Интегрированный урок по геометрии и черчению

Интегрированный урок по геометрии и черчению по теме: «Правильные многоугольники в мире людей»
Цель урока: Сформировать у учащихся представление о практической значимости изучения геометрии, о выдающихся вкладах ученых математиков во внедрение теоретических разработок по теме «Правильные многоугольники» в жизни людей. Исследовать возможность применения в жизни знаний о правильных многоугольниках.
Задачи:
Обучающая: обобщить знания о правильных многоугольниках, способах их построения с помощью циркуля и линейки, развивать самостоятельность в приобретении знаний при проведении исследовательских работ.
Развивающая: совершенствовать вычислительные навыки, умение строить правильные многоугольники, развивать самостоятельность в приобретении знаний при проведении исследовательской работы.
Воспитательная: Воспитывать стремление к самостоятельной творческой деятельности, умение работать в группах по заданной теме, способность подчинять себя общим интересам.
Ход урока
1.Слово учителя геометрии.
Когда-то в построении правильных многоугольников вкладывали мистический смысл.
Со времен Пифагора известны они
В них равны стороны и равны углы.
Их встретим в орнаментах и на паркетах.
В стихотворениях разных поэтов.
И даже пчелы ими работают,
Строя в их форме домики-соты (О. Панишева)
Так, пифагорейцы, последователи религиозно- философского учения, основанного Пифагором и жившие в древней Греции (6-4в в. До н.э.) приняли в качестве знака своего союза звездчатый многоугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника (показ пятиугольника).
Правила строгого геометрического построения некоторых правильных многоугольников изложены в книге «Начала» древнегреческого математика Евклида, жившего в 3 в. до н.э. Для выполнений этих построений Евклид предлагал пользоваться только линейкой и циркулем, который в то время был без шарнирного устройства соединения ножек (такое ограничение в инструментах было непреложным требованием античной математике)
Однако помимо чисто научных трудов, построение правильных многоугольников было неотъемлемой частью книг для строителей, ремесленников, художников. Умение изображать эти фигуры издавна требовалось и архитектуре, и в ювелирном деле, и в изобразительном искусстве.
В египетских и вавилонских старинных памятников встречаются правильные четырёхугольники, шестиугольники и восьмиугольники, (показ правильного четырёхугольника, шестиугольника и восьмиугольника)
Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. Деление окружности на некоторое число равных частей для построения правильных многоугольников имело важное значение для пифагорейцев, которые утверждали, что числа лежат в основе всех явлений мира Учение о правильных многоугольниках, начатое в школе Пифагора, продолженное и развитое в 5-6 в. до н.э. было систематизировано Евклидом и изложении в 6 книге «Начал». Кроме построения правильного треугольника, четырёхугольника, пятиугольника, шестиугольника, Евклид решает задачу построения правильного пятнадцати угольника при помощи циркуля и линейки.
Зная, как построить правильный п-угольник, легко можно построить правильный 2п-угольник. Долгое время математики тщательно икали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, одиннадцатиугольника и т.д., не зная даже, возможно ли вообще построение таких многоугольников с помощью только циркуля и линейки. Эта проблема была решена лишь в конце 18 в. 19- летним К.Ф.Гауссом, великим немецким математиком. После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее известных правильных многоугольников с 3, 4, 5, 6, 8, 10,12,15,16, 20…сторонами, можно построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники с 17, 34, 68,126, 252, 257, 65537 сторонами.
2. Учитель черчения
30 марта 1796 г. Карл Гаусс догадался, как построить правильный 17-угольник. Сейчас мы с вами его построим. В «Десяти книгах о зодчестве» римского архитектора Витрувия, жившего примерно в 63-14 гг. до н.э. говорится, что городские стены должны иметь в плане вид правильного многоугольника, а башни крепости «следует сделать круглыми или многоугольными, ибо четырехугольник скорее разрушается осадными орудиями».
Планировка городов очень интересовала Витрувия который считал, что нужно спланировать улицы так, чтобы вдоль них не дули основные ветры. Предполагалось, что таких ветров 8 и они дуют в определенных направлениях.
В эпоху Возрождения построения правильных многоугольников, и в частности пятиугольника, представляло не простую математическую игру, а являлась необходимой предпосылкой для построения крепости. (Построение с классом пятиугольника).
Правильный шестиугольник является предметом специального исследования великого немецкого астронома и математика И. Кеплера, о котором он рассказывает в своей книге «Новогодний подарок, или о шестиугольных снежинках». Рассуждал о причинах того, почему снежинки имеют шестиугольную форму, он отмечает следующие: «…плоскость можно покрыть без зазоров лишь следующими фигурами: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Среди этих фигур правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь».
Одним из наиболее известных ученых, занимавшихся геометрическими построениями, был немецкий художник и математик Дюрер, который посветил им значительную часть своей книги «Руководство…». Он предложил правила построения правильных многоугольников с 3, 4, 5…16-ю сторонами. Методы деления окружности, предложенные Дюрером, не универсальны, в каждом конкретном случае используется индивидуальный прием. Он применял методы построения правильных многоугольников в художественной практике, например, при создании разного рода орнаментов и узоров для паркета. Наброски таких узоров были сделаны им во время поездки в Нидерланды, где паркетные полы встречались во многих домах. Дюрер составлял орнаменты из правильных многоугольников, которые соединены в кольца (кольца из шести равносторонних треугольников, четырех четырехугольников, трех или шести шестиугольников, четырнадцати семиугольников, четырех семиугольников.
Учитель геометрии.
Ребята, давайте обобщим все компоненты знаний о правильных многоугольниках.
Какие многоугольники называются правильными?
Приведите примеры правильных многоугольников.
Как найти сумму внутренних углов правильного многоугольника?
Какой многоугольник называется вписанным в окружность?
Какой многоугольник называется описанным около окружности?
Как вычислить радиусы вписанной и описанной окружностей?
По какой формуле можно вычислить площадь правильного многоугольника?
А сейчас вы должны выполнить самостоятельную работу:
1 вариант.
Для правильного n-угольника со стороной а=6 см найдите радиус описанной около него окружности и радиус вписанной в него окружность, если n=4
Найдите сторону правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R описанного около окружности радиуса r, если n=6.
Определите можно ли покрыть плоскость без просветов правильным многоугольником со сторонами равными n=3, n=5.
2 вариант.
Для правильного n-угольника со стороной а=6 см найдите радиус описанной около него окружности и радиус вписанной в него окружность, если n=6.
Найдите сторону правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R описанного около окружности радиуса r, если n=4.
Определите можно ли покрыть плоскость без просветов правильным многоугольником со сторонами равными n=4, n=6.
4. Учитель черчения.
Весь класс мы заранее поделили на три группы и каждая группа проводила исследовательскую работу по свойствам правильных многоугольников.
Слово 1-группе: а) сообщение по теме: «Правильные многоугольники в мире людей»
б) один из учеников группы строит правильный 7-угольник.
Учитель: согласно теореме Гаусса-Ванцеля, правильный семиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, на которой можно делать отметки и с помощью, которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку.
Существует два звездчатых семиугольника 7/ 2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну или две.
В Великобритании используется две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет – криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно переходили в автоматы.
Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась как элемент герба этого государства.
5.Учитель геометрии.
Слово 2-группе: а) сообщение по теме: «Паркеты из правильных многоугольников»
б) один из учеников на доске строит правильный 6-угольник и 3-угольник
Учитель: Существует ровно 11 различных правильных паркетов.
А сейчас проведем творческую практическую работу по группам (4 группы).
Задание: «Проект напольного покрытия».
Первая группа составляет паркет из правильных восьмиугольников и четырехугольников со стороной 3 см.
Вторая группа составляет паркет из правильных шестиугольников, треугольников и четырехугольников со стороной 3 см.
Третья группа составляет паркет правильных четырехугольников и правильных треугольников двух цветов со стороной 3 см.
Четвертая группа составляет паркет из правильных шестиугольников и треугольников двух цветов со стороной 3 см.
(Работы вывешиваются на доску)
Поговорим о пчелиных сотах. Как вы думаете, почему пчелы строят соты из правильных шестиугольников? (Ответы учащихся)
Оказывается, в каждой точке сходится не более трех шестиугольников, а на построение уходит меньше воска. Поэтому, чтобы разбить поле на участки так, чтобы на ограждения ушло меньше материала, участкам надо придать форму правильного шестиугольника.
В математике число 6 является совершенным числом. Примеры: в древней Греции на 6-м месте на пиру возлежал самый уважаемый и почетный гость, в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей, в Библии говорится, что мир создан за 6 дней, 6 – самое маленькое, самое первое совершенное число, недаром его исследовали Пифагор, Евклид, Ферма, Эйлер.
6.Учитель черчения.
Слово 3-й группе: а) сообщение по теме: «Правильные многоугольники в архитектуре»
б) один из учеников на доске строит правильный восьмиугольник.
Средневековые зодчие на несколько столетий опередили своих европейских коллег в строительстве мавзолеев, крепостей и др. сооружений. Такие шедевры искусства можно встретить в Узбекистане, Афганистане, Иране, Ираке, Турции, Индии.
6.Рефлексия.
Ребята, продолжите предложение, чтобы оценить уровень вашей удовлетворенности проведенной вами работы по подготовке и во время урока. Спасибо всем за активность, заинтересованность. Самостоятельность и за работу в группах!
Меня заинтересовало то, что…….
Работа по теме помогла мне….