Тесты по теме Основы тригонометрии

I. Теоретические сведения
1. Радианная мера угла2. Тригонометрические функции различных углов3. Основные формулы тригонометрии и их свойства4. Функции синус и косинус5. Графики функций синус и косинус. Синусоида6. Функции тангенс и котангенс7. Построение графиков функций тангенса и котангенса8. Основные тригонометрические функции1. Радианная мера угла
Угол в 1 радиан - это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см рисунок ниже). Радианная и градусная меры угла связаны между собой отношением: 180о = &pi радиан, а угол nо равен π*n/180 радиан. Радианная мера угла позволяет упростить некоторые формулы. Например, для окружности радиуса r длина ее дуги l в α радиан вычисляется по формуле: l = α*r. Площать S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан, равна: S=αr2/2. Эти и другие преимущества привели к тому, что в тригонометрии обычно пользуются только радианной мерой угла. 
2. Таблица значений тригонометрических функций углов
В нижеприведенной таблице приведены значения тригонометрических функций различных углов, заданных в радианах. Напоминаем, что Π приблизительно равняется 3.14 радиан.
α 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/5 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
sin(α) 0 1/2; √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0
cos(α) 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1
tg(α) 0 1/√3 1 √3 - -√3 -1 -1/√3 0 1/√3 1 √3 - -√3 -1 -1/√3 0
ctg(α) - √3 1 1/√3 0 -1/√3 -1 -√3 - √3 1 1/√3 0 -1/√3 -1 -√3 -
3. Основные формулы тригонометрии и их свойства
Дадим определения тригонометрическим функциям синуса, косинуса, тангенса и котангенса. возьмем любой прямоугольный треугольник. Из курса геометрии мы знаем, что у него есть два катета и гипотенуза, причем угол между двумя катетами прямой - то есть равен 90o, или π/2 радиан. Рассмотрим угол α, который образован одним из катетов и гипотенузой. Синусом угла α называется отношение длин противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом угла α называется отношение длин прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом угла α называется отношение длин противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом угла α называется отношение длин прилежащего катета к противолежащему. Из определений тригонометрических функций сразу же следуют тригонометрические тождества:  
Немного более сложным путем можно получить формулы сложения тригонометрических функций:
 Из формул сложения очевидным образом можно получить формулы приведения тригонометрических функций: Для запоминания формул приведения можно воспользоваться следующим правилом: 1. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в случае если 0 < α < π/2 (см. рисунок ниже). 2. Функция меняется на кофункцию, если n нечетно, и не меняется, если n - четно. Кофункциями для функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответсвенно являются косинус, синус, котангенс и тангенс.  Так же при решении различных задач, связанных с тригонометрией, часто используются формулы суммы и разности синусов и косинусов:
 
Из них легко получить формулы двойного аргумента: При помощи замены переменных легко получить формулы половинного угла: 
4.  Функции синус и косинус.
Окружность радиуса r=1 с центром в начале координат называют единичной окружностью. Пусть точка Pα единичной окружности получена путем поворота точки P0 на угол α радиан против часовой стрелки. Ордината точки Pα - это синус угла α, а абсцисса этой точки - косинус углаα. Далее и везде будем считать, что значения всех углов задано в радианах, если только специально не указаны другие единицы измерения. Таким образом, если написано α=1, то подразумевается, что угол α равен 1 рад.  Определение. Числовые функции, заданные формулами y=sin(x) и y=cos(x) называют соответсвенно синусом и косинусом (обозначают соответсвенно sin и cos). Область определения этих функций - вся прямая действительных чисел. Область значения этих функций - отрезок [-1;1]: D(sin)=D(cos)=R E(sin)=E(cos)=[-1;1] Функция sin(x) является нечетной функцией: sin(-x)=-sin(x) Функция cos(x) является четной функцией: cos(-x)=cos(x) Обе функции sin(x) и cos(x) являются периодическими с периодом T=2π: sin(x+Tn)=sin(x) cos(x+Tn)=cos(x), где n - любое целове число.
Синусоида.
Построим график функции синус на отрезке [0;2π]. Отметим на оси ордина точки (0;-1) и (0;1), а на оси абсцисс точку с абсциссой 2π (что приблизительно равно 6.28). Слева нарисуем единичную окружность. Теперь разделим единичную окружность и отрезок [0,2π] на 16 равных частей и воспользуемся определением синуса для построения ее графика. Отметим точку Pα на единичной окружности и проведем через нее линию, параллельную оси абсцисс. Точка пересечения этой линии с прямой x=α и есть искомая точка графика функции синуса. Ее ордината совпадает с ординатой точки Pα, а функция sin по определению и есть ордината точки Pα. Для продолжения графика по оси ОХ дальше, чем точка x=2π, необходимо воспользоваться свойством периодичности функции sin(x): sin(x+2πn)=sin(x), где n - целое число. Таким образом, график синуса на всей числовой прямой получается путем параллельного переноса его части на отрезке [0;2π] вдоль оси ОХ на 2π, 4π, 6π, и т.д. Графи функции sin(x) называется синусоидой. Отрезок оси ординат [-1;1] иногда называют линия синусов.  Для построения графика функции cos(x) воспользуемся формулой приведения: cos(x)=sin(x+π/2). Следовательно, график функции косинуса получается из графика синуса путем его параллельного переноса на π/2 в отрицателньом направлении оси абсцисс. График функции косинуса так же называется синусоидой. См. рисунок ниже. 
6. Функции тангенс и котангенс.
Числовые функции, заданные формулами y=tg(x) и y=ctg(x), называют соответственно тангенсом и котангенсом (и обозначают соответственно tg и ctg). Областью определения функции тангенс является множество всех чисел x кроме тех, где cos(x)=0: x≠π/2+πn, где n - любое целое число. Областью определения функции котангенс является множество всех чисел x кроме тех, где sin(x)=0: x≠πn, где n - любое целое число. Проведем касательную l к единичной окружности в точке P0. Пусть α - произвольное число, для которого cos(α)≠0. Тогда точка Pα (cos(α),sin(α)) не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая OPα пересекает l в некоторой точке Tα с абсциссой 1. Необходимо найти ординату этой точки.Заметим, что прямая OPα проходит через точки О(0,0) и Pα(cos(α),sin(α)), поэтому она имеет уравнение y=xtg(α). Абсцисса Tα=1, из вышеприведенного уравнения прямой находит ординату Tα - tg(α). Итак, ордината точки пересечения прямых OPα и l равна tg(α). Прямую l иногда называют линией тангенсов.  Нетрудно по аналогии показать, что абсцисса точки Cα пересечения прямой OPα с касательной m к единичной окружности, проведенной через точку Pπ/2, равно ctg(α) при sin(&alpha)≠0. Прямую m называют линией котангенсов.  Область значений тангенса (котангенса) - вся числовая прямая. Докажем это для функции tg. Пусть y0 - произвольное действительное число. Рассмотрим точку T(1,y0). Следуя показанному выше, тангенс угла TOX равен y0. Следовательно, функция tg принимает любое действительное значение. Функции тангенс и котангенс обладают следующими свойствами: 1. tg(-x)=-tg(x), ctg(-x)=-ctg(x) - функции тангенс и котангенс являются нечетными функциями. 2. tg(x+πn)=tg(x), ctg(x+πn)=ctg(x), n - целое.
7. Графики функций тангенса и котангенса.
Построение графика тангенса на интервале (-π/2;π/2) аналогично построению, описанному в случае функции синуса.  Значение функции tg в точке можно найти с помощью линии тангенсов. Вследствие тождества tg(x+πn)=tg(x), где n - целое, график функции тангенса на всей области определения получается из графика на интервале (-π/2;π/2) параллельными переносами вдоль оси ОХ вправо в влево на π 2π и т.д. График функции тангенс называют тангенсоидой. Получение графика путем параллельных переносов представлено на рисунке ниже.  График функции котангенса можно получить аналогичным образом. Он представлен на рисунке ниже. 
8. Основные тригонометрические функции.
Синус, косинус, тангенс и котангенс часто называют основными тригонометрическими функциями. Иногда рассматривают еде две основные тригонометрические функции - секанс и косеканс (обозначаются sec и cosec соответственно). Для того, чтобы понять, почему основных тригонометрический функций именно шесть, заметим, что тригонометрические функции острого угла α можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника с острым углом α.  Таких отношений может быть всего шесть: sin(α)=a/c cos(α)=b/c tg(α)=a/b ctg(α)=b/a sec(α)=c/b cosec(α)=c/a
II. Тесты
Тест №1 по теме «Тригонометрия»
Вариант 1
1. Найдите , если
1) -0,8; 2) 0,8; 3) 0,6; 4) -0,6.
2. Вычислите .1) ; 2); 3); 4).
3. Упростите выражение .1) ; 2) ; 3) ; 4) 1.
4. Упростите выражение .1) ; 2) ; 3) 0; 4) 1.
5. Вычислите .1) ; 2) -2; 3) -2,5; 4) 4.
6. Вычислите .1) ; 2) 0; 3) 1; 4) ; 5) -.
7. Упростите выражение .1) ; 2) -; 3) 0; 4) .
8. Вычислите .1) 48; 2) -96; 3) 96; 4)-48.
9. Чему равен ?1) ; 2) ; 3) ; 4) .
10. Чему равен ?1) ; 2) ; 3) ; 4) .
11. Решите уравнение .1) ; 2) ; 3) ; 4) .
12. Решите уравнение .1) ; 2) ; 3) ;
4) .
13. Решите уравнение .1) ; 2) ; 3) ;
4) .
14. Решите уравнение .1) ; 2) ;
3) ; 4) корней нет.
15. Решите уравнение .1) ; 2) 4
3) .
Ответы
Вариант 2
1. Вычислите , если .
1) -0,6; 2) 0,8; 3) 0,6; 4) -0,8.
2. Вычислите .1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3. Упростите выражение .1) ; 2) ; 3) 1; 4) .
4. Упростите выражение .1) ; 2) 1; 3) ; 4) 0.
5. Вычислите .1) 0,5; 2) -3,5; 3) -1,5; 4) -5,5.
6. Вычислите .1) ; 2) ; 3) 0; 4) ; 5) -.
7. Упростите выражение
1) ; 2) ; 3) 0; 4) .
8. Вычислите
1) 2,5; 2) 5; 3) -2,5; 4) -5.
9. Чему равен ?1) ; 2) ; 3) ; 4) .
10. Чему равен ?1) ; 2) ; 3) ; 4)
11. Решите уравнение .1) ; 2) ; 3) ; 4) .
12. Решите уравнение .1) ; 2) ; 3) ;
4) .
13. Решите уравнение .1) ; 2) ; 3) ;
4) .
14. Решите уравнение .1) ; 2) корней нет; 3) ;
4) .
15. Решите уравнение .1) ; 2) ;
3) .
Ответы
Критерии оценивания:
«5» - 14-15 правильных ответов
«4» - 11-13
«3» - 8-10
«2» - менее 8
Тест № 2 по теме: «Распознавание графиков тригонометрических функций»
Вариант №1

1.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

2.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

3.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

4. График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

5.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

6.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)
4)

7. График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

8.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)
9. График какой функции изображен на рисунке?

1)
2)
3)
4)

10.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)
Вариант №2

1.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

2.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

3.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

4.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

5.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

6.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

7.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

8. График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

9. График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)

10.График какой функции изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)
Ответы
Критерии оценивания:
«5» - 9-10 правильных ответов
«4» - 7-8
«3» - 5-6
«2» - менее 5