Решение текстовых задач разными способами и методами
13 EMBED Equation.3 1415Решение текстовых задач разными способами и методами
Оглавление
Введение..
3
Глава I. Теоретические аспекты становления теории текстовых задач.
1.1.
История текстовой задачи в России. Определение текстовой задачи. Структура задачи...
5
1.2.
Классификация текстовых задач.
14
Глава II. Методы и способы решения текстовых задач в курсе математики 5 - 6 классов.................................................................................
2.1
Методы и способы решения тестовых задач.
19
2.2
Примеры решения текстовых задач в 5 - 6 классе
21
Заключение....
31
Литература...............................
32
Введение
Проблемы обычного школьного урока привлекают к себе в последнее время особенно пристальное внимание. От школы и от учителя требуют не только дать знания, сформировать программные умения и навыки у всех учащихся, а главное, научить школьников творчески распоряжаться ими.
Но в большинстве случаев, учащиеся ориентируются на указания учителя, а самостоятельно организовывать свои действия не умеют. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.
Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи показатель обученности и развития учащихся. Научиться решать математические задачи очень важно, т.к., зная подходы к решению математических задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и в жизни вообще. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной личности.
Функции, цели обучения самой математики: воспитание, развитие, обучение молодого поколения. Отдельная задача может нести в себе различную информацию из различных областей знаний, расширять кругозор, воздействовать на познавательные возможности, может нести эстетическую нагрузку.
Цель: описание методов и способов решения текстовой задачи в курсе изучения математики 5 – 6 классов.
Объект работы: текстовые задачи в курсе математики основной школы.
Предмет работы: решение текстовых разными способами и методами.
В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:
изучить научную литературу по данной проблеме;
рассмотреть классификации, методы и способы решения текстовых задач;
описать методы и способы решения задач в 5 - 6 классах.
При решении задач требуется, чтобы учащиеся не только знали правила, определения, формулировки, но и понимали их смысл, значение, умели применять их в конкретных ситуациях. В процессе обучения должны объединиться строго научное изложение учителя с высказываниями, рассуждениями, вопросами, усилиями в преодолении трудностей со стороны учащихся.
Глава 1. Теоретические аспекты становления теории текстовых задач
1.1 История текстовой задачи в России. Определение текстовой задачи. Структура задачи
История текстовых задач в России
Традиционно в России задачи в обучение занимали одно из ведущих мест. С древнейших времен люди сталкивались с необходимостью решения различных практических задач. Приходилось отыскивать способы их решения. Т.о., текстовые задачи изначально были «движущей силой» развития математики.
Практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. При этом пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России, - почти исключительно российский феномен [22].
Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом. Автором этой рукописи был новгородский дьякон и «чистолюбец» Кирик. Записки содержат задачи на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня отворения мира, вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным. Измерение земель, военное дело, развивающиеся торговые отношения – все требует прикладных математических знаний.
Рукописи XVI – XVII веков послужили основой для создания учебной литературы XVIII века. Многие задачи перешли в учебники по арифметике и алгебре в XVIII век из старых рукописей, некоторые задачи сохранились до наших дней.
Проводимые Петром I реформы государственной, общественной и культурной жизни страны затронули и образование. Для вновь созданных учебных заведений нужны были учебники. В 1703 году был создан учебник математики, автором которого был замечательный педагог-математик Леонтий Филиппович Магницкий, а назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная», прослужившая в качестве школьного учебника почти до середины XVIII века. Задачи, так или иначе, сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Целый пласт фольклорного наследия русского народа – это загадки. Но что такое загадка? Это задача в стихах, решение которой требует внимания, сообразительности, логики, а иногда и чисто математических знаний.
Очень долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Изначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».
Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу.
«Тройным правилом или золотым называется правило, с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить всё.
...Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящие сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».
Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение: Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?
Фунты фунты гульдень
29 100 7
Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов.
Это была обычная практика. По-другому в те времена учить не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703 г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России[22].
В 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.
Первой причиной большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.
Второй причиной повышенного внимания к использованию текстовых задач в России является то, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ. Проверкой полученного результата.
Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилась так много времени при обучении математике в школе.
К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и т. д. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. В процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни [28].
Например, из программы 5-6 классов, исключили задачи на совместную работу ввиду их «нежизненности»!
К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Академик В.И. Арнольд сравнивал традиционное отечественное преподавание математики с американским, писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, который мы учим [29].
Определение текстовой задачи. Структура задачи
Термин задача встречается нам как в быту так и в профессии. Каждый из нас решает ежедневно те или иные задачи. Авторы дают различные определения задачи вот некоторые из них:
1. Арифметической задачей называют требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой (М.В. Богданович )[27].
2. В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (М.А. Бантова) [27].
3. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (М.И. Моро, А.М. Пышкало ).
4. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения (Л.П. Стойлова , А.М. Пышкало )[25].
5. Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Л.М.Фридман, Е.Н.Турецкий )[29].
6. В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами (Н.Б.Истомина )
7. Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий (В.Л. Дрозд )
Таким образом, четкого определения текстовой арифметической задачи нет, вводится лишь её понятие, причем, по мнению Н.В. Метельского , это понятие является первичным (неопределяемым). Он отмечает, что «задача – понятие неопределяемое и в самом широком смысле слова означает то, что требует исполнения, решения. Иногда под задачей понимают упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.п. Последнее толкование термина «задача» ближе к понятию «задача в обучении», которую можно назвать дидактической задачей. Математическая задача в обучении является также неопределяемым понятием, подчиненным понятию «дидактическая задача»».
Т.Е. Демидова выделяет следующие виды задач:
а) общегосударственные задачи,
б) задачи определенных коллективов и групп,
в) задачи которые стоят перед отдельными личностями.
В широком смысле, задача – это ситуация требуемая некоторого решения.
А.Н. Леонтьев определяет задачу как цель, заданную в определенных условиях. Л.Л. Гурова рассматривает ее, как объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, производящих раскрытие связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами. А вот Л.М. Фридман, связывает понятие «задача» с понятием «проблемная ситуация». Детальный анализ и обзор различных подходов к определению термина «задача» представлен в работе Ю.М. Калягина.
По определению Ю.М. Калягина, задача – есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.
В своих работах А.А. Темербекова выделяет особый вид задач – математические, она их раскрывает следующим образом. Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.
Отдельным блоком можно поставить математические задачи, для решения которых нужны специальные математические знания.
Т.Е. Демидова выделяет: научные (н-р, теорема Ферма, проблема Гольбаха и др.), решение которых способствует развитию математики и ее приложений, и задачи учебные, которые служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков у разных групп обучаемых и направлены на изменение качеств личности обучаемого [29].
В учебных математических задачах объекты математические (числа, фигуры и т.п.), ученые же задачи характеризует реальные предметы (скорость, масса, длина и т.п.)
Математическая задача – это требование осуществить некоторую математическую деятельность в указанных условиях.
По характеру различают задачи на вычисление, на построение, на доказательство, на исследование, на моделирование. По роли, которую играют учебные задачи, их делят на репродуктивные, задачи с известным алгоритмом и проблемные. Задачи, все объекты которых математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, установление признаков изучаемого математического понятия и т. д.), часто называют математическими задачами. Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.
Демидов Т.Е. текстовой задачей называет описание некоторой ситуации на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостях между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения, либо найти последовательность требуемых действий [29].
Придерживаясь современной терминологии, можно сказать. Что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явлений, события, процесса. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не всё событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.
Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.
В каждой задаче можно выделить:
числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не менее двух);
некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
требование или вопрос, на который надо найти ответ.
Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т. е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.
Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их так же может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин - искомыми, или неизвестными.
Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывателыюй моделью задачи. Для того чтобы уяснить структуру задачи, надо выявить ее условия и требования, т. е. построить высказывательную модель задачи.
Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова - это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. д.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:
Решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи.
Решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т. е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения.
Решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.
1.2. Классификация текстовых задач
Классификация задач
В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать:
По числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;
По соответствию числа данных и искомых;
По фабуле задачи;
По способам решения и др.
Классификации по числу действий:
простые;
составные задачи.
Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой.
Пример. Саше 7 лет, он на 3 года старше Тани. Сколько лет Тане?
Задачу, для которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.
Пример. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 части всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определите объем айсберга.
Разделение задач на простые и составные не может быть проведено вполне строго. Например: задача на сложение нескольких слагаемых может быть решена одним действием сложения или несколькими действиями сложения, т.е. может быть причислена к простым или составным. Задачи на нахождение числа по его части могут решаться одним действием - делением на дробь, как задачи простые, или двумя действиями (деление на числитель дроби и умножением на ее знаменатель), т. е. могут быть отнесены к составным задачам.
Выбор действия - центральный и вместе с тем самый трудный вопрос при решении простых задач [25].
Решение составной задачи сводится к разложению ее на простые задачи и к решению этих простых задач.
Решение сложной задачи состоит из следующих частей:
усвоение учащимися содержания задачи;
разбор задачи и составление плана (разложение сложной задачи на простые и составные и составление плана решения);
решение (выбор действия, их выполнение, запись хода решения и вычислений);
проверка решения.
Классификация по соответствию числа данных и искомых:
определенные задачи;
неопределенные задачи;
переопределенные задачи;
задачи с недостающими данными.
Число условий должно соответствовать числу данных и искомых. Тогда задача имеет одно решение и является задачей определенной.
Пример. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?
Если число условий в задаче недостаточно, то задача может иметь несколько решений и называется задачей неопределенной.
Пример. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Какова масса вишневое варенье, если в каждой банке его 800 г?
Задачи с альтернативным условием - это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.
Пример. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй - со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 ч, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
Переопределенные задачи - задачи, имеющие условие, которые не использующие при их решении выбранным способам. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.
Пример. В одной печи можно обжечь 39 ООО кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней можно обжечь 143 ООО кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй.
Задачи можно разделить на стандартные и нестандартные.
Нестандартная задача – это задача, решение которой не является для решающего известной целью известных действий.
В каждой нестандартной задаче, как в клубке ниток, можно обнаружить ту ниточку, потянув за которую, можно распутать весь клубок. Классификация по фабуле задачи:
«на движение»;
«на работу»;
«на смеси и сплавы»;
«на смешение и концентрацию»;
«на проценты»;
«на части»;
«на время»;
«на покупку и продажу» и т. п.
Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задач бывает порой очень разнообразной.
Наиболее часто используемой эвристикой является метод восходящего анализа - решение задачи с конца, от требования - к условию.
Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель[24].
Классификация по способу решения задач:
задачи на тройное правило;
задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;
задачи на пропорциональное деление;
задачи на исключение одного из неизвестных;
задачи на среднее арифметическое;
задачи на проценты и части;
задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом».
При решении задач различными методами используют, как правило, «свою» классификацию задач. Так, при алгебраическом методе решения чаще всего в качестве основания классификации берут фабулу задачи, а при решении арифметическим методом задачи классифицируют по способам их решения. Однако следует отметить, что такое разбиение задач на группы, строго говоря, не является классификацией, так как в этих случаях, с одной стороны, появляются задачи, которые не могут быть отнесены ни к одной из образовавшихся групп, с другой стороны, существуют задачи, которые могут быть отнесены к нескольким указанным группам.
Вместе с тем с точки зрения учебных целей эти и подобные им «классификации» задач удобны. Они дают возможность выделить наиболее типичные виды задач и усвоить стандартные способы их решения.
При обучении математике в средних классах, кроме приведенной классификации задач по их месту при изучении нового материала используются классификации по другим основаниям:
По методам поиска решения - алгоритмические, типовые, эвристические;
По требованию задачи - на построение, вычисление, доказательство;
По трудности -- легкие и трудные;
По сложности - простые и сложные;
По применению математических методов - уравнений, подобия, арифметический, алгебраический, графический, практический и т. д.
Все эти классификации позволяют рассматривать математические задачи под разными углами зрения и уточнять, совершенствовать методику работы с учащимися над задачей.
Глава 2. Методы и способы решения тестовых задач в курсе математики 5 - 6 классов
2.1 Методы и способы решения тестовых задач
Существуют различные методы решения текстовых задач:
арифметический,
алгебраический,
геометрический,
логический,
практический,
табличный,
комбинированный,
метод проб и ошибок.
В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.
Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.
Иногда для краткости изложения, вместо того чтобы говорить, что задача решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметическим способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто - «задача решена арифметически».
Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.
Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.
Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.
Логический метод. Решить задачу логическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.
Практический метод. Решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).
Табличный метод позволяет видеть задачу целиком это- решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу.
Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.
Метод проб и ошибок (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается. Но и здесь основные моменты решения - выбор пробных ответов на вопрос задачи и проверка их соответствия условию осуществляется с помощью мыслительных операций, необходимых при решении любым путем. Угадывание ответа требует интуиции, без которой невозможно никакое решение.
Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.
2.2. Примеры решения текстовых задач в 5 - 6 классе
Решение задач по-разному – мощное средство постижения мира, осознание разнообразия свойств и отношений его элементов. Разные методы и способы решения - средство развития познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения, способности слышать и понимать других людей.
Арифметический метод.
Пример. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?
Решение.
1-й способ.
1) 82 13 EMBED Equation.3 1415 32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;
2) 192 : 2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;
3) 96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;
4) 96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;
5) 96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.
2-й способ.
1) 82 – 32 = 50 (чел.) - настолько больше студентов поют в хоре, чем
занимаются художественной гимнастикой;
2) 50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре;
3) 128 : 2 = 64 (чел.) - поют в хоре;
4) 78 – 64 = 14 (чел.) занимаются художественной гимнастикой;
5) 82 – 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.
Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.
Алгебраический метод.
Пример 1. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?
Решение.
1-й способ. Пусть х д. в день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10) д. в день - новая производительность, Зх д. – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.
2-й способ.
Пусть х д. – число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 д. в день - новая производительность, (13 EMBED Equation.3 1415 – 10) д. в день – первоначальная производительность рабочего по условию получаем уравнение х = 3(13 EMBED Equation.3 1415 – 10), решив которое найдем х = 60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.
Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.
Приме 2. На солнышке грелось несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?
Решение.
1 способ.
Кошки
х шт.
Лапы
4х шт.
Ушки
2х шт.
Так как лап на 10 больше чем ушей.
Составим и решим уравнение: 4х – 2х = 10 2х = 10
·: 2 х = 5
Ответ: 5 кошек грелось на солнышке.
2 способ
На сколько лап больше чем ушей у одной кошки? 4 – 2 = 2 (шт.)
Сколько кошек грелось на солнышке? 10 : 2 = 5 (шт.)
Ответ: 5 кошек грелось на солнышке.
Пример 3. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если известно, что у них вместе 19 голов и 46 ног?
Решение.
Количество
Ноги
Куры
х шт.
2х шт.
Овцы
(19 – х) шт.
4(19 – х) шт.
Так как у кур и овец ног всего 46. Составим и решим уравнение: 2х + 4(19 – х) = 46
Составленное уравнение учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой.
2х + 76 – 4х = 46 -2х = -30
·: (-2) х = 15 15 шт. – куры 19 – 15 = 4 (шт.) – овцы
Ответ: 15 кур, 4 овц
Геометрический метод.
Пример. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – ЗО км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?
Решение.
1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Причем длину одного отрезка по вертикали за 10 км. Длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д. Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.
2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали - расстояние (в километрах).
Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией y = 20х, второго – y= 250 – З0х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся. Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.
3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения - отрезком OS. Тогда площадь S прямоугольника OSOT соответствует расстоянию между городами А и В. Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50 · ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.
Логический метод.
Пример 1.: Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:
а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;
б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;
в) Дима играет.
Решение.
Если Саша и Сережа играют, то Дима не играет.
Если играют Дима и Андрей, то Сережа не играет.
Так как Дима по условию играет в шахматы значит – это Дима и Андрей играют в шахматы.
Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей – не играют.
Практический метод.
Пример. Некто истратил 30 р. Своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70р. Сколько денег было вначале?
Решение:
Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное количество денег (100 р.). Ответ: первоначально было 100 р.
Табличный метод
Пример. С одного участка собрали 1440 центнеров пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 гектар меньше, собрали 1080 центнеров. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором.
Анализ задачи показывает, что в ней рассматривается сбор урожая пшеницы с двух участков, при этом этот сбор характеризуется тремя величинами: массой собранной пшеницы, площадью участка и урожаем с одного гектара. Исходя из этого, составим таблицу для схематической записи условий и требований задачи. Неизвестные величины, встречающиеся в задаче, запишем в таблице буквами, притом искомое обозначим буквой х:
Участки
Масса собранной пшеницы, ц
Урожай с 1 га, ц
Площадь участка, га
Первый
1440
а + 2
х
Второй
1080
а
х – 12
В этой схематической записи выделены все условия, их объекты и характеристики. Указано и требование задачи: найти площадь первого участка. В то же время эта запись очень компактная, наглядная и полностью заменяет саму формулировку задачи.
Комбинированный метод
Пример. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй - треть того, что внесли все его товарищи, третий - четверть того, что все его товарищи, четвертый - оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?
Решение:
Пусть первый товарищ внес х р., второй – у р., третий – z р. тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение начнем алгебраическим методом.
Пусть первый товарищ вне х р., тогда все остальные внесли 2х р. Отсюда находим стоимость телевизора:13 EMBED Equation.3 1415 (р.). Значит, первый внес стоимости телевизора. Пусть второй внес у р., тогда все остальные внесли Зу р. Отсюда находим стоимость телевизора: 13 EMBED Equation.3 1415 (р.). Значит, второй внес стоимости телевизора.
Пусть третий внес z р., тогда все остальные внесли 4z р. Отсюда находим стоимость телевизора: 13 EMBED Equation.3 1415 (p.). Значит, третий внес стоимости телевизора.
Продолжим решение арифметическим методом.
Первый, второй и третий внесли 13 EMBED Equation.3 1415 стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные 13 EMBED Equation.3 1415 стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит13 EMBED Equation.3 1415 р.
Ответ: 3 000 р.
Метод проб и ошибок
Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.
Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Пример. Площадь прямоугольника равна 180 смІ, его ширина на 8 см меньше длины. Найти длину и ширину этого прямоугольника.
Построим математическую модель задачи: 13 EMBED Equation.3 1415
Подбираем решение «экспериментально», методом проб и ошибок.
Найдем значение x, такие, что значение выражения x · (x – 8) равно 180. По смыслу задачи x > 8.
Пусть x = 9, то 9 · (9 – 8)
· 180.
И 9 слишком маленькое число.
Возьмем x =17, то 17· (17 – 8)
· 180
x = 18, то 18 · (18 – 8) =180
x = 19, то 19 · (19 – 8)
· 180
Итак, если x = 18, то x – 8 = 10.
Ответ: длина 18 см, ширина 10 см.
Пример. Найти методом проб и ошибок натуральные корни уравнения xІ – 8x + 15=0
Найдем значения x, такие, что xІ – 8x + 15 равно 0.
Возьмем x = 2, то 2І – 8 · 2 + 15
· 0
x = 3, то 3І – 8 · 3 + 15 = 0
Один натуральный корень найден, продолжим исследование:
X = 4, то 4І – 8 · 4 + 15
· 0,
x = 5, то 5І – 8 · 5 + 15 = 0,
x = 6, то 6І – 8 · 6 + 15
· 0
Оказалось, что уравнение имеет 2 натуральных корня. Больше быть не может.
Ответ: 3 и 5
Пример. Найти число x, если выполняется равенство x ·(17 – x)= 70.
Найдем такое число х, чтобы значение выражения х · (17 – х) было равно 70.
x = 6, то 6 · (17 – 6) = 66 < 70
х = 7, то 7 · (17 – 7) > 70
х = 8, то 8 · (17 – 8) > 70
х = 9, то 9 · (17 – 9) > 70
х = 10, то 10 · (17 – 10) = 70
Ответ: х = 7 и х = 10.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.
Заключение
Для достижения цели данного исследования были выполнены следующие задачи:
Был произведен анализ некоторой методической и школьной литературы с точки зрения изучения общих методов решения задач в школе на уроках математики.
На основе изученного материла, были описаны методы и способы решения текстовых задач, в основной школе. С кратким описанием и приведением примеров.
В результате были описаны наиболее часто встречающиеся методы используемые в школьном курсе математики в 5 – 6 классах.
Таким образом, была достигнута цель данного исследования: описать методы и способы решения текстовой задачи в курсе изучения математики 5 – 6 классов.
Общеобразовательное значение курса математики, как и любого другого предмета, состоит, прежде всего, в тех общих понятиях, которые он даёт и которые расширяют кругозор и способы подхода человека к явлениям жизни. С этой точки зрения математика важна, во-первых, своей логикой, последовательностью и точностью выводов. Во-вторых, математика полезна тем, что она трудна. Её абстрактные строгие рассуждения требуют больших и длительных умственных усилий, требуют не столько памяти, сколько понимания и соображения. (А.Д. Александров).
Литература
Бизам, Д. Игра и логика. 85 логических задач //Д. Бизам, Я. Герцег.– М.: Мир, 1975.– 358 с. : ил.
Ванцян А.Г. «Математика» 5 класс// А.Г. Ванцян. – М.: Просвещение, 2009.- с.
Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина: 1999-2004. – 384 с.
Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 1999-2004. – 384 с.
Кочагин В.В. Математика // Тематические тренировочные задания/ В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина. – М.: Просвещение, 2008.
Гаврилова Т.Д. Занимательная математика. 5 – 11 классы. (Как сделать уроки математики нескучными)// Т.Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005. - 96 с.
Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 // Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1996.– 176 с. : ил.
Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1997.– 240 с. : ил.
Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова.– 3-е изд.– М.: Просвещение, 2000.– 368 с.: ил.
Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 3 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1999.– 129 с.: ил.
Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 3 ч. Ч. 3 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 2002.– 176 с. : ил.
Зак, А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления школьников // А.З. Зак.– Ярославль: Академия развития, 1998.– 192 с. : ил.
Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. В 2 ч. Ч. 2: Обучение математике через задачи и обучение решению задач // Ю.М. Колягин.– М.: Просвещение, 1977.– 139 с.
Кордемский, Б.А. Математическая смекалка // Б.А. Кордемский.– М.: Наука, 1991.– 377 с.
Лихтарников, Л.М. Логические задачи: книга для учащихся 3-7 кл. / Л.М. Лихтарников.– Новгород: НГПИ, 1995.– 288 с.
Мираков, Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5-8 классах: пособие для учителя // Т.Н. Мираков.– Львов: Квантор.– 1991.– 94 с. : ил.
Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учебное пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов // В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин и др.– М.: Просвещение, 1980.– 480 с.
Епишева О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. Для учителей //О.Б. Епишева В.И.. Крупин. – М.: Просвещение, 2000. – с. 102-136.
Мерзляк. А. Г. Математика: 5 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений // А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир.
· М.: Вентана-Граф, 2012.
Мерзляк А. Г. Дидактические материалы по математике для 5 класса // А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир.
· М.: Вентана-Граф, 2012.
Никольский С.М. Арифметика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений// С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 1999-2005. – 255 с.
Полякова, Т.С. История математического образования в России. Два века. – М.: Изд. Московского ун-та, 2002.
Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений// А.А. Темербекова. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 490 с.
Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах.: Книга для учителя// А.В. Шевкин. – М.:Галс плюс, 1998. – 168 с.
Шевкин А.В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики”: Лекции 1 – 4// А.В.Шевкин. М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 88 с.
Шевкин А.В. Роль текстовых задач в школьном курсе математике. Математика.// А.В. Шевкин– 2005. – № 17. – c. 23-30.
Ресурсы Интернет: http: //www.eidos.ru/journal/2002/0920.htm
Ресурсы Интернет: http://www.erudition.ru
Ресурсы Интернет: http:// docs.google.com
Ресурсы Интернет: http://ipk.admin.tstu.ru/sputnik
13PAGE 15
13PAGE 143415
Root Entry