Урок-практикум по алгебре и началам анализа Применение производной

Урок-практикум «Применение производной»
Алгебра и начала анализа – 11 класс

Цель урока: систематизировать практические навыки применения изученного материала и обобщить знания учащихся по теме «Применение производной»;
развивать познавательную активность, логическое мышление, внимание;
воспитывать самостоятельность, коммуникативные навыки, культуру математической речи, трудолюбие.
Оборудование: компьютер, проектор, индивидуальные карточки и справочный материал по теме.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Ход урока
І. Организационный момент.
II . Мотивация учебной деятельности
Учитель. Сегодня мы подводим итоги изучения темы «Применение производной». Я надеюсь на успешную работу, что на уроке вы сможете показать свои знания, умения, компетентность.
Компетентный (от латин. Competens – соответствующий, способный) – это тот, кто обладает необходимой информацией и умеет применять полученные знания и опыт.
Итак, насколько вы компетентны в применении производной к решению различных задач, покажет сегодняшний урок.
В работе «Метод флюксий» (1671 г.) И. Ньютон, давая определения наибольших и наименьших значений величин, формулирует так называемый «принцип остановки»: «Когда величина является более или менее из всех возможных, то она в данный момент не течет ни вперед, ни назад». Как это связано с задачами сегодняшнего урока? (прогнозируемые ответы учеников: производная функции в этой точке равна нулю; касательная в этой точке параллельна оси Ох; угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох равен 0 ° и т.д.).
А мы с вами во время накопления знаний должны двигаться только вперед и только по восходящей, решать как можно больше упражнений, совершенствовать свои умения и навыки. Желаю каждому успеха во время испытания своих знаний по теме «Применение производной».
На уроке мы применим групповую форму работы и педагогический метод «Обучая другого – учусь сам!». Правила работы на уроке просты – принимаем активное участие во всех этапах урока, набираем как можно большее количество баллов: первая группа, дает правильный ответ – получает «3» балла, вторая – «2», а третья – «1» балл ( в случае правильного решения).

ІІІ. Актуализация опорных знаний
АУКЦИОН математических терминов, имеющих отношение к теме нашего урока (производная, критические точки, максимум, минимум, наибольшее и наименьшее значения, экстремумы и т.д.)
(слайд 1)
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Понятие производной вошло в математику почти одновременно с понятием функции, хотя вклад в ее развитие внесли Пьер Ферма, Готфрид Вильгельм Лейбниц, Исаак Ньютон и другие выдающиеся ученые.
П.Ферма показал, как решать экстремальные задачи, хотя и не ввел само понятие производной.
Г.В. Лейбниц рассматривал геометрический смысл производной и почти одновременно с Ньютоном пришел к понятию производной.
И. Ньютон раньше Лейбница ввел понятие производной, но работы опубликовал позже.
К своим открытиям они шли независимо друг от друга: Ньютон исходил, в основном, из задач механики, а Лейбниц - геометрии.
(слайд 2)

НАЙДИ ОШИБКУ
(3х – 5)' = –15х – 4
(co
·s 13 EMBED Equation.3 1415)' = 2sin х 13 EMBED Equation.3 1415
((3х – 2)3)' = 3 (3х – 2)2
(х2 – sin x)' = 2х cos х
(13 EMBED Equation.3 1415) ' = – 13 EMBED Equation.3 1415
(слайд 3)

ЧИТАЕМ ГРАФИК
Учитель. На рисунке изображен график некоторой функции у = f (х). Что вы можете сообщить своим товарищам об этой функции?
(слайд 4)
ГРАФИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ
1. Критические точки – это точки, в которых производной не существует.
2. Если при переходе через точку х0 производная функции меняет знак с «-» на «+», то х0 является точкой минимума функции.
3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке и имеет на нем один минимум, то он является наименьшим значением функции на этом отрезке.
4. Если производная функции в каждой точке интервала отрицательная, то функция убывает на этом интервале.
5. Точка максимума функции является экстремум этой функции.
6. Критическая точка функции является ее точкой экстремума.
(слайд 5)
IV. Обобщение знаний и умений
Каждая группа получает задание:
Исследовать функцию на экстремум, найти промежутки возрастания и убывания: f (х) = х3 – 3х.
(слайды 6-7)
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415; [-2; 4].
(слайды 8-9)
Эта функция определена и дифференцируема в каждой точке промежутка 13 EMBED Equation.3 1415.

Найдем критические точки:
13 EMBED Equation.3 1415= 0

– 4х2 + 4 = 0;
х1,2 = ±1 – критические точки; – 113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Найдем значения функции в критических точках и на краях отрезка:
f (– 2) = 13 EMBED Equation.3 1415
f (– 1) = 13 EMBED Equation.3 1415
f (1) = 13 EMBED Equation.3 1415
f (4) = 13 EMBED Equation.3 1415
Определим наибольшее и наименьшее значение данной функции на отрезке:
max f(x) = f(1) = 2 min f(x) = f(– 1) = – 2
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

3. Исследовать функцию и построить ее график: у = х3 – 12х.
(слайды 10-11)
(При необходимости можно пользоваться справочными картами с алгоритмами).

V. Итог урока. Рефлексия
Учитель. Мы обобщили и повторили основные алгоритмы для решения задач с помощью производной. Какие задачи вы должны уметь решать с помощью производной?
В жизни каждого из нас бывают взлеты и падения, так называемые экстремальные ситуации. У функции, мы с вами знаем, тоже есть моменты подъема и спада. Сегодня на уроке вы доказали, что умеете находить точки экстремумов и экстремумы функции. А как избежать или достичь экстремумов в жизни – научит сама жизнь!

(слайд 12)
VI. Домашнее задание
Разноуровневая самостоятельная работа по «Сборнику задач» Федченко Л.Я. (вариант – 5). Каждый ученик должен выполнить задание данного варианта, но может выбирать уровень сложности задачи, учитывая свои знания, умения и стремление достичь лучшего результата.