Работа уч-ся Комбинаторика и статистика вокруг нас

Комбинаторика и статистика вокруг нас





Выступление подготовила:
ученица 7 Б класса
МБОУ « Гимназия №1»
Шепелева Татьяна
Руководитель:
учитель математики
Дутова Е.Г.


с. Красногвардейское
2014гСодержание.

Введение. 3
Теория вероятностей 3
Основные понятия теории вероятностей.
Случайные события 5
Размещения.. 6
Сочетания 7
Перестановки 8
Статистические исследования 8
Заключение. 13
Список литературы 14
Введение.

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.
Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной.
Кто из двух шахматистов будет играть белыми? Какая из двух футбольных команд начнет игру? Чтобы решать такие вопросы по справедливости, принято подбрасывать монету, потому что «орел» ил и»решка» выпадают примерно с равной частотой. У меня возник вопрос: как называется наука, которая изучает подобные вопросы? Сегодня я хочу вам рассказать об этой науке.
Задача любой науки, в том числе экономической, состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Найденные закономерности, относящиеся к экономике, имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике – в планировании, управлении и прогнозировании.

1.Теория вероятностей.

Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали Нельзя сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Оказывается случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.
Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимаются явления с определенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.
Очевидно, что в природе, технике, экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XVI – XVII вв. Они принадлежали Д. Кардано, Б.Паскалю, П. Ферма, Х. Гюйгенсу, и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Я. Бернулли (XVII – начало XVIII в.), который доказал теорему, теоретически обосновавшую накопленные ранее факты и названную в дальнейшем «законом больших чисел».
Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на XVII – XIX вв. благодаря работам А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона и др. Весьма плодотворный период развития «математики случайного» связан с именами русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Люпунова и А.А. Маркова( XIX – XXв.)
Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей внесли российские математики С.Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А.Н. Колмогоров, Е. Нейман. Особо следует отметить неоценимый вклад академика А.Н. Колмогорова в становление теории вероятностей как математической науки.




2. Основные понятия теории вероятностей.
2.1 Случайные события.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.
Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.
Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.
События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Например, извлечение туза, короля из колоды карт.
Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Но это не математическое определение . Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующим ему, к общему числу случаев, т.е.
Р(А) = m/n,
где Р(А) - вероятность события А;
m – число случаев, благоприятствующих событию А;
n – общее число случаев.
Вероятностные оценки широко используются в физике и биологии, в социологии и демографии, в экономике и политике, в спорте и в повседневной жизни каждого человека. Если, например, в прогнозе погоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70%, это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики и стоит, выходя из дома, захватить плащ или зонт.
Пример 1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?
Решение. Все n=6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны. Событию А – « появление четного числа очков» благоприятствуют три исхода – 2, 4 и 6 очков. По формуле Р(А)=1/2.
Ответ: 1/2.

2.2 Размещения.

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов. ( 0<= m<=n). Если комбинации из n  элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения, то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m равно
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования.
13 EMBED Equation.3 14151113 EMBED Equation.3 1415
Если в размещениях из n элементов по m некоторые из элементы могут оказаться одинаковыми, то такие размещения называют размещениями с повторениями из n элементов по m.
Число размещений с повторениями из n элементов по m равно
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Буквы Т, У, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой ( 3 карточки). Какова вероятность того, что получится слово « ТОР»?
Решение. Пусть событие А – получение слова « ТОР». Различные комбинации трех букв из имеющихся шести представляют размещения, так как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования, т.е. общее число случаев 13 EMBED Equation.3 1415, из которых благоприятствует событию А m =1 случай. По формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4. Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
Решение. Общее число событий равно 25. событие А – событие, заключающееся в том, что ученику достанется на экзамене билет, к которому он не подготовился. Число благоприятных для события А исходов равно 25- (11+8)=6. значит Р(А)=6/25=0,24.

2.3. Сочетания.

Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m. Число сочетаний из n элементов по m равно
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. их число равно 13 EMBED Equation.3 1415=120.

2.4. Перестановки.
Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно 13 EMBED Equation.3 1415


3. Статистические исследования.

Широкому внедрению математико-статистических методов исследования способствовало появление во второй половине XX в. Электронных вычислительных маши и. в частности, персональных компьютеров. Статистические программные пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как трудоемкую работу по расчету различных статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а исследователю осталось главным образом творческая работа: постановка задачи, выбор методов ее решения и интерпретация результатов.
Появление мощных и удобных статистических пакетов для персональных компьютеров позволяет использовать их не только как специальный продукт научных исследований, но и как общеупотребительный инструмент плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных и торговых корпораций, баков и страховых компаний, правительственных и медицинских учреждений и даже представителей мелкого бизнеса. Среди множества используемых для этих целей пакетов прикладных программ выделим популярные в России универсальные и специализированные статистические пакеты: отечественные STADIA, Эвриста, Статистик-консультант, Олимп: СтатЭксперт и американские STATGRAPHICS, SPSS, SYSTAT, STATISTICA/w и др.

Для развития различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.
Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-то признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы.
Рассмотрим такой пример.
Пример 1. Учитель школы решила проверить математическую подготовку семиклассников. С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли 60 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел:
6, 5, 4, 0, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 7, 2, 5, 7, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 3 , 9, 7, 8, 6, 9, 8, 4, 6, 7, 9, 7, 8, 8, 7, 4, 2, 3, 5, 7, 8, 6, 7, 8, 8, 9, 0, 1, 4, 6, 6, 8, 7, 6, 7.
Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней строке, укажем в нижней строке количество появлений этого числа в ряду, т. е. частоту:
Число верно выполненных заданий
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Частота
2
2
2
3
5
6
10
13
11
6

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшим из них являются такие статистические характеристики, среднее арифметическое, мода, медиана, размах.
Найдем среднее арифметическое. Для этого общее число верно выполненных заданий разделить на число учеников. Получаем: 358/60 =5,9. Значит в среднем учащиеся выполнили по 5,9 заданий, т.е. примерно 2/3 общего объема работы. Размах данного ряда равен 9. Найдем медиану ряда. Так как в ряду 60 чисел, то необходимо найти среднее арифметическое 30-го и 31-го членов соответственного упорядоченного ряда. Медиана ряда равна (6+7)/2=6,5. Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это отношение, выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу - таблицей относительных частот.
Представим таблицу частот в виде диаграммы.

Пример 2. Ребята провели опыты по подбрасыванию монеты. Из 100 бросков «орел» выпал 46 раз, «решка» - 54 раза. Ребята поспорили, что вероятней при следующем броске: выполнение «орла» или «решки»?
«Вероятней появление «орла», - сказал первый, ведь до этого эксперимента он выпадал реже, чем«решка», значит, теперь должен выпадать чаще».
«Вероятней появление «решки», - сказал второй, раз она выпадала чаще, то и будет выпадать чаще».
«Мы знаем, что появление «орла» И «решки» В каждом эксперименте равновероятно, - сказал третий, - и вероятность появления «орла» или «решки» одинакова в 101-м опыте, так же как в первом или в любом другом».
Согласны ли вы с кем-то из участников спора и почему?
Решение. С первым участником согласиться нельзя. «Орел» «не обязан» дальше выпадать чаще, чем «решка». Хотя события - выпал «орел» И выпала «решка» - равновероятны, разница между числом выпадений того и другого в реальном опыте может оказаться достаточно большой. Как говорят математики, у «монеты нет памяти».
По сути, первый участник изложил типичную бытовую (и ошибочную!) трактовку так называемого закона больших чисел. Этот закон гласит, что с увеличением числа испытаний частота события стремится к его вероятности. С ним на содержательном уровне учащиеся познакомились ранее.
Утверждение второго участника также неверно. Однако некоторая житейская логика в этом утверждении есть: если и в самом деле «решка» «настойчиво» выпадает чаще, то может возникнуть подозрение, что так «устроена» монета, т.е. что она неправильная.
С рассуждением третьего участника следует согласиться.
Пример 2. Работниками телевидения был проведен опрос среди молодежи с целью определения времени просмотра телевизионных программ. Всего было опрошено 1000 человек. Зависимость числа зрителей от времени суток показана на гистограмме (рис. 5).
а) В какие периоды времени число людей, смотрящих телевизор, превосходит 500 человек? Какой процент от всего времени показа составляет время, когда телевизор смотрят более 500 человек?
б) Сколько человек в среднем смотрят телевизор в течение часа в период с 16 до 19 часов? Какой процент от числа опрошенных составляют эти люди?
в) Определите, какое число зрителей приходится в среднем на 1 час вещания.
Решение. а) Более пятисот человек смотрят телевизор в периоды с 17 до 19 ч и с 20 до 23 ч. Показ передач начинается в 6 ч и заканчивается в 2 ч следующего дня. Таким образом, время телевещания - 20 ч. Больше пятисот человек находятся у экранов в течение 5 ч. Это составляет 5/20=1/4, т.е. 25% всего времени показа.
б) Воспользуемся данными гистограммы. В течение трех часов с 16 ч до 19 ч телевизор смотрят 500 + 550 + 600 = 1650 человек. Следовательно, в среднем в этот период на час приходится 1650/3= 550 человек. Они составляют 55 % от числа опрошенных, т.е. от 1000 человек.
в) За весь период вещания, Т.е. за 20 ч, на один час в среднем приходится:
6600/20=330 человек.

Пример 3. Ребята решили сыграть в « Поле чудес» и изготовили самодельную рулетку. За время игры стрелка останавливалась на секторе « Приз» - 3 раза, на секторе « Банкрот» - 2 раза, на секторе «+» - 1 раз, на секторе « 250» - 4 раза, на секторе «100» - 5 раз, на секторе «50» - 3 раза, на секторе «10» - 6 раз, на секторе « 25» - 7 раз. Представьте данную информацию в виде диаграммы и проанализируйте результаты наблюдений.
















Заключение.

Рассмотрев данные примеры, можно сказать с уверенностью, что вероятностные оценки широко используются в физике и биологии, в социологии и демографии, в экономике и политике, в спорте. Для развития различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования, которые применяются для дальнейшего изучения случайных событий.
Список литературы.


Н.Ш. Кремер « Теория вероятностей и математическая статистика», М, 2001г.
Н.В.Калинина, В.Ф. Панкин « Математическая статистика», М, 2001г
В.Е. Гмурман « Теория вероятностей и математическая статистика», М, 2002г
П.П. Бочаров А.В. Печинкин « Теория вероятностей, математическая статистика», М., 1998г
















13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415



Рисунок 14C:\Documents and Settings\1\Мои документы\Мои рисунки\образование\12.jpegRoot Entry