Презентация на тему О некоторых проективных методах решения геометрических задач

О некоторых проективных методах решения геометрических задач Выполнила учитель математики и информаткиМайшева М.В.2015 Методические рекомендации по решению задач методом проективных координат 1. При решении геометрической задачи методом проективных координат условие задачи переводят с геометрического языка на координатный, решают задачу в координатном виде и результат переводят обратно на геометрический язык. Чтобы перевести условие задачи на координатный язык, необходимо выбрать проективный репер. 2. Часто проективный репер бывает удобно присоединить к данной в задаче фигуре. Например, если на расширенной плоскости дан треугольник, то за вершины репера удобно принять вершины треугольника, а за единичную точку – какую-либо точку, не лежащую на прямых, содержащих стороны треугольника, например, в некоторых случаях удобно взять точку пересечения медиан. В случае четырехугольника за вершины и единичную точку репера берем вершины четырехугольника. 3. При решении задач координатным методом на проективной плоскости иногда необходимо совершить переход от проективного репера на плоскости к реперу на проективной прямой, т. е. использовать связь между проективными координатами точки на плоскости и проективными координатами ее центральной проекции на координатную прямую проективного репера. 4. Если метод проективных координат применяется к решению аффинной задачи, то часто бывает необходимо перейти в расширенную плоскость и найти проективные координаты несобственной точки или уравнение несобственной прямой. 5. Если необходимо доказать, что точка является серединой отрезка, то пользуются свойством гармонизма и определением сложного отношения четырех точек прямой (или формулой для вычисления сложного отношения четырех точек в координатах).6. Если необходимо доказать, что три точки лежат на одной прямой, то пользуются условием коллинеарности трех точек. Методические рекомендации по решению задач методом геометрических преобразований 1. При решении задач методом проективных преобразований условие задачи переводят с геометрического языка на язык проективных преобразований; решают задачу с помощью определения и свойств конкретного проективного преобразования, затем переводят результат с языка проективных преобразований на геометрический язык и делают вывод.2. При решении задач методом проективных преобразований данная фигура или ее часть подвергаются некоторому проективному преобразованию. Задача решается с использованием свойств данной фигуры и применяемого преобразования. Если задача решается с помощью гомологии (центрального проектирования), то говорят, что задача решена методом гомологии (методом центрального проектирования).3. В задачах на построение, решаемых методом гомологии, при построении образов точек используются свойства гомологии. Эти свойства применяются как в проективных, так и в аффинных задачах.4. При решении задач с помощью гомологии на аффинной плоскости можно использовать преобразования родства, гомотетии, сдвига, параллельного переноса и центральной симметрии, которые гомология, рассматриваемая на расширенной плоскости, порождает на аффинной плоскости.5. При решении задач методом гомологии пользуются двумя свойствами: − если точка, принадлежит фигуре, то образ этой точки в данной гомологии принадлежит образу этой фигуры; − образ пересечения двух фигур в данной гомологии равен пересечению их образов. Методические рекомендации по решению задач геометрическим методом  1. При решении задач геометрическим методом используются теоремы и факты проективной геометрии, например, теоремы Паппа, Дезарга, Паскаля, Брианшона, свойства полного четырехвершинника. 2. При решении задач геометрическим методом из данных задачи необходимо выделить какую-либо известную фигуру или комбинацию нескольких фигур проективной плоскости, например, два трехвершинника, шестивершинник, вписанный в овальную линию второго порядка, шестисторонник, описанный около овальной линии второго порядка, полный четырехвершинник и др..3. Чтобы применить проективную теорему, необходимо:а) четко выделить в формулировке этой теоремы условие и заключение;б) пользуясь условием задачи, а также свойствами данных фигур, доказать, что выполняется условие теоремы;в) применить теорему и сделать соответствующее заключение.  Доказать, что средняя линия треугольника параллельна его основанию 1. Переходим на расширенную плоскость.2. Доказываем, что пересекается с в несобственной точке. 3. - середина в репере Тогда в репере . в в репере4. 5. - несобственная.6. ∥