Методическое пособие. Элементы линейной алгебры
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Чайковский техникум промышленных технологий и управления»
Юркова Светлана Николаевна
Элементы линейной алгебры
Методическое пособие
для студентов электротехнических специальностей.
2015
г. Чайковский
Содержание
1.
Пояснительная записка.
3
2.
Основные теоретические положения..
4
2.1.
Определители и их свойства
4
2.2.
Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Метод Крамера
7
3.
Рекомендуемая литература
8
4.
Задачи для самостоятельного решения
9
5.
Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения
11
1. Пояснительная записка
Изучение дисциплин профессионального цикла студентами, обучающимися по электротехническим специальностям опирается, в основном, на знания «школьного» курса математики. Однако, при расчете электрических цепей возникает необходимость решения большого числа систем линейных алгебраических уравнений. В связи с этим в курсе «Математика» целесообразно рассмотреть тему «Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений».
Данное методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по освоению методов вычисления определителей и решению систем и направлено на формирование:
умения: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
знаний:
значений математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
основных математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
основные понятия линейной алгебры.
Порядок работы:
Изучить теоретические положения: сделать краткий конспект, разобрать приведенные примеры.
Выполнить указанные преподавателем задания для самостоятельной работы.
Объем времени, отведенный на выполнение самостоятельной работы – 10 ч.
2. Основные теоретические положения
2.1. Определители и их свойства.
Определителем второго порядка называется число, первоначально записанное в виде таблицы и вычисляемое по следующему правилу: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Определителем третьего порядка называется число, первоначально записанное в форме таблицы у которой три строки и три столбца и которая вычисляется методом диагоналей по следующему принципу:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2: 13 EMBED Equation.3 1415
Примечание:
Иногда удобно элементы определителя обозначать одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает на номер строки, а второй - на номер столбца, на пересечении которых стоит взятый элемент.
Пример 3: 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть дан определитель 13 EMBED Equation.3 1415. Минором элемента aij ( где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij ) называется определитель более низкого порядка (на единицу) , получаемый из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, проходящих через элемент aij.
Пример 4: 13 EMBED Equation.3 1415
Мысленно вычеркиваем второй столбец и первую строку.
13 EMBED Equation.3 1415=57, 13 EMBED Equation.3 1415=-8
4. Пусть дан определитель третьего порядка13 EMBED Equation.3 1415
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца i+j – четное число, и со знаком минус – если сумма i+j – нечетное число.
Пример 5: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=-12
13 EMBED Equation.3 1415
Свойства определителей.
10. Величина определителя не изменится, если его строки сделать столбцами, и наоборот.
Пример 6: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
20. Если в некоторой строке (или столбце) имеется постоянный множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Пример 7: 13 EMBED Equation.3 1415
30. Если в определителе имеется две одинаковые строки ( или столбца ) то определитель равен нулю.
Пример 8: 13 EMBED Equation.3 1415
40. Определитель, в котором две строки (или столбца) пропорциональны, равен нулю.
Пример 9: 13 EMBED Equation.3 1415
50. Если в определителе какая-либо строка (или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Пример 10: 13 EMBED Equation.3 1415
60. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель изменит знак.
Пример 11: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
70. Если каждый из элементов какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей, получающихся из него заменой указанной строки (столбца) на строки (столбцы), составленные соответственно из первых и вторых слагаемых в отдельности.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
80. Определитель можно разложить по элементам любой строки (или столбца), причем это разложение равно сумме произведений элементов взятой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
·
Пример 12:13 EMBED Equation.3 1415
Разложим определитель по элементам первой строки:
13 EMBED Equation.3 1415
Разложим определитель по элементам третьей строки:
13 EMBED Equation.3 1415
90. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
2.3. Решение систем линейных уравнений с
помощью определителей.(Метод Крамера)
Теорема Крамера: Пусть ( - определитель системы, а (j – определитель, получаемый из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если ((0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415, (j=1,2,,n)
Пример 13. Решить систему уравнений 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
1. Определитель системы: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вспомогательные определители: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x=1, y=2.
Пример 14. Решить систему уравнений 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
1. Определитель системы: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вспомогательные определители:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x=1,125; y=1,125; z=-0,5.
3. Рекомендуемая литература
1. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учеб. пособие / В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. - Изд. 3-е; стереотип. - СПб.: Лань, 2011. - 463 с.
2. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. - М.: Проспект, 2012. - 400 c.
4. Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Вычислить определитель
а) по правилу диагоналей и треугольников
б) разложив по элементам первой строки;
в) разложив по элементам первого столбца.
1
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
1
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415
Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения
1
2
1
-3
x=3, y=1, z=-1
2
7
x=3, y=1, z=2
3
-168
x=1, y=3, z=2
4
456
x=2, y=1, z=3
5
566
x=2, y=3, z=1
6
31
x=3, y=2, z=1
7
141
x=-1, y=2, z=3
8
65
x=2, y=-1, z=3
9
-215
x=2, y=3, z=-1
10
16
x=3, y=-1, z=2
11
-3
x=1, y=2, z=3
12
7
x=10, y=-14,5, z=-9
13
-168
x=-2, y=1, z=-1
14
456
x=13 EMBED Equation.3 1415, y=13 EMBED Equation.3 1415, z=13 EMBED Equation.3 1415
15
566
x=1, y=1, z=1
16
31
x=1, y=1, z=1
17
121
x=2, y=3, z=4
18
65
x=13 EMBED Equation.3 1415, y=13 EMBED Equation.3 1415, z=13 EMBED Equation.3 1415
19
-265
x=2, y=-1, z=1
20
16
x=2, y=1, z=1
21
-3
x=1,5, y=-1, z=0,5
22
7
x=-1, y=-1, z=-1
23
-168
x=2, y=1, z=-2
24
456
x=1, y=1, z=1
25
566
x=-1, y=0,5, z=1
26
31
x=2, y=1, z=1
27
121
x=1, y=2, z=3
28
65
x=1, y=5, z=2
29
-215
x=1, y=1, z=-1
30
16
x=2, y=1, z=-1
13PAGE 15
13PAGE \* MERGEFORMAT14315
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native