Вероятность и статистика для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Тема: «Вероятность и статистика для сдачи ОГЭ и ЕГЭ»СОДЕРЖАНИЕ
TOC \o "1-3" \h \z \u
пояснительная записка PAGEREF _Toc414197647 \h 31.теоретическая часть PAGEREF _Toc414197648 \h 61.1.основные понятия PAGEREF _Toc414197649 \h 61.2.аксиомы вероятностей PAGEREF _Toc414197650 \h 72.практическая часть PAGEREF _Toc414197651 \h 92.1.задачи для 9 класса PAGEREF _Toc414197652 \h 92.2.задачи для 11 класса PAGEREF _Toc414197653 \h 103.решение практической части PAGEREF _Toc414197654 \h 133.1.решение задач для 9 класса PAGEREF _Toc414197655 \h 133.2.решение задач для 11 класса PAGEREF _Toc414197656 \h 184.критерии оценвания PAGEREF _Toc414197657 \h 24литература PAGEREF _Toc414197658 \h 25информационно-техническое обеспечение PAGEREF _Toc414197659 \h 25

пояснительная запискаВ настоящее время актуальной стала проблема подготовки обучающихся к новой форме аттестации - ОГЭ и ЕГЭ. Сдача экзамена по математике за курс основной школы в форме ОГЭ и старшей школы в форме ЕГЭ является одним из направлений модернизации школьного образования на современном этапе.
Наша программа занятий «Вероятность и статистика», ориентирована на приобретение определенного опыта решения типовых задач по теме, позволяет выпускнику получить дополнительную подготовку для сдачи экзамена по математике в форме ЕГЭ и ОГЭ.
Особенность состоит в том, что в нашей программе занятий по математике предлагаются небольшие фрагменты, рассчитанные на 4-6 уроков на всю тему. Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес школьников к предмету, познакомить их с новыми идеями и методами, расширить представление об изучаемом в основном курсе материале.
Этот курс предлагает учащимся знакомство с математикой как с общекультурной ценностью, выработкой понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя. Если в изучении предметов естественнонаучного цикла очень важное место занимает эксперимент и именно в процессе эксперимента и обсуждения его организации и результатов формируются и развиваются интересы ученика к данному предмету, то в математике эквивалентом эксперимента является решение вероятностных задач.
Собственно весь курс математики может быть построен и, как правило, строится на решении различных по степени важности и трудности задач. Экзаменационная работа по математике в новой форме (ЕГЭ и ОГЭ) состоит из двух частей. Первая часть предполагает проверку уровня обязательной подготовки обучающихся (владение понятиями, знание свойств и алгоритмов, решение стандартных задач). Вторая часть имеет вид традиционной контрольной работы и состоит из пяти заданий. Эта часть работы направлена на дифференцированную проверку повышенного уровня математической подготовки обучающихся: владение формально-оперативным аппаратом, интеграция знаний из различных тем школьного курса, исследовательские навыки.
Курс предусматривает повторное рассмотрение теоретического материала по математике, поэтому имеет большое общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, намечает и использует целый ряд межпредметных связей и направлен в первую очередь на устранение «пробелов» в базовой составляющей математики систематизацию знаний по основным разделам школьной программы.
Цель занятий:
подготовить обучающихся к сдаче экзамена по математике в форме ОГЭ и ЕГЭ по теме «Вероятность и статистика» в соответствии с требованиями, предъявляемыми новыми образовательными стандартами;
оказание индивидуальной и систематической помощи выпускнику при повторении данного материала при подготовке к экзаменам.
Задачи занятий:
- дать ученику возможность проанализировать свои способности;
- повторить, обобщить и углубить знания по теме «Вероятность и статистика»;
- выработать умение пользоваться контрольно-измерительными материалами;
- проанализировать усвоения данного материала при подготовке к экзаменам.
Методы и формы обучения определяются требованиями профилизации обучения, с учетом индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития личности. Для работы с учащимися безусловно применимы такие формы работы, как лекция и семинар. Помимо этих традиционных форм рекомендуется использовать также дискуссии, выступления с докладами, содержащими отчет о выполнении индивидуального или группового домашнего задания или с содокладами, дополняющими лекцию учителя.
Возможны различные формы творческой работы учащихся, как например, «защита решения», отчет по результатам «поисковой» работы на страницах книг, журналов, сайтов в Интернете по указанной теме.
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель - создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Организация на занятиях должна несколько отличаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать.
В курсе заложена возможность дифференцированного обучения.
Таким образом, программа применима для различных групп школьников, в том числе, не имеющих хорошей подготовки.
Основная функция учителя в данном курсе состоит в «сопровождении» учащегося в его познавательной деятельности, коррекции ранее полученных учащимися ЗУН.
Ожидаемый результат выпускник должен знать/понимать:
- существо понятия вероятности; примеры решения задач на вероятность;
- как используются формулы вероятности и статистики, как из них составить уравнения и неравенства;
- примеры их применения для решения математических и практических задач;
- как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
- значение математики как науки;
- значение математики в повседневной жизни, а также как прикладного инструмента в будущей профессиональной деятельности
Выпускник должен уметь:
- решать задания, по типу приближенных к заданиям государственной итоговой аттестации (базовую часть) иметь опыт (в терминах компетентностей):
- работать с сайтами подготовки к ЕГЭ и ОГЭ,
- работать с информацией, в том числе и получаемой посредством Интернет.
Методические рекомендации по реализации программы. Основным дидактическим средством для предлагаемого курса являются тексты рассматриваемых типов задач, которые могут быть выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов ЕГЭ и ОГЭ или составлены самим учителем.

теоретическая частьосновные понятияТеория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий). 
Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом). 
Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, тo выпадение пятерки — событие.     События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С,...Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.
Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n 
Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.
Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5
Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти. 
Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие. 
Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.
Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1 ) — вероятности события A. 
Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА. 
Аналогично, совмещением нескольких событий, например A, В и С, называется событие D=ABC, состоящее в совместном наступлении событий A, В и С. 
Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В. 
Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A, В и С. 
Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное.
аксиомы вероятностейПусть A и B — два несовместных события, причем в n испытаниях событие A произошло m1 раз, а событие В произошло m2 раз. Тогда частоты событий A и В соответственно равны P*(A)=m1/n, P*(B)=m2/n. Так как события A и В несовместны, то событие A+B в данной серии опытов произошло m1+m2 раз. Следовательно,

Таким образом, частота события A+B равна сумме частот событий A и В. Но при больших n частоты P*(A), P*(B) и P*(A+B) мало отличаются от соответствующих вероятностей P(A), P(B) и P(A+B). Поэтому естественно принять, что если A и В — несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B) 
Изложенное позволяет высказать следующие свойства вероятностей, которые мы принимаем в качестве аксиом. 
Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию . 
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. 
Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B) Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то
Событием, противоположным событию , называется событие , состоящее в ненаступлении события . Очевидно, события  и  несовместны. 
Пусть, например, событие  состоит в том, что изделие удовлетворяет стандарту; тогда противоположное событие  заключается в том, что изделие стандарту не удовлетворяет. Пусть событие  — выпадение четного числа очков при однократном бросании игральной кости; тогда  — выпадение нечетного числа очков. 
Теорема 1. Для любого события  вероятность противоположного события  выражается равенством
Доказательство. Событие +, состоящее в наступлении или события , или события , очевидно, является достоверным. Поэтому на основании аксиомы 2 имеем Р(+)=1. Так как события  и  несовместны, то используя аксиому 3, получим Р(+)=Р()+P(). Следовательно, Р()+P()=1, откуда . 
Теорема 2. Вероятность невозможного события равна нулю. 
Доказательство непосредственно следует из аксиомы 2 и теоремы 1, если заметить, что невозможное событие противоположно достоверному событию.

практическая частьзадачи для 9 класса1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.
2. Из 1400 новых карт памяти в среднем 56 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна?
3. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.
4. Коля выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.
5. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
6. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Параллелограмм», равна 0,2. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Площадь», равна 0,1. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
7. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.
8. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
9. Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.
10. У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
11. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет номер, являющийся двузначным числом?
12. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.
13. Из 900 новых флеш-карт в среднем 54 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи?
14. В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1250 вещевых и 810 денежных выигрышей. Какова вероятность денежного выигрыша?
15. На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
16. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
17. Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
18. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
19. В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют: три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.
20. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.
задачи для 11 класса1. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
2. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Китая будет выступать после группы из Канады и после группы из Англии? Результат округлите до сотых. 
3. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
4. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
5. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Какова вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России?
6. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?
7. Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырем каналам из шестнадцати показывают музыкальные клипы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где клипы не идут.
8. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орёл, а во второй — решка.
10. В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсменок: 6 из Венгрии, 7 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.
11. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.
12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
13. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
14. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
15. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
16. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает?
17. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
18. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
19. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
20. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов.

решение практической частирешение задач для 9 классаЗадание 1
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.Решение.
Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна 
 Ответ: 0,5.
Задание 2
Из 1400 новых карт памяти в среднем 56 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна?Решение.
Вероятность того, что выбранная карта будет неисправной равна  Поэтому вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна, равна 1 − 0,04 = 0,96.
Ответ: 0,96.
Задание 3
Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.Решение.
Вероятность того, что стрелок промахнётся равна 1 − 0,8 = 0,2. Вероятность того, что стрелок первые два раза попал по мишеням равна 0,82 = 0,64. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала два раза попадает в мишени, а третий раз промахивается равна 0,64 · 0,2 = 0,128.
 Ответ: 0,128.
Задание 4
Коля выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.
Решение.
Трёхзначные числа — числа от 100 до 999 включительно. Их 900 штук, каждое четвёртое число, начиная со ста делится на 4, поэтому среди данных чисел 225 чисел делится на 4. Следовательно, вероятность выбрать число, делящееся на 4 равна 
Ответ: 0,25.
Задание 5
На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.Решение.
Вероятность того, что будет выбран пирожок с вишней равна отношению количества пирожков с вишней к общему количеству пирожков: 
 Ответ:0,25
Задание 6
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Параллелограмм», равна 0,2. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Площадь», равна 0,1. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
Решение.
Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,2 + 0,1 = 0,3.
 Ответ: 0,3.
Задание 7
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.
Решение.
Всего пирожков 4 + 8 + 3 = 15. Поэтому вероятность того, что выбранный пирожок окажется с вишней равна 
 Ответ: 0,2
Задание 8
В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.Решение.
Всего спортсменов 13 + 2 + 5 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 
 Ответ: 0,35.
Задание 9
Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.
Решение.
Всего есть 90 двузначных чисел (числа от 10 до 99 включительно). Двузначных чисел, оканчивающихся на 3 всего 9. Вероятность случайно выбрать двузначное число, оканчивающееся на 3 равна отношению количества таких двузначных чисел к общему количеству двузначных чисел, то есть 
 Ответ: 0,1.
Задание 10
У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение.
Вероятность того, что чай нальют в чашку с синими цветами равна отношению количества чашек с синими цветами к общему количеству чашек. Всего чашек с синими цветами:  Поэтому искомая вероятность 
 Ответ: 0,25.
Задание 11
Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет номер, являющийся двузначным числом?
Решение.
Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна 
 Ответ: 0,64
Задание 12
Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.Решение.
Вероятность того, что подойдет красная кабинка равна отношению количества красных кабинок к общему количеству кабинок на колесе обозрения. Всего красных кабинок:  Поэтому искомая вероятность 
 Ответ: 0,5.
Задание 13
Из 900 новых флеш-карт в среднем 54 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи?Решение.
Из 900 карт исправны 900 − 54 = 846 шт. Поэтому вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи равна: . Ответ: 0,94.
Задание 14
В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1250 вещевых и 810 денежных выигрышей. Какова вероятность денежного выигрыша?Решение.
Какова вероятность денежного выигрыша равна 
Ответ: 0,0081
Задание 15
На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.Решение.
Сергей выучил 20 − 3 = 17 вопросов. Поэтому вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна 
 Ответ: 0,85.
Задание 16
В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.Решение.
Всего выступает 13 + 2 + 5 = 20 спортсменов. Из них не из России 7 спортсменов. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 
 Ответ:0,35
Задание 17
Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?Решение.
Всего возможны два исхода эксперимента, выпадению решки удовлетворяет один из них, поэтому вероятность выпадения решки в этом эксперименте равна 1 : 2 = 0,5. Частота выпадения решки в данном эксперименте равна (1000 − 532) : 1000 = 0,468. Поэтому частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на 0,5 − 0,468 = 0,032.
 Ответ: 0,032.
Задание 18
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
Решение.
Вероятность вытащить пирожок с яблоками равна отношению количества пирожков с яблоками к общему количеству пирожков: 
 Ответ:0,2
Задание 19
В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют: три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.Решение.
Всего в соревнованиях участвуют 3 + 3 + 4 = 10 гимнасток. Поэтому вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России равна 
 Ответ: 0,3.
Задание 20
В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.Решение.
Вероятность купить банку с призом равна  Поэтому вероятность вытащить банку без приза равна 
 Ответ: 0,8.

решение задач для 11 классаЗадание 1
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?Решение.
На третий день запланировано  выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна
 
Ответ: 0,225.

Задание 2
 На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Китая будет выступать после группы из Канады и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.
 
Решение.
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Ки — Китай, Ка — Канада, А — Англия):
 
...Ки...Ка...А..., ...Ки...А...Ка..., ...Ка...А...Ки..., ...Ка...Ки...А..., ...А...Ки...Ка..., ...А...Ка...Ки...
Китай находится после Канады и Англии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна
 
Ответ: 0,33.
Замечание.
Пусть требуется найти вероятность того, что китайские музыканты окажутся последними среди  выступающих от разных государств групп. Поставим команду Китая на последнее место и найдем количество перестановок без повторений из  предыдущих групп: оно равно  Общее количество перестановок из всех  групп равно  Поэтому искомая вероятность равна
 
Задание 3
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Решение.
Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна
 
Ответ: 0,498.
Задание 4 №
В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение.
В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 1500 − 9 = 1491 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна
 

Ответ: 0,994.
Задание 5
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Какова вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России?Решение.
В первом туре Платон Карпов может сыграть с 16 − 1 = 15 теннисистами, из которых 7 − 1 = 6 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо теннисистом из России, равна 

Ответ: 0,4.Задание 6
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?Решение.
Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».
 Ответ: 4.
Задание 7
Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырем каналам из шестнадцати показывают музыкальные клипы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где клипы не идут.Решение.
музыкальные клипы не идут по 16 – 4 = 12 каналам. Тогда вероятность того, что Люба попадет на канал, где музыкальные клипы не идут, равна 
.
Ответ: 0,75.
Задание 8
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение.
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.
 Ответ: 0,02.
Задание 9
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орёл, а во второй — решка.
Решение.
Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Задание 10
В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсменок: 6 из Венгрии, 7 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.Решение.
В чемпионате принимает участие 25 − 6 − 7 = 12 спортсменок из Болгарии. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии равна
Ответ: 0,48.
Задание 11
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.Решение.
Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 

Ответ: 0,6.
Задание 12
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.Решение.
Всего возможных исходов — 8: орел-орел-орел, орел-орел-решка, орел-решка-решка, орел-решка-орел, решка-решка-решка, решка-решка-орел, решка-орел-орел, решка-орел-решка. Благоприятными являются четыре: решка-решка-решка, решка-решка-орел, решка-орел-решка, орел-решка-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 4 : 8 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Задание 13
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.Решение.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
Задание 14
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.Решение.
вероятность того, что к заказчице приедет желтое такси равна Ответ: 0,6.
Задание 15
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Решение.
Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре.
Это вероятность ничьей, она равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2.
Отсюда имеем: 

Ответ: 0,32.
Задание 16
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает?
Решение.
в среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 2000 − 6 = 1994 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна  
Ответ: 0,997.
Задание 17
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.Решение.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
 
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
  Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
 Ответ: 0,019.
Задание 18
В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.Решение.
Двухрублевые монеты могут лежать в одном кармане, если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Ответ: 0,4.
Задание 19
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.
 Ответ: 0,035.
Задание 20
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов. Решение.
На циферблате между пятью и одиннадцатью часами шесть часовых делений. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:  
Ответ: 0,5.

критерии оценвания
Максимальное количество баллов, которое может получить выпускник за выполнение всей работы – 20 баллов.
За верно выполненное задание 1 балл.
 Рекомендуемый минимальный результат выполнения работы, свидетельствующий об освоении федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика» по теме «Вероятность и статистика», – 12 баллов.
Таким образом, суммарный балл, полученный выпускником, является объективным и независимым показателем уровня его подготовки.
 
 
Пересчет первичных баллов в отметку 
 
Отметка по пятибалльной шкале 2 3 4 5
Суммарный балл за работу в целом 0 - 11 12 - 15 16 - 18 18 - 20

литератураКузнецов. Л.В. "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации" "Просвещение" 2011
Лысенко Ф.Ф. "Математика 9 класс" подготовка к ОГЭ. "Легион"  2014
Ященко И.В, Шестакова С.А. ОГЭ математика 9 класс Типовые тестовые задания. М: "экзамен" 2015
Глазков Ю.А, Варшавский И.К. . ОГЭ математика 9 класс . Практикум по выполнению типовых тестовых заданий. М: "экзамен" 2015
Ященко И.В. и др. ОГЭ математика 9 класс. Типовые экзаменационные варианты ( 36 вариантов). М: "Национальное образование" 2015.
Семёнов А.В, Трепалин А.С, Ященко И.В и др. ОГЭ математика 9 класс. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов. М: "Интеллект - Центр". 2015
Рязановский А.Р, Мухин Д.Г. ОГЭ математика 9 класс. "Теория вероятностей и элементы статистики" М:"Экзамен" 2015
информационно-техническое обеспечениеДемонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2015 году основного государственного экзамена по математике находятся на сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) (http://fipi.ru).
Регламент по итоговой аттестации обучающихся 9 классов по всем предметам можно скачать здесь http://saripkro.ru/itog_att.html
Официальный информационный портал поддержки ГИА.  Здесь можно найти информацию о проведении ГИА, о сроках сдачи ГИА и многое другое... http://www1.ege.edu.ru/content/view/763/201/
Сайт А.А.Ларина http://alexlarin.net/ege.html
9 класс. Открытый банк заданий ОГЭ по математике.
Варианты тестов. http://www.ctege.info/content/category/15/67/48/
Сайт Ким Натальи Анатольевны http://uztest.ru/exam
Тестирование http://www.mathtest.ru/
Тестирование http://www.school-tests.ru/online-ege-math.html
Тестирование http://reshuege.ru/