Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме Арифметические основы работы компьютеров в рамках изучения дисциплины Информатика
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования города Москвы
ПИЩЕВОЙ КОЛЛЕДЖ № 33
Методические указания
для выполнения заданий по теме
«Арифметические основы работы компьютеров»
в рамках изучения дисциплины «Информатика»
Москва, 2016
Автор-составитель - Л. П. Бойченко
Данные методические указания подготовлены для выполнения заданий по теме «Арифметические основы работы компьютеров» в рамках изучения дисциплины «Информатика».
Они могут быть использованы также при изучении курсов «Информатика и ИКТ», «Компьютерные сети», «Компьютерные технологии», «Системы управления базами данных», «Информационные технологии в профессиональной деятельности», «Электроника».
Полезно использовать для студентов СПО, обучающихся в колледжах.
В данных методических указаниях изложена информация, представляющая собой специально подобранный и сгруппированный материал по арифметическим основам работы компьютеров.
Оглавление
Введение5
Арифметические основы работы компьютеров6
1. Что такое система счисления?6
2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?7
3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?7
4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры – двоичной?8
5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?9
6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?10
7. Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления?10
8. Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную систему?11
9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую11
10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?13
11. Как представляются в компьютере целые числа?19
12. Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?21
13. Как представляются в компьютере вещественные числа?25
14. Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?27
Введение
В данных методических указаниях рассматривается материал по теме «Арифметические основы работы компьютеров». Учебный материал включает в себя 14 пунктов по изучаемой теме.
В теме «Арифметические основы работы компьютеров» представлены ответы на вопросы о том, какие системы счислений используют специалисты для общения с компьютером, почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры – двоичной, почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Здесь же показан перевод целых и дробных чисел из десятичной системы счисления в р-ичную и наоборот. В этой же главе показано, как представляются целые и вещественные числа в компьютере, а также выполнение арифметических операций над целыми и вещественными числами, представленными в позиционных системах счисления. Кроме этого, показано, как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами.
Арифметические основы компьютеров
1. Что такое система счисления?
Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от её позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семёрка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращённую запись выражения
700+50+7+0,7=7∙102+5∙101+7∙100+7∙10-1=757,7.Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание системы можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т. д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращённую запись выражения
an-1∙qn-1+an-2∙qn-2+… +a1∙q1+a0∙q0+a-1∙q-1++a-mq-m,
где ai– цифры системы счисления; и m – число целых и дробных разрядов соответственно.
Например:
2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д.
Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
Продвинуть цифру 1, значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2, значит заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счёта:
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?
Кроме десятичной, широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
двоичная (используются цифры 0, 1);
восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел (табл. 1.1).
Таблица 1.1
10-я 2-я 8-я 16-я
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.
4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры – двоичной?
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т. п.), а не, например, с десятью, как в десятичной;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за её громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют, соответственно, в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвёртая степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четвёркой цифр).
Например:
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Например:
6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?
При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
7. Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления?
При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.
Умножение производится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.
Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 0,3510=0,010112=0,2638=0,5916 .8. Как пеpевести число из двоичной
(восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?
При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
Примеpы:
9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую
Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах – десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
Для определённости возьмём произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Сводная таблица переводов целых чисел
Порядок переводов определим в соответствии с рисунком (рис. 1.1):
На этом рисунке использованы следующие обозначения:
в кружках записаны основания систем счисления;
стрелки указывают направление перевода;
номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 1.2.
Например: 2
16
6
означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.
10
16
8
2
4
10
6
3
2
8
16
9
2
16
10
11
12
8
10
2
10
1
8
7
5
Рисунок 1
10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны – это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя Правило счёта.
Таблица 1.3
Сложение в двоичной системе
Таблица 1.4
Сложение в восьмеричной системе
Таблица 1.5
Сложение в шестнадцатеричной системе
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.
Шестнадцатеричная: F16+616
Ответ: 15 + 6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16 + 4 + 1 =21;258 = 2 81 + 5 80 = 16 + 5 = 21;1516 = 1 161 + 5 160 = 16 + 5 = 21.
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
Шестнадцатеричная:
F16 + 716 + 316
Ответ: 5 + 7 + 3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.
Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16 + 8 + 1 = 25;318 = 3 81 + 1 80 = 24 + 1 = 25;1916 = 1 161 + 9 160 = 16 + 9 = 25.
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5+59,75=201,2510=11001001,012=311,28=С9,416.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: QUOTE 11001001,012=27+26+23+20+2-2=201,25 132
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25;
311,28 = 3 82 + 1 81 + 1 80 + 2 8-1 = 201,25;
C9,416 = 12 161 + 9 160 + 4 16-1 = 201,25.
Вычитание
Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016.
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 141,5;215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 141,5;8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 141,5.
Умножение
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Таблица 1.6
Умножение в двоичной системе
Таблица 1.7
Умножение в восьмеричной системе
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.
Ответ: 5 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 3 81 + 6 80 = 30.
Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.
Ответ: 115 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 84 + 3 83 + 3 82 + 5 81 + 1 80 = 5865.
Деление
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулём или единицей.
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 133518 :1638
Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6 81 + 3 80 = 51.
Пример 11. Разделим число 35 на число 14.
Восьмеричная: 438 : 168
Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 80 + 4 8-1 = 2,5.
11. Как представляются в компьютере целые числа?
Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.
Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112, а в двубайтовом формате – от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.
Таблица 1.8
Диапазоны значений целых чисел без знака
Формат числа в байтах Диапазон
запись с порядком обычная запись
1 0 ... 28–1 0 ... 255
2 0 ... 216–1 0 ... 65535
Примеры:
а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:
б) это же число в двубайтовом формате:
в) число 65535 в двубайтовом формате:
Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулём, а “минус” – единицей.
Таблица 1.9
Диапазоны значений целых чисел со знаком
Формат числа в байтах Диапазон
запись с порядком обычная запись
1 -27 ... 27–1 -128 ... 127
2 -215 ... 215–1 -32768 ... 32767
4 -231... 231–1 -2147483648 ... 2147483647
Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.
В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.
Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путём замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа – двоичный код его абсолютной величины. Например:
2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями. Например:
3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:
Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
12. Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?
Сложение и вычитание
В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо неё производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:
А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Получен правильный результат.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 10000111 = – 710.
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
4. А и В отрицательные. Например:
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –1110 вместо обратного кода числа –1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –1010.
При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведённой для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.
5. А и В положительные, сумма А+В больше либо равна 2n–1, где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n = 8, 2n–1 = 27 = 128). Например:
Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.
6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше либо равна 2n–1. Например:
Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.
Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:
1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –710.
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
4. А и В отрицательные. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:
на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов – образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.
Умножение и деление
Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нём поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции – окончательный результат.
Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нём число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.
Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.
Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путём многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.
13. Как представляются в компьютере вещественные числа?
Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.
При их написании вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 – целое, а числа 5,1 и 5,0 – вещественные.
Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1,25 можно в этой форме представить так:
1,25 100 = 0,125 101 = 0,0125 102 = ... ,
или так:
12,5 10–1 = 125,0 10–2 = 1250,0 10–3 = ... .
Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M qp, где M называется мантиссой числа, а p – порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.
Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует: мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: M из [0.1, 1).Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.
Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание – в десятичной системе.
Примеры нормализованного представления:
Десятичная система Двоичная система
753,15 = 0,75315 103; -101,01 = -0,10101 211 (порядок 112 = 310);
-0,000034 = -0,34 10-4; -0,000011 = 0,11 2-100 (порядок -1002 = -410).
Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи – с использованием четырёх, шести, восьми или десяти байтов.
В качестве примера приведём характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами (табл. 1.10):
Таблица 1.10
Форматы вещественных чисел Размер в байтах Примерный диапазон абсолютных значений Количество значащих десятичных цифр
Одинарный 4 10-45... 1038 7 или 8
Вещественный 6 10-39... 1038 11 или 12
Двойной 8 10-324... 10308 15 или 16
Расширенный 10 10-4932... 104932 19 или 20
Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона.
При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:
Рисунок 2
чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа;
чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.
Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырёхбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.
1. Число 6,2510 = 110,012 = 0,11001 211:
Рис. 1.3
2. Число –0,12510 = –0,0012 = –0,1 2–10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):
Рисунок 4
14. Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?
К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.
Сложение и вычитание
При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.
В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своём регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.
В результате выравнивания порядков одноимённые разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.
В случае необходимости полученный результат нормализуется путём сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0,10111 2–1 и 0,11011 210. Разность порядков слагаемых здесь равна трём, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:
Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0,10101 210 и 0,11101 21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:
Результат получился ненормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0,1101 20.
Умножение
При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел: (0,11101 2101) (0,1001 211) = (0,11101 0,1001) 2(101+11) = 0,100000101 21000.
Деление
При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел: 0,1111 2100 : 0,101 211 = (0,1111 : 0,101) 2(100–11) = 1,1 21 = 0,11 210.
Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.