даламбера 13 EMBED Equation.3 1415;
в) По интегральному признаку 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 22
Исследование сходимости знакочередующихся рядов
Цель работы: Продолжить формирование умений в исследование ряда на сходимость.
I. Обучающая часть:
1. Признаки сходимости ряда (необходимый, сравнения, Даламбера, интегральный, Лейбница).
2. Условносходящийся ряд.
3. Абсолютносходящийся ряд.
4. Предел. Свойства пределов. Неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415.
II. Контролирующая часть.
В-I
1. Исследовать на сходимость (условную и абсолютную) следующие ряды:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415;
ж) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1. Исследовать на сходимость (условную и абсолютную) следующие ряды:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415;
ж) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 23
Степенные ряды
Цель работы: Продолжить формирование умений в исследовании степенного ряда на сходимость.
І. Обучающая часть:
1. Числовой ряд.
2 .Признаки сходимости знакоположительного ряда (признаки сравнения, Даламбера, интегральный).
3 .Признак Лейбница.
4 .Радиус сходимости степенного ряда. Промежуток сходимости степенного ряда.
5 .Разложение функции в степенной ряд (Ряд Тейлора, Маклорена, Фурье).
ІІ. Контролирующая часть:
I вариант
1. Исследуйте ряд 13 EMBED Equation.3 1415 на сходимость в точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите промежуток сходимости ряда:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Разложите функцию 13 EMBED Equation.3 1415 по степеням 13 EMBED Equation.3 1415 в ряд Тейлора.
4. Разложите функцию 13 EMBED Equation.3 1415 в ряд Маклорена.
5. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Исследуйте ряд 13 EMBED Equation.3 1415 на сходимость в точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите промежуток сходимости ряда:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Разложите функцию 13 EMBED Equation.3 1415 по степеням 13 EMBED Equation.3 1415 в ряд Тейлора.
4. Разложите функцию 13 EMBED Equation.3 1415 в ряд Маклорена.
5.Запишите вывод о проделанной работе
Практическая работа № 24
Дифференциальные уравнения первого порядка
Цель работы: Продолжить формирование умений в решении дифференциальных уравнений.
I Обучающая часть:
1.Дифференциальное уравнение первого порядка.
2.Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
3.Дифференциальное линейное (однородное, неоднородное) уравнение.
4.Общее решение дифференциального уравнения.
5.Частное решение дифференциального уравнения.
II.Контролирующая часть:
В-I
Поверьте подстановкой, что дифференциальное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, имеет общим решением 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите общее решение уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найдите частное решение уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Запишите вывод о проделанной работе.
В-II
1.Поверьте подстановкой, что дифференциальное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, имеет общим решением 13 EMBED Equation.3 1415.
2.Найдите общее решение уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3.Найдите частное решение уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4.Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа № 25
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Цель работы: Продолжить формирование умений в решении дифференциальных уравнений.
І. Обучающая часть:
1.Дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
2. Общее решение дифференциального уравнения.
3. Частное решение дифференциального уравнения.
4. Квадратное уравнение. Методы его решения (через дискриминант, по теореме обратной теореме Виета, разложением на множители).
ІІ. Контролирующая часть:
В-I
1. Найдите общее решение дифференциального уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите частное решение уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. Запишите вывод о проделанной работе.
II вариант
1. Найдите общее решение дифференциального уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите частное решение уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. Запишите вывод о проделанной работе.
Практическая работа №26
Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Цель работы: Продолжить формирование умений в решении дифференциальных уравнений.
І. Обучающая часть: 1) Однородные
дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами.
2) Общее решение дифференциального
уравнения.
3) Частное решение дифференциального
уравнения.
4) Квадратное уравнение. Методы его решения
(через дискриминант, по теореме обратной
теореме Виета, разложением на множители).
І І. Контролирующая часть:
В-I
1. Найдите общее решение дифференциального уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
В-II
1. Найдите общее решение дифференциального уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Запишите вывод о проделанной работе.
Сборник практических заданий
по дисциплине
«Элементы высшей математики»
для студентов специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем
Составила: Проскурякова Н.А.
ФГОУ СПО
Воронежский государственный
промышленно-экономический колледж
г. Воронеж, Московский проспект, д.22
13PAGE 15
13PAGE 143615
"$*,R
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native