Решение более сложных показательных и логарифмических неравенств

Решение более сложных показательных и логарифмических неравенств
Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ
af(x)>ag(x); af(x)<ag(x); af(x)≥ag(x); af(x)≤ag(x).
1.afx>agx. 1-способ. af(x)>ag(x)⇔a>1,fx>gx;0<a<1,fx<gx.
Из первой системы получаем следующее:
a>1,fx>gx;⇔a-1>0,fx-g(x)>0;⇒a-1(fx-gx)>0.
Аналогично получаем из второй системы: 0<a<1,fx<gx.⇔0<a<1,fx<gx.⇔a>0,a-1<0,fx-g(x)<0.⇒a>0,a-1(fx-gx)>0.Из совокупности двух систем заметим, что:
af(x)-ag(x)>0⇔a>0,a-1(fx-gx)>0.Таким образом, доказали следующее (1):
2-способ. af(x)-ag(x)>0⇔a>0,a-1(fx-gx)>0.(1)
2.af(x)<ag(x).
af(x)<ag(x)⇔a>1,fx<gx;0<a<1,fx>gx. af(x)-ag(x)<0⇔a>0,a-1(fx-gx)<0.Пример1. Решить неравенство: 2x-4(3x-1)5x-1516x-(16)-3)>0.
Решение. (x-2)∙2x4x+1-56(x+3)>0⇔xϵ-3;-1∪(0;2).
Ответ: xϵ-3;-1∪(0;2).
logaf(x)>logag(x); logaf(x)<logag(x); logaf(x)≥logag(x); logaf(x)≤logag(x).
1.logaf(x)>logag(x)logaf(x)>logag(x)⇔a>1,f(x)>g(x)>00<a<10<f(x)<g(x)⇔a-1>0,fx-gx>0, g(x)>0;a-1<0, a>0fx-gx<0, f(x)>0logaf(x)-logag(x)>0⇔a>0, fx>0;gx>0;a-1(fx-gx)>0.(2)
2.logaf(x)≥logag(x)logaf(x)≥logag(x)⇔logaf(x)-logag(x)≥0⇔a>0, a≠1; fx>0;gx>0;a-1(fx-gx)≥0.3.logaf(x)<logag(x)logaf(x)-logag(x)<0⇔a>0, fx>0;gx>0;a-1(fx-gx)<0.4.logaf(x)≤logag(x)logaf(x)-logag(x)≤0⇔a>0, a≠1; fx>0;gx>0;a-1(fx-gx)≤0.Пример2. Решить неравенство: 1+log2x+4+log12(13-x)x2+2x-3-|2x2-10x+8|≥0.
Решение.
log22+log2(x+4)-log2(13-x)x2+2x-3-|2x2-10x+8|≥0log2(2x+8)-log2(13-x)x2+2x-3-|2x2-10x+8|≥0,
2x+8-(13-x)x2+2x-3-2x2+10x-8(x2+2x-3+2x2-10x+8)≥0,x+4>0,13-x>0;3x-5-x2+12x-11(3x2-8x+5)≥0,x>-4,x<13;3x-5-x-1x-11x-1(3x-5)≥0,-4<x<13;Ответ: xϵ-4;1∪1;53∪53;11.
loga(x)f(x)>loga(x)g(x); loga(x)f(x)<loga(x)g(x);
loga(x)f(x)≥loga(x)g(x); loga(x)f(x)≤loga(x)g(x).
loga(x)f(x)-loga(x)g(x)>0⇔a(x)>0;fx>0;gx>0;a(x)-1(fx-gx)>0.loga(x)f(x)-loga(x)g(x)≥0⇔ax>0,ax≠1,fx>0,gx>0,ax-1fx-gx≥0.(3)
Пример 3. Решить неравенство:
log3-x2x+1∙log2x+1x2≤log3-x3x+1∙log3x+1x+2.Решение.
log3-xx2≤log3-xx+2,2x+1>0,2x+1≠1,3x+1>0,3x+1≠1,3-x>0,3-x≠1,x+2>0,x≠0.⇔3-x-1(x2-x-2)≤0,3-x>0,3-x≠1,x+2>0,x>-13x≠0.x∈-13;0∪0;2∪2;3.Ответ: x∈-13;0∪0;2∪2;3.(a(x))f(x)>(a(x))g(x); (a(x))f(x)<(a(x))g(x); (a(x))f(x)≥(a(x))g(x); (a(x))f(x)≤(a(x))g(x).
1.(a(x))f(x)>(a(x))g(x).
(a(x))f(x)>a(x)g(x) ⇔10f(x)lga(x)>10g(x)lga(x) ⇔a(x)>0,10-1(fxlgax-g(x)lga(x))>0;⇔a(x)>0,(fx-gx)lgax>0; ⇔
a(x)>0,lgax-lg1fx-gx>0; ⇔a(x)>0,ax-1fx-gx>0.Таким образом, аналогично формуле (1) получили (4):
(a(x))f(x)>(a(x))g(x)⇔a(x)>0,a(x)-1(fx-gx)>0.(4)
2.(a(x))f(x)<(a(x))g(x)(a(x))f(x)<(a(x))g(x)⇔a(x)>0,a(x)-1(fx-gx)<0.3.(a(x))f(x)≥(a(x))g(x).(a(x))f(x)≥(a(x))g(x)⇔ax>0, ax-1fx-gx≥0.Пример 4. Решить неравенство: (log2x+log0,25(x+3))x-4>1.
Решение. (log2x-12log2(x+3))x-4>1
⇔log2x-12log2x+3-1(x-4)>0,log2x-12log2x+3>0,x+3>0,x>0.⇔x2-4x-12(x-4)>0,x2-x-3>0,x>0.⇔
x+2x-6(x-4)>0,x-13+12(x+13-12)>0,x>0. ⇔x-6(x-4)>0,x>13+12.⇔ xϵ13+12;4∪6; ∞.Ответ: xϵ13+12;4∪6; ∞.
Задания для самостоятельного решения
Решите неравенство:
(2x+0,09∙2-x)12x≥(2x+0,09∙2-x)11-x.
Ответ: x∈log20,1; log20,9∪(0;13∪1; +∞.
logx+2(4x-1)<logx+2(2x+1)+logx+2(2x-1+1). Ответ: x∈(0;2).
log3+x(1-2x)∙log1-2xx2≤log3+x(1-3x)∙log1-3x(2-x).
Ответ: x∈(-3;-2)∪-2; 0∪0; 13.
(x+0,5)3x-1≥(x+0,5)2-x. Ответ: x∈-0,5;0,5∪0,75; +∞).