Образовательный проект на тему «Разработка элективного курса по математике для предпрофильной подготовки девятиклассников»

Образовательный проект
на тему: « Разработка элективного курса
по математике для предпрофильной подготовки девятиклассников»
Выполнила:
Сименяк Лариса Ивановна,
учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная
школа №5» г. Лянтора ,Сургутского района
ХМАО -Югра
1 квалификационная категория
1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.
1.1ПАСПОРТ ПРОЕКТА.
Проект рассчитан на учащихся 9 классов, работа по нему проводится в течение
одного полугодия (17 часов; 1 час в неделю).
Образовательная программа курса по выбору «Функции и графики» поможет девятиклассникам сориентироваться в выборе профиля дальнейшего обучения.
В образованных группах (по 15-20 человек) занимаются учащиеся из разных школ.
Экспериментальная работа проходит в три этапа:
1этап –посвящен выбору направления и проблемы исследования, изучению и анализу научно-исследоватеской литературы и нормативно-правовой документации по предпрофильному и профильному обучению.
этап – создание условий для реализации и реализация программы элективного курса «Функции и графики».
Этап – анализ результатов эксперимента.
1.2.АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОЕКТА.
Основной задачей модернизации российского образования является соответствие актуальным и перспективным потребностям личности.
В связи с этим меняются и жизненные ориентиры самой личности -
выпускник общеобразовательной школы должен владеть не только суммой знаний и навыков, но и обладать проектно-ориентированным интеллектом,
способным к позитивной коммуникации на межличностном, межкультурном и межгосударственном уровнях, быть социально-ответственным перед собой, обществом, природной и культурной средой.
Профильное обучение на современном этапе является очередным шагом в развитии российского образования.
Предпрофильная подготовка рассматривается как подготовительная ступень
профильного обучения, его подготовительный этап.
Курсы по выбору – это форма организации предпрофильной подготовки на второй ступени общего образования. Они способствуют решению главной задачи педпрофильной подготовки - самоопределению ученика относительно профиля обучения в старшей школе.
Ученику, выбирающему профиль дальнейшего обучения, должно быть представлено большое количество элективных курсов.
Поэтому, на данном этапе, сложились противоречия:
между содержанием учебной программы и отсутствием большого количества элективных курсов для предпрофильной подготовки;
между необходимостью выбора профиля обучения и определенностью выбора;
между объективной необходимостью развития математических способностей и программой элективного курса.
Актуальность этого вопроса послужила основанием для определения темы проекта: « Разработка элективного курса по математике дляпредпрофильной подготовки девятиклассников».
Объект исследования - процесс обучения математике
по теме «Функции и графики».
Предмет – программа элективного курса для предпрофильной подготовки девятиклассников.

Гипотеза - усвоение курса по выбору для девятиклассников будет успешным , если:
разработана программа элективного курса;
реализованы потребности учащихся по успешному выбору профиля;
созданы условия, позволяющие каждому учащемуся сделать правильный выбор.
1.3. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТАЦель проекта:
Теоретически обосновать и систематизировать опыт по реализации темы
« Разработка элективного курса по математике для предпрофильной подготовки девятиклассников».
Задачи проекта:
Изучить психолого-педагогическую литературу по данной проблеме.
Разработать программу элективного курса по теме « Функции и графики»
Разработать систему упражнений, заданий и методических рекомендаций к элективному курсу.
1.4.Ожидаемые педагогические результаты.
В результате изучения курса «Функции и графики» учащиеся должны:
уметь находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком;
проводить исследование функций элементарными средствами;
строить и читать графики функций, указанных в программе видов;
овладеть основными приемами преобразования графиков и применять их при построении графиков.
2.Теоретическое обоснование проекта.
2.1.Основные подходы, идеи и принципы, лежащие в основе проекта.
Дидактические принципы – это основные положения,
определяющие содержание, организационные формы и методы учебного процесса в соответствии с его общими целями: воспитания и обучения.
В современной дидактике устоялось положение, что принципы обучения исторически конкретны и отражают насущные общественные потребности.
Под влиянием социального прогресса и научных достижений, по мере выявления новых закономерностей обучения, накопления опыта работы учителя, они видоизменяются, совершенствуются.
Современные принципы обуславливают требования ко всем компонентам учебного процесса - логике, целям и задачам, формированию содержания, выбору форм и методов, планированию и анализу достигнутых результатов.
Принципы обучения выступают в органическом единстве, образуя некоторую концепцию дидактического процесса, которую можно представить как систему.
Система дидактических принципов в работе исследователей нового времени позволяют выделить в качестве основополагающих следующие принципы:
Сознательности и активности;
Наглядности;
Систематичности и последовательности;
Прочности;
Научности;
Доступности и посильности;
Связи теории с практикой.
Принцип сознательности и активности – это сознательное понимание учащимися учебного материала, сознательное отношение к учебным занятиям, формирование подсознательной активности.
Учитель должен:
знать признаки, которые определяют сознательное понимание, отношение и степень познавательной активности;
создавать условия для формирования умственных, мыслительных операций, способствующих осознанному усвоению материала.
Принцип наглядности - организация чувственного познания ученика:
отражение окружающей действительности в ощущениях,
представлениях, конкретно-образном мышлении;
использование наглядных пособий.
Учитель должен:
понимать необходимость чувственных образов в процессе изучения учебного материала;
определить характер использования чувственных образов на занятиях как
самостоятельную сторону в развитии учащихся или как средство
формирования абстракций;
решить, с помощью каких наглядных пособий, будут формироваться и воспроизводиться на занятиях чувственные образы;
создать тенденции познавательной деятельности ученика к представлению реальных предметов, явлений окружающей действительности;
хорошо понимать какую совокупность предметов, явлений характеризует учебный материал и создавать условия для того, чтобы ученики в обобщенном виде представляли эти предметы.
Принцип систематичности и последовательности включает четыре основных положения:
видеть первоисточник учебных занятий, чтобы ученик в системе учебного материала мог представить реальные отношения, связи предметов, явлений.
Хорошо понимать систему знаний в науке, которая ложится в основу материала; видеть отличие содержания учебного предмета и последовательности его изучения от соответствующих разделов науки.
Найти систему изучения программного материала, которая наиболее соответствовала бы возрастным возможностям усвоения знаний.
Система обучения должна быть продуктивной, что выражается в глубоком понимании программного материала, в формировании
логических операций и форм мышления, развитии внимания, памяти,
воображения, чувств, в воспитании черт характера, способствующих
преодолению трудностей в учебной деятельности.
Принцип прочности - добиться прочных знаний, умений, навыков.
Для этого необходимо:
выделение главной мысли в одном материале;
нужно хорошо представлять тот круг теоретических сведений и фактов, которые группируются, объединяются на основе главной мысли;
связь изучаемого материала с взглядами, убеждениями,
мировоззрением значительно повышает прочность знаний;
знание, умение, навыки становятся прочными, если ученик применяет их в своей жизни.
Принцип научности – процесс познания окружающего мира.
Заключается в достоверности изучаемых фактов и явлений,
в правдивом их освещении, раскрывает место научных знаний в учебной деятельности.
Учитель должен:
1)приступая к научному обучению, хорошо понимать какую сторону опыта человечества усваивает ученик и как правильно организовать переход мысли от явления к сущности, от внешних свойств к внутренним.
2)понимать влияние на развитие школьников
научных и других видов знаний;
3)видеть в программном материале возможности более или менее глубокого объяснения действительности;
знать пути систематизации и обобщения представлений ребенка в процессе формирования первоначальных научных понятий.
Принцип доступности и посильности – вооружение учащихся доступным и посильным материалом, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащимся, соответствовали уровню их умственного развития.
Учитель должен:
связать новое содержание с имеющимися у школьников знаниями;
знать уровень развития познавательных процессов, те виды операций мышления, которые сформированы и формируются;
формировать познавательные интересы, как условие, способствующее доступности обучения;
понимать значение и необходимость знаний в выполнении задач гармоничного, всестороннего развития личности.
Принцип связи теории с практикой - способ восприятия, осмысления,
и закрепления знаний. Постановка в обучении разнообразных практических задач, вовлечение детей в практическую деятельность, связанную с применением знаний, является важным средством прочного и сознательного их усвоения. Необходимо чтобы изучаемый учебный материал школьниками был тесно связан с личным опытом учащихся, их наблюдениями.
2.2.ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЗРАСТНЫХ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ, НА ОБУЧЕНИЕ КОТОРЫХ НАПРАВЛЕН ДАННЫЙ ПРОЕКТ.
Основная школа охватывает детей в возрасте от подросткового до старшего подросткового. Это время, когда происходит не только физическое созревание человека, но и интенсивное формирование личности, рост интеллектуальных и моральных сил и возможностей, становление характера.
Обучение, играя ведущую роль в психическом развитии, должно на определенном уровне в каждый возрастной период обеспечивать формирование интеллектуальной сферы, способствовать личностному развитию, создавать условия для его эмоционального благополучия.
Изменяются характер и формы учебной деятельности, усложняется содержание усвоенных знаний, они становятся более обобщенными: учащиеся переходят к изучению основ наук, к установлению единой системы знаний, получаемых по разным дисциплинам. В этот период меняется ведущий тип деятельности с учебной на общение и, таким образом, отмечается снижение мотивации обучения. Усваивая учебный материал, школьники учатся вскрывать связи и отношения, овладевать умением формулировать суждения и умозаключения, делать выводы, проводить аналогии и т.д.
Все это способствует развитию навыков систематизации, классификации, обобщения и конкретизации. В процессе учебной деятельности школьники овладевают многочисленными приемами умственной деятельности, учатся мыслить. Успешность обучения зависит не только от уровня сформированности умений, навыков, способов мыслительной деятельности и запоминания учебного материала, но и от развития мотивационно-потребностной сферы личности школьника. Первая потребность, способы и средства воспитания которой должны быть заложены в учебных программах, предусмотрена в методиках преподавания и содержания обучения – это познавательная потребность. Любознательность подростков проявляется в широте интересов. Именно для этого возрастного периода важно расширение содержания образования через введение новых предметов, активизацию познавательной деятельности в школе с помощью факультативов, кружков, элективных курсов, развивающих часов и т.д.
В содержании образования, в его методах и формах необходимо учитывать потребности подростков в рефлексии, в самооценке, в повышении мотивации обучения с помощью диагностики общих и специальных способностей.
Следовательно, основными задачами второй ступени образования являются:
1.Формирование прочных, устойчивых, глубоких знаний основ наук.
2.Повышение мотивации обучения через активизацию познавательной деятельности, развитие общих и специальных способностей, их диагностику.
3.Формирование коммуникативных навыков и начало формирования рефлексивных навыков.
4.Формирование общих умений и навыков.


3.МЕТОДИЧЕСКИЙ МОДУЛЬ.
3.1 Формы организации и методы обучения элективному курсу по математике.
Поиск ответа на традиционный дидактический вопрос «Как учить?» - выводит нас на категорию методов обучения. Без методов обучения невозможно достичь поставленной цели, реализовать намеченное содержание, наполнить обучение познавательной деятельностью.
Метод - сердцевина учебного процесса, связующее звено между запроектированной целью и конечным результатом. Его роль в системе
« цели - содержание - методы - формы - средства обучения » является определяющей.
Метод обучения - упорядоченная деятельность учителя и ученика, направленная на достижение цели обучения, это способ сотрудничества учителя и ученика. В современной дидактике известны десятки классификаций методов обучения как сложного многомерного, многокачественного образования. Но наибольшее распространение последних десятилетий получила классификация академика Ю.К. Бабанского. В ней выделяют три большие группы методов обучения:
Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности.
Методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности.
Методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельностью.
Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельностью
Словесные
Наглядные практические Индуктивные и дедуктивные Репродуктивные
И
поисковые Методы самостоятельной работы под руководством
Методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности
Методы стимулирования мотивации
Методы мотивации долга и ответственности в учении
Методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности
Методы устного контроля и самоконтроля
Методы письменного контроля и самоконтроля Методы лабораторно-практическогоконтроля и самоконтроля
Большую поддержку и распространение в дидактике получила классификация методов по типу (характеру) познавательной деятельности
(авторы И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин).
Тип познавательной деятельности – это уровень самостоятельности познавательной деятельности, которого достигают учащиеся, работая по предложенной учителем схеме обучения.
Эта характеристика тесно сопряжена с уже известными нам уровнями мыслительной активности учащихся. В данной классификации выделяются следующие методы:
Объяснительно-иллюстративный (информационно-рецептивный)
Репродуктивный
Проблемное изложение
Частично-поисковый (эвристический)
Исследовательский
Методы Ю.К. Бабанского, И.Я. Лернера и М.Н. Скаткина были взяты за основу данного проекта.
На занятиях использую такие методы как:
Словесный (в виде лекции, объяснения, беседы, рассказа)
Работа с книгой (чтение, изучение, составление плана, конспекта, реферата)
Наглядный (схемы, графики, таблицы)
Практический (упражнения, решение заданий на вычисление,исследование функций и т.д.)
Наиболее часто использую лекции, беседу, самостоятельную работу с литературой, решение заданий.
Лекция - отличается от других методов более четкой структурой, логикой изложения, обилием информации. В виде лекции провожу занятия, темы которых рассматривают теоретические вопросы, такие как «График квадратной функции», «Дробно-линейная функция» и т.д.
В педагогической литературе описаны условия эффективности лекции и в своей работе придерживаюсь этих условий, т.е. обязательно составляю детальный план лекции, знакомлю с ним учащихся, а также с темой и задачами лекции.
Чтобы не превращать изложение материала к «сухому» пересказу, стараюсь говорить выразительно и эмоционально, приводить яркие образные примеры.
Так как на элективный курс приходят дети, которые могут в дальнейшем выбрать математический профиль и будущую профессию, связанную с математикой, то определяющим в лекции считаю взаимодействие учителя и ученика, рассуждение, соответствующий тон и темп изложения.
Чтобы увлечь учащихся и активизировать их деятельность, подбираю
примеры, связанные с литературой («Гиперболоид инженера Гарина» А. Толстого) и другими предметами. Все это становится залогом будущего успеха.
Беседа – один из наиболее старых методов работы.
Еще Сократ использовал её и называл побуждающей к деятельности.
Именно с беседы начинается каждое занятие, чтобы с помощью вопросов побудить учащихся к актуализации уже известных знаний и тем самым достичь новых. Беседа помогает ученику идти за мыслью учителя, а иногда опережать её. Она позволяет диагностировать усвоенные знания и умения, создает условия общения на занятиях, развивает познавательную активность.
Самостоятельная работа с книгой – в настоящее время один из важных методов обучения, т.к. ученик многократно повторяет и обрабатывает учебную информацию в доступном для него темпе и в удобное время.
Эффективность этого метода складывается из умения читать свободно и понимать прочитанное, выделять главное, делать записи, составлять
схемы, таблицы, графики, а также от умения подбирать нужную информацию.
Учащиеся, занимающиеся на элективных курсах, охотно откликаются
на любой вид деятельности, учатся работать с литературой, потому что занимаются по желанию, по интересу. Если у ученика возникают трудности с усвоением материала или он понимает, что имеет склонности к другим предметам, у него есть возможность выбора другого элективного курса.
Метод проектов – способ проблемы (технология), которая должна завершиться вполне реальным, осязаемым практическим результатом, оформленным тем или иным образом. Чтобы добиться такого результата, необходимо научить учеников мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели знания из разных областей, умения прогнозировать результаты и возможные последствия разных вариантов решения, умения устанавливать причинно-следственные связи.
Метод проектов ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся – индивидуальную, групповую, которую учащиеся выполняют в течение определенного отрезка времени. Метод проектов предполагает решение
какой-то проблемы. Решение проблемы предусматривает, с одной стороны, использование совокупности разнообразных методов, средств обучения, а с другой – предполагает необходимость интегрирования знаний, умений из различных областей науки, техники, технологии. По окончании изучения элективного курса учащимся предлагается выполнить зачетную работу – проект.
Форма обучения – способ существования учебного процесса, связанная с количеством обучающихся, временем и местом. При выборе форм организации необходимо учитывать содержание курса, уровень подготовленности обучаемых, тот факт, что учащиеся занимаются на элективном курсе после основных уроков в школе, потому использую классную форму обучения, обучение в группах и индивидуальный способ обучения.
Индивидуальное обучение ориентируется на ученика. О различиях в познавательной возможности учеников писал Я.А.Коменский, призывая
учить «всех всему», он, тем не менее, говорил, что существуют ученики:
С острым умом, стремящиеся к знаниям и податливые;
Обладающие острым умом, но медлительные, хотя и послушные;
С острым умом и стремящиеся к знаниям, но не обузданные и упрямые;
Послушные и любознательные, но медлительные и вялые;
Тупые и, сверх того, равнодушные и вялые;
Тупые с извращенной и злобной натурой.
Признавая, что ученики отличаются друг от друга, Я.А.Коменский предлагал
Различные варианты обучения в рамках классно-урочной системы.
Свою работу, исходя из этого строю на рекомендациях Ивановой Е.О., кандидата педагогических наук лаборатории дидактики Института теории образования и педагогики Академии образования РФ.
Индивидуальный способ учения рассматривается как комплексная характеристика, включающая значимые для развития личности и усвоения знаний индивидуальные особенности школьников. Этот способ позволяет решать задачу повышения эффективности процесса обучения именно за счет индивидуальных возможностей учащихся. Для этого использую матрицу следующего вида. Учащимся предлагаю заполнить таблицу в баллах от одного до пяти.
ФИО
ИСУ А Б В Г Д Е Ж ЗИ К Л М Н О
Предпочитаемые виды занятий лекции 4 4 5 3 2 4 4 4 5 5 4 4 3 4
беседы 5 5 5 5 4 4 5 4 3 4 3 3 4 4
Работа с текстом 3 3 4 4 4 5 5 5 3 3 3 4 4 5
семинары 4 4 5 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 4
Практические работы 5 5 5 5 5 4 4 4 4 3 4 3 5 4
Решение задач 4 4 5 5 3 4 4 5 5 5 5 3 4 3
Предпочитаемые виды взаимодействия в группе при усвоении учебного материала индивидуально 3 3 3 3 3 4 4 4 5 2 4 3 2 2
В парах 4 4 4 3 3 2 3 4 3 4 3 3 3 3
В группах 3 3 2 3 3 3 4 4 4 3 3 4 4 3
Ответы на вопросы учителя 4 4 4 5 3 2 2 2 1 3 4 4 3 4
Совместно с учителем 5 4 4 4 4 4 4 5 5 4 4 4 4 3
Предпочитаемые способы работы с учебным материалом Рабочие тетради 4 4 4 4 4 5 4 3 4 4 4 5 5 5
Самостоятельное изучение 3 3 4 5 4 4 4 3 3 4 3 4 3 5
Творческий поиск 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 5
экспериментирование 5 5 5 4 4 5 5 4 4 4 4 4 3 3
Предпочитаемые виды учебной деятельности обсуждение 3 3 4 4 5 4 4 3 3 4 4 4 4 4
Творческий поиск 5 5 5 5 5 4 5 5 3 5 4 4 4 4
Самостоятельная работа 4 4 4 3 3 2 3 4 3 3 3 3 4 4
воспроизведение 4 3 2 3 3 3 4 3 2 3 3 2 2 3
Использование знаний 3 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 4 4 4
Эвристические беседы 5 5 4 4 4 3 3 2 3 4 5 4 5 5
Использование такой матрицы позволяет спроектировать занятия по наиболее значимым направлениям, сделать занятия наиболее эффективными. Конечно, для каждого ученика в школе трудно составить предложенную матрицу, но в рамках элективного курса получить такой портрет школьников вполне возможно. Поэтому, предлагаю на первом занятии провести такую работу, сделать определенные выводы и строить планы занятий, исходя из данных каждой группы. Если групп наберется несколько, то можно перегруппировать учащихся, например в одну группу войдут учащиеся способные усваивать информацию в виде лекции, в другую – предпочитающие творческие занятия и т. д.
4. ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА.
«Функции и графики».
Пояснительная записка.
Элективный курс «Функции и графики» рассчитан на одно полугодие
(17 ч; 1 час в неделю) для учащихся 9-х классов. Данная программа курса по выбору может привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения и которым захочется глубже и основательнее познакомиться с построением графиков функций, свойствами функций (самостоятельно или под руководством учителя математики). Предлагаемый курс освещает изученные в школе элементарные функции, углубляясь в построение разбор и чтение графиков, функций, изучение интересных свойств кривых. Материал курса не дублирует вузовские программы, позволяет с более общих позиций взглянуть на школьную математику, показать учащимся, как из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью. Стоит отметить, что навыки в построении графиков функции совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться как к выпускному экзамену за курс основной школы, так и успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах.
Этот курс заинтересует учителя математики возможностью познакомить своих учеников с исследованием функций без привлечения средств дифференциального исчисления. Материал курса поможет учителю при выборе тематики занятий математического кружка для учащихся 8-9 класса.
Цель элективного курса – формирования представления о функциях.
Задачи курса:
Формирование представлений учащихся о функциях.
Расширение представления учащихся о построении и свойствах графиков функций.
Расширение сферы математических знаний учащихся (фокус параболы, директриса параболы, асимптоты, однополостный и двуполостный гиперболоид)
Основное содержание курса:
Глава I . Функции и графики.
Введение (1 ч). Предмет, изучению которого посвящен курс. Числовая функция. Способы задания функции. Область определения и область значения функции. Функциональная символика. График функции. Линейная функция.
16
Функция у = х (2 ч). Функция у = х и ее график. Преобразование графиков функций: сдвиг вдоль оси ОУ, ОХ; растяжение по ОХ, ОУ. Построение графиков функций, связанных с модулем.
Квадратичная функция (3 ч). Квадратичная функция и ее график. Построение графика квадратичной функции. Четные и нечетные функции. Ограниченные и неограниченные функции. Парабола. Свойства параболы. Фокус параболы. Директриса параболы. Параболоид вращения. Выделение полного квадрата, наибольшее и наименьшее значение функции.
Дробно – линейная функция. (3ч).
Функция у = к / х и ее график. Дробно – линейная функция и ее график. График функций вида у = b /( сх + d) (с ≠ 0; d ≠ 0); у = (ах + в) / (сх + d). Гипербола. Интересные свойства гиперболы. Однополостные и двуполостные гиперболоиды.
Степенные функции (2ч). Функции у=хп; у= √х, их свойства и графики. Кубическая парабола. Касательная к кривой.
Рациональные функции (6ч). Исследование функций и построение графиков функций. Этапы изучения функции (без привлечения средств дифференциального исчисления). «Сложение» и «умножение» графиков.
Глава 11. Методические рекомендации.
Введение.
Основная цель – ознакомить учащихся с содержанием курса, вспомнить понятие функции, свойства функций, функциональную символику, графики функций.
Основное содержание:
Числовая функция.
Способы задания функций.
Область определения и область значений.
Функциональная символика.
График функции.
Линейная функция.
Методические рекомендации: вспомнить все о функциях из школьного курса, обратив внимание на функциональную символику, рассказать о возможности построения школьного курса математики на основе функциональной зависимости.
Задания :Найдите линейную функцию y = kx + b, которая принимает при х = -10 значение у = 41, а при х = 6; значение у = 9.
Проведите через начало координат прямую под углом 60о к оси ординат. Графиком какой функции она является?
Угловой коэффициент прямой равен а. Прямая проходит через
точку (-3; -5). Найдите линейную функцию, графиком которой является эта прямая.
Придумайте линейную функцию, которая бы переводила арифметическую прогрессию –3, -1, 1, 3 … в арифметическую прогрессию –2, -12, -22 …. Какая линейная функция переведет вторую прогрессию в первую?
Задача для самостоятельного выполнения:
Прямая у = 7х / 15 + 1 / 3 проходит через две точки с целыми координатами: А (10; 5) и В (-20; -9). Есть ли на этой прямой еще «целочисленные точки»?
Функция у = х .
Основная цель: рассмотреть функция у = х , построить ее график. Научить строить графики функций, связанных с модулем.
Основное содержание:
1 .График функции у = х
Преобразование графиков функций: сдвиг вдоль оси ОХ, ОУ, растяжение по ОХ, ОУ.
Построение графиков функции, связанных с модулем.
Задания для самостоятельного решения.
Методические рекомендации.
Построить график у = х пользуясь определением абсолютной величины. Показать учащимся как из графика функции у = х получить график функции у = х +1; у = х -1; у = х+1 ; у = х-1 . Вывести правило, которым необходимо пользоваться:
График функции у =(х)+а, получается график у = х сдвигом вдоль ОУ на «а» единиц. Направление сдвига определяется знаком числа «а» (при а>0 – сдвиг вверх, при а<о - вниз).
Задания:
2.1 Постройте график функции у = 1 / (х2+2х+2). Указание. Представьте знаменатель в виде (х-1)2+1.
2.2 Постройте графики у = х +3 и у = х+3
2.3 А) Постройте график у= х4-5х 2+4.
Б) Покажите что график у = х4+4х3+х2+6х получается из графика у= х4-5х2 +4 сдвигом на единицу влево.
Построить график функции:
2.4. у = х+1 +х-1
2.5. у = 3х-2
2.6. у = 2х-1
2.7. у = 2х -1
а) у=4-2х; б) у = 4-2х ;
в) у = 4-2х ; г) у = 4-2х ;
Задания для самостоятельной работы.
В каких точках имеются изломы у графика функции
у = х +х+1+ х+2 ?
Найдите уравнение каждого из звеньев.
2.10 Найдите все линейные функции, которые при х=3 принимают значение у=5.
Квадратичная функция.
Основная цель: расширить представление учащихся о квадратичной функции, ознакомить с интересными свойствами параболы.
Основное содержание:
График квадратичной функции
Интересные свойства параболы
График функций вида y= x2 + px + g.
Методы рекомендации.
Сообщить учащимся, что все графики функций у=ах2 получаются из графика у=х2 растяжением и тоже называются параболами. Рассказать о фокусе, директриссе параболы. Дать понятие графика y= x2 + px + g. График представляет собой параболу у= х2, сдвинутую на - p/2 по оси ОХ, и на g-p2/4 по оси ОУ. Вершина этой параболы имеет абсциссу -p/2; ординату g-p2/4. Рассказать об интересных свойствах параболы, о том, как получается интересная поверхность, которая называется параболоид вращения.
Задания для выполнения.
3.1 Найдите наименьшее значение функции у= х2+ 6х + 5.
3.2 Нарисуйте графики функций:
а) у = (х+2)2 +3
б) у = (х+2)2 -3
в) у = (х-2)2 +3
г) у = (х-2)2 -3
3.3 Вершина параболы y= x2 + px + g лежит в (-1; 2). Найдите p и g.
3.4 Сдвиньте параболу у=ах2 по оси ОХ и оси ОУ так, чтобы получить график трехчлена у = ах 2+ bх +с.
3.5. Сдвиньте параболу у=х2 вдоль оси ОХ так, чтобы она прошла через точку (3;2). График какой функции вы получили?
3.6 Найдите параболу у = ах2+ bх +с, которая пересекает ОХ в точках х = 3; х = -5, а ось ОУ в точке у= 30.
3.7. Решите неравенство: а) х2 – 5х+4 0
б) х-1 х2-5х+4
3.8 Нарисован график у= х-1. Нарисуйте на этом же чертеже график
у = (х-1)2
Задания для самостоятельной работы:
Подготовить рефераты:
А) «Параболоид вращения»
Б) «О применении свойств параболы в телескопах, прожекторах и т.д. »
В) «Забавный аттракцион «Параболоид чудес»»
Г) «Космические объекты, движущиеся по параболе»
Решить упражнения:
3.9. Найдите квадратный трехчлен вида x 2+ px + g, если его график пересекает ось абсцисс в точках х=2; х=5.
3.10. Можете ли Вы придумать многочлен, график которого пересекал бы ось ОХ в 101 точке: х1= -50; х2 = -45;х3= -48…..х101 = 50?
3.11. Нарисуйте любой график у = (х), нарисуйте на нем же
график у =( (х ))2
3.12. Нарисуйте график у = х2; у = (х -х )2
Дробно – рациональная функция.
Цель – расширить представления учащихся о дробно – рациональной функции, ознакомить с интересными свойствами гиперболы.
Методические рекомендации. Показать учащимся, как построить график функции у = 1 /х, обратить особое внимание на точки около прямой у=0 и х=0, ввести понятие асимптот. Научить учащихся строить графики функции вида у = b / cx+d, c ≠ 0, d ≠ 0.
Графики получаются из графика у = 1 / х сдвигом по оси ОХ и растяжением по ОУ. Чтобы правильно определить величину сдвига и коэффициент растяжения, нужно числитель и знаменатель дроби поделить на с – коэффициент при х
b /( cx + d) = b/c /(x+d/c).
Научить учащихся строить графики вида y= (ax+b)/ (cx+d), с ≠ 0. Графики есть гиперболы различным способом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по ОХ.
Рассказать об интересных свойствах гиперболы. Гиперболоид вращения.
Решение заданий:
Построить графики функций:
у = 1 / 3х+2
у=1 / х-3х-2
у = 1 / х-2х +3
у =(1 / 2-х) +1
Построить.
4.5. а)У = 3х +5 / 2х +2
в)У = 1 / 1-2х
Сколько решений имеет уравнение
Х /( 1-х )= х2+4х+2
Задания для самостоятельного выполнения.
Подготовить рефераты:
А) «Однополостный гиперболоид»
Б) «Двуполостный гиперболоид»
В) «Космические объекты, движущиеся по ветви гиперболы»
Подготовить небольшое эссе по теме «Верно ли назван роман
А. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина?»»
Решите упражнения:
4.9. Построить графики:
у = (3+х) / (3-х)
4.10. у = (2х+1) /( х+1)
Степенные функции.
Цель: обобщить понятие о степенных функциях, расширить знания о кубической параболе.
Основное содержание:
Кубическая парабола
Касательная к кривой
Методические рекомендации:
Ввести понятие степенных функций у= хп. Рассказать, что для n=1, n=2, мы уже строили графики функций, n=3 - куб парабола. С увеличением х0 увеличиваются и значения функции у = х2, у = х3. Для отрицательных х кривая у = х3 ведет себя иначе. Различие кубической и квадратичной параболы. Рассмотреть симметрию ОУ. Уточнить смысл выражения: «прямая касается кривой». Ввести понятие касательной.
Упражнения:
5.1 Постройте гафик функции у =х2 – х 4 двумя способами:
а) вычитанием графиков
б) разложив х2-х4 на множители.
5.2 Найдите касательную к параболе у = х 2+ х в точке А (1;2)
Какая из прямых, параллельных прямой у = х, касается параболы
у = -х2 +1?
5.4 Нарисуйте графики функций:
а)у = - х3; б) у= х3 ;
в) у = 1 + х3; г) у = (2+х)3.
Задания для самостоятельного выполнения:
5.5 Постройте графики:
а)у = (2-х)3; б) у = х3+3х2+3х
Докажите, что прямая у = 0, есть касательная к кривой у = х3 + х2 в начале координат
5.7 Найдите касательную к кривой
у = х3 + х2 в точке (0;0)
6. Рациональные функции.
Цель: подвести итог изученного выше материала и научить учащихся исследовать функции без привлечения средств дифференциального исчисления.
Основное содержание:
Построение графиков некоторых рациональных функций
Исследование функции и построения графиков. Этапы изучения функции
«сложение» и «умножение» графиков.
Методические рекомендации:
Представить рациональные функции – как функции, которые можно представить в виде частного двух многочленов. Разобрать несколько примеров рациональных функций. Например: « Постройте график функции у = (х-1)/ (х2+2х+1), у = х / (х2+1). Для исследования функции достаточно установить, при каких значениях х определена функция
у = (х), симметричен ли график относительно ОХ и (0;0), в каких точках
(х) обращается в нуль, а в каких она обращается в бесконечность, выяснить как она себя ведет на бесконечности. Такой анализ позволяет определить участки, на которых знак функции постоянен, наметить поведение функции и сделать грубый эскиз ее графика. Разобрать «сложение» и «умножение» графиков.
Задания для самостоятельного выполнения.
Исследуйте указанные функции и постройте их графики:
6.1 а) у =( х2-4 )/( х2-1) ; б) у =( х2+4 )/(х2+1)
6.2 Исследуйте функции на четность и нечетность.
А) у = х3-4хх -3х
Б) у =( х4+6) /(х2+2)
В) у = √ х
Г) у = √ х2Постройте график функций:
а) у =- 3х2-12х+4
б) у = (х-1)3+7
в) у= (х+1)4-5
Постройте графики используя «сложение» и «умножение»
а) у = х2 +1/ х
б) у= х/ (1+х2)
По окончании изучения свойств функций учащимся предлагается выполнить зачетную работу – проект.
6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ,
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ДЛЯ ПЕДАГОГОВ:
Виленкин Н.Я. Избранные вопросы математики-М: Просвещение,19895.
Воронина Г.А. Подходы к отбору содержания естественно-научного образования для профильных классов.// Профильная школа.-2004.-№5.-с.11-18.
Гельфанд И.М. Глаголева Е.Г. Функции и графики. –М.:Наука, 1990
Дорофеев Г.В. Профильная школа в концепции школьного математического образования.//Профильная школа.-2004.-№1.- с.7-14.
Ершов Л.В. Райхмист Р.Б.-М.:Просвещение,1984
Ермаков Д.С. Создание элективных учебных курсов дляпрофильного обучения//Народное образование .-2004.-№2 с.114-118.
Ермаков Д.С. Элективные курсы: требования к разработке и оценка результатов обучения//Профильная школа.-2004.-№3.-с.6-11.
Иванова Е.О. Личностно-ориентированное обучение: индивидуализация содержания образования// Завуч.- 2002.-№8.-с. 100-117
Концепция модернизации российского образования на период до 2010г.//Вестник образования._2002.-№6.-с.11-40.
Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования//Стандарты и мониторинг в образовании.02002.-№3-с.3-14
Курсы по выбору как основной компонент предпрофильной подготовки девятиклассников: Методические рекомендации/сост.Ю.В.Воронина.-Оренбург:Изд-во ООИПКРО ,2004.
Лернер П.С. Роль элективных курсов в профильном обучении// Профильная школа.- 2004.-№3.- с.12-17.
План-график мероприятий по подготовке и введению профильного обучения на старшей ступени общего образования//Стандарты и мониторинг в образовании.-2003.-№4-с.4-8
Подласый И.П. Педагогика: Новый курс: Учебник для студентов вузов.- Гуманит изд.Центр ВЛАДОС, 2001
Тахтамышева Г.Ч. Выбор профиля обучения на этапе предпрофильной подготовки// профильная школа.-2004.-№3.-с.46-47.
7.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, РЕКОМЕНДУЕМОЙ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ:
Ершов Л.В. Райхмист Р.Б.-М.:Просвещение,1984
Виленкин Н.Я. Избранные вопросы математики-М: Просвещение,1989
Концепция модернизации российского образования на период до 2010г.//Вестник образования._2002.-№6.-с.11-402.
Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования//Стандарты и мониторинг в образовании.02002.-№3-с.3-14
Курсы по выбору как основной компонент предпрофильной подготовки девятиклассников: Методические рекомендации/сост.Ю.В.Воронина.-Оренбург:Изд-во ООИПКРО ,2004.
Прощицкая Е.Н Практикум по выбору профессии: Учебное пособие для 8-9 классов._М. –Просвещение,1995.