Конспект по математике по темеРешения заданий № 8 для сдачи профильного уровня ЕГЭ

8 (база)

1) Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 16:00?
РЕШЕНИЕ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На картинке изображена окружность, в центре которой находятся стрелки, образующие угол. Круг поделен на 12 равных секторов отметками времени. Чтобы получить угол одного сектора, нужно поделить полный угол (360°) на количество секторов в круге: 360 / 12 = 30° Искомый сектор состоит из 4 одинаковых частей. Поэтому наименьший угол, который образуют минутная и часовая стрелка, равен: 30
· 4 = 120° ОТВЕТ: 120 2) Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 40 м и 50 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.
РЕШЕНИЕ:
Для получения длины забора нужно вычислить периметр участка земли и вычесть из него ширину проезда: 40 + 50 + 40 + 50 – 3 = 177 м [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ОТВЕТ: 177
В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом: ДЛИНА ЗАБОРА = 2K + 2N – L где K – ширина участка, L – ширина проезда, N – длина участка. Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ. 3) Человек, рост которого равен K м, стоит на расстоянии N м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна L м. Определите высоту фонаря (в метрах).
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 8 (Прикладная геометрия). Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения. Задача:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах). РЕШЕНИЕ:
Изобразим задачу с помощью геометрических фигур: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На картинке изображено 2 треугольника – малый и большой. Эти треугольники подобны по двум углам:
·BAC =
·DEC = 90°
·BCA =
·DCE – общий
Вычислим чему равен коэффициент подобия. Для этого возьмем две подобные стороны треугольников AC и EC и поделим большую на меньшую: (17 + 8) / 8 = 3,125 Теперь можно вычислить высоту фонаря AB. Для этого нужно умножить рост человека DE на вычисленный коэффициент подобия: 1,6
· 3,125 = 5 ОТВЕТ: 5.

В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом:
ВЫСОТА ФОНАРЯ = K
· (N + L) / L где K – рост человека, N – расстояние от человека до уличного фонаря, L – длина тени человека. Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ. 4) Электрику ростом 1,8 метра нужно поменять лампочку, закреплённую на стене дома на высоте 4,2 м. Для этого у него есть лестница длиной 3 метра. На каком наибольшем расстоянии от стены должен быть установлен нижний конец лестницы, чтобы с последней ступеньки электрик дотянулся до лампочки? Ответ запишите в метрах.

РЕШЕНИЕ:
Для начала нужно вычесть из высоты, на которой висит лампочка, рост электрика, чтобы понять, на какой высоте заканчивается лестница: 4,2 – 1,8 = 2,4 метра Осталось посчитать, на каком расстоянии от стены находится нижний конец лестницы. Стена дома и лестница вместе составляют прямоугольный треугольник, в котором стена и поверхность земли являются катетами, а лестница – гипотенузой. Чтобы найти расстояние, на котором находится нижний конец лестницы, нужно воспользоваться теоремой Пифагора:
·32 – 2,42 =
·3,24 = 1,8 метра ОТВЕТ: 1,8

В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом:
РАССТОЯНИЕ ОТ СТЕНЫ ДО ЛЕСТНИЦЫ =
·L2 – (N – K)2 где L – длина лестницы, N – высота, на которой закреплена лампочка, K – рост электрика. Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ.
6) От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]РЕШЕНИЕ:
Если на высоте 3 метров провести прямую, параллельную земли, получится прямоугольный треугольник, у которого известен один катет (расстояние от дома до столба), второй можно вычислить (часть высоты столба), а гипотенузу нужно найти. Второй катет равен: 12 – 3 = 9 м Чтобы найти длину провода (гипотенузу), нужно воспользоваться теоремой Пифагора:

·122 + 92 =
·225 = 15 м ОТВЕТ: 15
7) Детская горка укреплена вертикальным столбом, расположенным посередине спуска. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3 метрам. Ответ дайте в метрах. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
РЕШЕНИЕ:
На картинке изображено 2 треугольника – малый и большой. Эти треугольники подобны по двум углам:
·BAC =
·DAE – общий
·BCA =
·DEA = 90° Коэффициент подобия равен 2, так как столб расположен ровно посередине спуска. Поэтому высота столба в 2 раза меньше высоты горки и равна: 3 / 2 = 1,5 м
ОТВЕТ: 1,5
8) На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,7 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3,2 м, а длина 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от значения, указанного на плане?
РЕШЕНИЕ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для начала получим площадь комнаты по точным измерениям: 3,2
· 5 = 16 м2 Тогда площадь комнаты отличается от значения, указанного на плане на: 16 – 15,7 = 0,3 м2
ОТВЕТ: 0,3
9) Бассейн имеет прямоугольную форму, имеет длину 50 м и разделён на 6 дорожек, шириной 2,5 м каждая. Найдите площадь этого бассейна.

РЕШЕНИЕ:
Чтобы получить площадь бассейна, знать его длину и ширину. По условию задачи дана длина бассейна, нужно вычислить его ширину. Для этого нужно умножить количество дорожек на их ширину: 6
· 2,5 = 15 м
Тогда площадь бассейна равна: 15
· 50 = 750 м2
ОТВЕТ: 750 10) Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 900 м и 400 м. Одна из бульших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно отгородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.

РЕШЕНИЕ:
Чтобы получить длину забора, нужно вычислить периметр прямоугольного участка за вычетом его большей стороны. Для этого нужно сложить все остальные стороны прямоугольного участка: 900 + 400 + 400 = 1700 м

ОТВЕТ: 1700








13PAGE 15


13PAGE 14115




15