Доклад Методика обучения решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными

МУНИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
"УСАДОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА"
СТУПИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА
Доклад
«Методика обучения решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными»
Выполнил
учитель математики МБОУ «Усадовская СОШ»
Шарапова Лариса Ивановна
Усады 2015
Содержание
Стр.
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме
§ 1. Логико-математический анализ содержания темы
§ 2. Психолого - педагогическое обоснование изучения темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»
ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме
§ 3. Примеры разработки обобщающего урока по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»
§ 4. Дидактические материалы по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы
Приложение
3-5
6-7
8- 15
16
17
18
Введение.
Актуальность проекта
Цель проекта: разработать практическое руководство по изучению и обобщению темы «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными» позволяющее формировать математическую образованность учащихся, соответствующую социальному заказу.Задачи исследования:
1.Выявить теоретические основы методики изучения темы.
2. Описать используемые методы, приёмы и формы организации деятельности учащихся.
3.Разработать сценарии уроков по теме.
4.Подготовить дидактический материал для закрепления темы.
Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике, посещение профессиональных сайтов.
Логико-математический анализ содержания темы.
В курсе алгебры 7 класса учащиеся неоднократно встречаются с равенствами содержащими две переменные.
При изучении темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными» расширяется представление учащихся о таких равенствах. Вводится новое понятие «система уравнений». Важно отметить, что изучение всех вопросов темы существенно опирается на знания учащихся о функциях и графиках. Особенно на знания и умения, полученные при изучении линейной функции, поэтому необходимо организовать планомерное повторение опорных понятий.
При изучении этой темы школьники получают новый мощный аппарат решения задач, широко используемый в последующем изучении предмета. Кроме того, совершенствуются представления учащихся о взаимосвязи алгебраических и геометрических образов.
На первом уроке в разделе « Системы линейных уравнений» вводится понятие уравнения с двумя переменными и даётся определение решения такого уравнения как упорядоченной пары чисел- значений переменных, обращающих уравнение в верное равенство. Данное определение должно быть хорошо понято и усвоено учащимися. Учащиеся имеют большой опыт работы с числовыми парами, однако в новых условиях у некоторых из них вновь могут возникнуть ошибки: запись значений переменной на «чужом» месте, в частности не различение пар вида (1;4) и (4;1). Предупреждению этих ошибок следует уделить внимание при решении устных упражнений.
Понятие решения уравнения с двумя переменными следует отрабатывать на достаточно большом числе упражнений, при этом важно обратить внимание на упражнения , которые позволят избежать неверного представления учащихся о том, что уравнение с двумя переменными всегда имеет бесконечно много решений.
В седьмом классе учащиеся впервые начинают знакомиться с понятием равносильных уравнений с двумя переменными. Далее происходит развитие понятия равносильности – равносильность систем уравнений. Завершается тема введением понятия графика уравнения с двумя переменными. Обращается внимание учащихся на то, что график линейного уравнения можно строить по двум точкам и графиком всегда является прямая вне зависимости от коэффициента. При построении графиков целесообразно повторить расположение графика в системе координат в зависимости от коэффициентов.
И наконец после всей предварительной подготовки использование геометрических представлений , связанных с уравнениями с двумя переменными , позволяет перейти к графическому способу решения систем уравнений. Решая графически системы уравнений с двумя переменными, учащиеся наглядно убеждаются, что системы могут не иметь решения, иметь конечное число решений, иметь бесконечно много решений. Ежеурочно перед графическим решением систем следует повторять следующий теоретический блок вопросов: а) что является графиком линейной функции; б) каков геометрический смысл коэффициентов в формуле линейной функции; в) алгоритм выражения переменных (х и у).
После того, как учащиеся усвоили графический метод решения систем уравнений, следует показать, что его использование не всегда удобно и даёт желаемый результат (приближённые значения) и как альтернативу предложить «способ подстановки». С самого начала учащиеся должны ясно представлять себе цель преобразования - добиться того, чтобы одно из уравнений системы содержало только одну переменную.
При разборе решения систем способом подстановки надо специально остановиться на этапе выбора той переменной, которую мы будем исключать из одного из уравнений: от этого часто существенно зависит сложность преобразования уравнений. Учащимся следует предложить алгоритмы решения, что значительно упростит задачу учителя по формированию прочных знаний. При решении первых систем от учащихся следует требовать полных и подробных объяснений выполняемых действий по образцу. Очень полезно 2-3 системы решить двумя способами – графическим и способом подстановки, тем самым закрепить ранее изученную тему и одновременно убедиться в большей эффективности аналитического способа решения.
Нельзя в математике двигаться дальше без опоры на ранее полученные знания, и как говорила в начале раздела постоянно необходимо повторять теоретический материал и выполнять устные упражнения по его закреплению, а именно в данной теме: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя.
Изучив два способа решения систем уравнений, учащимся следует показать возможные сложности их использования для отдельных систем уравнений и таким образом познакомить с третьим способом – «Способ сложения». Здесь, как и при решении систем, способом подстановки необходим чёткий алгоритм.
Изучив все три способа, учитель должен подобрать достаточное количество систем уравнений, на примере которых необходимо отработать выбор способа решения с предварительным анализом.
В зависимости от возможностей учащихся класса, их уровня подготовки целесообразно познакомить их с методом определителей и ввести уравнения с двумя переменными содержащие параметр.
Завершается раздел традиционно решением задач на составление систем линейных уравнений. При решении задач особое место следует отвести самоконтролю: проверке реальности ответа по содержанию задачи.
Данная последовательность изучения материала соответствует учебнику «Алгебра 7» Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Мендюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой. В соответствии с авторской программой на раздел «Системы линейных уравнений» отводится 17 часов, которого вполне достаточно, чтобы качественно изучить материал.
Не могу не сказать о том, что данная тема входит в кодификатор заданий ГИА, причём предлагаемые задания не всегда сводятся к решению конкретной системы, а имеют достаточно глубокий смысл требующий от учащегося умения анализировать и использовать знания в определённой ситуации. Предлагаемый далее практический материал можно использовать и в 9 классе на уроках повторения.
При изучении темы использую различные методы и средства обучения, а также различные формы организации учебной деятельности: словесные методы обучения, наглядные методы, практические методы, активные методы, индуктивный и дедуктивный.
Психолого - педагогическое обоснование изучения темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными».
Возраст учащихся 7 класса, когда впервые появляется в курсе алгебры данная тема относится к подростковому. В это время отмечается мощный подъем жизнедеятельности, глубокая перестройка организма. Происходит формирование личности, переход от детства к юности. Семиклассники характеризуются резким возрастанием познавательной активности и любознательности, развитием познавательных интересов. Подростки способны к самостоятельному творческому мышлению, рассуждению, сравнению, к выводам и обобщениям. Внимание и память приобретают характер организованных и управляемых процессов. Быстро развиваются смысловая логическая память, понятийное мышление. Мышление подростка приобретает способность строить логичные рассуждения на основе выдвинутых гипотез.
Волевые проявления у подростков имеют свои особенности: резко возрастает смелость, но снижается выдержка и самообладание, настойчивость проявляется только в интересной работе, снижается дисциплинированность, усиливается проявление упрямства.
Основным в этот период развития личности является становление самостоятельности. Подростки начинают ощущать способность ставить перед собой и самостоятельно решать некоторые практические задачи.
Происходит развитие самосознания и самооценки, возникновение интереса к себе, к своим качествам, потребность сравнивать себя с другими. С развитием самосознания возникает стремление к самовоспитанию.
Эти особенности возрастного развития создают предпосылки для включения подростков в активную познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).
Эмоциональное состояние подростка связанно с эмоциональным климатом всего коллектива. Занятия раскрывают привлекательность совместной деятельности, осознание понятия «мы», развивают чувство долга, ответственности перед товарищами, веру в свои силы. При проведении уроков в 7 классе следует использовать парную и групповую работу, дав, тем самым возможность учащимся общаться друг с другом, научиться слушать собеседника, отстаивать свою точку зрения, совместно находить оригинальное решение поставленной задачи.
Содержание следующей главы позволяет предлагать учащимся задания на развитие понятийного мышления, развитие способности строить логичные рассуждения, мысленно решать задачи.
В 9 классе происходит формирование сознательного отношения к процессу обучения, и имея уже определённые знания, учащиеся иначе воспринимают данную тему. На данном этапе урока целесообразно использование ИКТ (компьютер, проектор ) – презентация (приложение 1) или файл Microsoft Office Word, так как учащиеся владеют знаниями, и разбор с записью на доске займёт лишнее время.
Примеры методической разработки урока по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными».
Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме:
«Решение систем линейных уравнений»
Цель урока: закрепить умения анализировать, систематизировать полученные знания, находить рациональные пути решения задачи.
Задачи:
- обучающие
Повторить алгоритмы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.
Решить системы различными методами. Выбрать наиболее рациональный метод.
-развивающие
Проанализировать методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.
Научить выбирать наиболее рациональный способ для каждой системы.
-воспитательные
Воспитывать гармонично развитую личность с активной жизненной позицией, умеющей доказывать свою точку зрения.
Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могу переходить в следующую по уровню подготовки группу.
Оборудование: на столах лежат конверты с карточками для организации самостоятельной работы, которые учащиеся используют на различных этапах урока. Задания для каждой группы учащихся напечатаны на карточках различных цветов; для 1-й группы зеленые, для 2-й группы – желтые, для 3-й группы – красные.
Урок рассчитан на 45 минут.
I этап урока – организационный (2 минуты)
Учитель сообщает учащимся тему урока, и для каждой группы определяет основную цель.
Для 1-й группы: развивать умения решать системы линейных уравнений.
Для 2-й группы: закрепить и развить умение решать системы линейных уравнений базового и повышенного уровня сложности.
Для 3-й группы закрепить умения решать системы линейных уравнений повышенного уровня сложности.
Учитель поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
II этап урока (3 минуты)
Повторение теоретического материала по теме
«Линейное уравнение с двумя переменными»
Учитель:
Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?
Что является решением линейного уравнения с двумя переменными?
Какие уравнения с двумя переменными называют равносильными?
Что является графиком линейного уравнения?
Как расположен график линейной функции в зависимости от коэффициентов k и b?
III этап урока (3 минуты)
Устная работа по решению простейших задач на тему «Линейное уравнение с двумя переменными. Решение систем линейных уравнений»
Учащимся раздаются листы с заданиями. Ученики устно отвечают на сформулированные вопросы, комментируя свой ответ ссылкой на соответствующий теоретический факт.
1.Является ли уравнение с двумя переменными линейным ?
а)3х-у=17 ; б) х²-2у=5; в)13х+6у=0; г) ху+2х=9
2.Выразив, из уравнения х - 6у=4 переменную х через у, найдите два каких- либо решения этого уравнения.
3.Какие из пар (3;1), (0;10), (2;4) и (3;2,5) являются решениями уравнения 3х+у=10.
4.Являются ли пары чисел (-1;1), (2;-1) и (6;2,5) решением системы х-2у=1
4y-x=4
IV этап урока (5 минут)
Повторение теоретического материала по теме
«Системы линейных уравнений с двумя переменными».
Учитель:
Какие системы называются равносильными?
Что называется решением системы с двумя переменными?
Что значит решить систему уравнений?
Сформулируйте алгоритм решения системы способом подстановки? (Приложение 1)
Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений графическим способом?(Приложение 1)
Сформулируйте алгоритм решения систем способом сложения? (Приложение 1)
V этап урока (15 минут)
Со всеми учащимися класса рассматривается решение систем уравнений.
Способ подстановки
(1)
(2)
Выразим из уравнения (2) переменную x через y:

В первом уравнении заменим выражение для y равным ему выражением
,
Получим:


;
Подставляя найденное значение в выражение ,
получим:
имеем:
Следовательно, система имеет единственное решение

Ответ:
Способ сложения.
Решим способом сложения данную систему уравнений:


Умножая, второе уравнение системы на 5 и сложив почленно первое и второе уравнение.


Получим линейное уравнение с одним неизвестным:

Откуда
Подставляя вместо y в первое уравнение системы, получаем:


,
Следовательно, система имеет единственное решение ; .

Ответ:
Графический способ
Впервые определение функции было дано гениальным русским математиком Н.И.Лобачевским, термин «функция» введен Лейбницем. Символическая запись в виде формулы впервые введена Л. Эйлером. Из определения функции следует, что необходимо указать два множества чисел (значений аргумента и функции) и закон соответствия между ними, это может быть сделано графически.
Такой способ применяют в естествознании, технике (при использовании самопишущих приборов).
Решим графическим способом систему уравнений:

Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задание.
Вариант 1. Вариант 2
Решите систему уравнений:
у=х-1 х=2-у
5х+2у=16 3х-2у-11=0
В это время учитель с учащимися 2-й и 3-й группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.
Учащиеся второй группы приступают к самостоятельному выполнению заданий.
Вариант 1.Вариант 2
Решите систему уравнений:
3х+4у=07х+2у=0
2х+3у=14у+х=10
Учащиеся третьей группы выполняют задание самостоятельно
Вариант1Вариант2
Решите систему уравнений:
5у+8(х-3у)=7х-12,-2(а-в)+16=3(в+7)
9х+3(х-9у)=11у+466а-(а-5)=-8-(в+1)
Учитель проверяет правильность выполнения у учащихся первой и второй группы, если появляется необходимость, корректирует решения.
По завершении проверки все учащиеся класса пишут разноуровневую самостоятельную работу.
VI. этап урока
Разноуровневая самостоятельная работа. (15 минут)
Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут.
Для учащихся 3-й группы учителем составлены зеленые карточки в 3-х вариантах. Учащиеся 3-й группы - это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой. Работа для них содержит простейшие задания аналогичные тем, которые разбирались на уроке (2 задания) и два задания на темы, по которым они уже демонстрировали успешное выполнение заданий. Все задания в варианте базового уровня сложности. Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.
I уровень сложности (зелёные карточки)
Работа содержит простейшие задания. Все задания в работе базового уровня сложности.
Вариант 1.
1.Вычислите 0,5·3,2·(-0,5)
2.Решите неравенство 3(х+1)≤2х
3.Решите систему уравнений
у=1-4х,
-2х+2у=-3
4.Решите систему уравнений
2х+3у=-4
2х+у=2
Вариант 2.
1.Вычислите 2,3+12,1-12,8
2.Решите уравнение7х²-14=0.В ответе укажите наибольший корень.
3.Решите систему уравнений
у=-2 х,
-2х+4у=3.
4.Решите систему уравнений
4х-2у=11
-х+2у=-5
II уровень сложности.
Вариант 1
1.Решите систему
4u+3v=14,
5u-3v=25.
2.Решите систему:
3(х-5)-1=6-2х,
3(х-у) -7у=-4
Найдите х + у
Вариант 2
1.Решите систему
10p+7q=-2,
2p-22=5q
2.Решите систему:
(6х+у)-у=-1
7(у+4)-(у+2)=0
Найдите х –у
III уровень сложности. Задачи повышенного уровня сложности.
В своих работах учащиеся должны представить краткий ответ на первую задачу и развернутое решение второй задачи.
Вариант 1.
1.Решите систему: 40х+3у=10
20х-7у=5
2.Решите задачу:За 4 ч езды на автомашине и 7ч езды на поезде туристы проехали 640км. Какова скорость поезда, если она на 5км/ч больше скорости автошины?
Вариант 2
1. Решите систему: 4в+7а=90,
5а-6в=20.
2.Решите задачу: Основание равнобедренного треугольника на 7см больше его боковой стороны Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см.
По истечении времени учащиеся сдают работы.
Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает слабым учащимся выполнять задания наводящими вопросами .По истечении времени учащиеся сдают работы.
VII этап урока (2 минуты)
Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию
Учитель еще раз обращает внимание, на способы решения систем уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.
В качестве домашнего задания учащиеся получают вариант домашней контрольной работы.
Дидактические материалы по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»
Тренировочные задания (ЭОР, открытый банк заданий по математике ГИА 9 класс)
№1. В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых:
3х + 3у =7 и - 6х -6у= -2;
-3х+у=-7 и -4х + 8у=1
7х- 9у=7 и -8х - у=-6 ;
№ 2. Вычислите координаты точки пересечения прямых:
-3х-у=-9 и 6х +4у= 2
-3х-4у=-9 и 6х+ 7у= -5
-9х +у=1 и -4х+у=-9
-7х+9у=4 и -8х-4у= -4
5х+у=-8 и -3х+у=0
№3. Решите системы уравнений







Заключение
В ходе работы над проектом были определены методические особенности изучения данной темы в 7 классе и ее повторения в 9 классе. Проведён подробный анализ возможных затруднений и выход из них. Изложена последовательность введения основных понятий (7 класс) и их повторения в 9 классе. Успешное преподавание алгебры не может быть достигнуто, если учитель не не представляет себе содержания курса в целом и тех общих задач, которые должны быть решены в процессе его преподавания. Данный проект поможет учителю правильно расставить акценты при организации учебного процесса , лучше представить роль и место темы в курсе алгебры в целом, повысить эффективность уроков.
Разработан сценарий проведения разноуровневого обобщающего урока по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными» и подобран дидактический материал из открытого банка заданий ГИА. Данные методические разработки могут быть использованы как в 7 классе, так и в 9 при подготовке к ГИА. Следует отметить, что эффективность урока в 9 классе можно повысить благодаря использованию ИКТ, предложенная презентация (приложение 1) позволит более рационально использовать учебное время.
Список литературы
Алгебра в 7-8 классах: Пособие для учителя/ Ф.М.Барчунова, А.А.Бесчинская, Л.О.Денищева и др.; Сост. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Мендюк. –М.: Просвещение, 1998. -384с.:ил.
Григорьева Г.И. Нестандартные уроки по алгебре 7-9 класс – Волгоград: ООО «Экстремум», 2006.- 96с.: ил.
Конаржевский Ю.А. Анализ урока – М: Центр «Педагогический поиск», 2000.- 42 с.: ил.
Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 7 кл. Миндюк Н.Г. , Генжер, 1995.- 86с.:
http://nsportal.ruhttp://school8.admsurgut.rufppk.sckools.perm.ru
http://mathgia.ru