Программа школы юных математиков Эрудит

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа «Школы юных математиков «Эрудит»» составлена на основе программы, разработанной Заочной математической школой при Всероссийской заочной многопредметной школы (ВЗМШ) и Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО). Направленность программы - научно-техническая.
Данная программа своим содержанием развивает интерес обучающихся к математике, расширяет и углубляет знания. На этих занятиях учащиеся углубляют знания путем решения нестандартных задач олимпиадного характера, при этом учитывается доступность и занимательность, в основном в 5 - 9 классах.
В старших классах предлагаемый курс освещает намеченные программой по математике темы, систематизируя и обобщая теоретические и практические вопросы, позволяет повышать уровень математической подготовки для дальнейшего продолжения образования в вузах, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего образования.
Программа обучения рассчитана на 7 лет обучения учащихся с 5 по 1 1 классы. Программа следующего года обучения является продолжением программы предыдущего года обучения. Состав групп - постоянный, набор обучающихся в группы - свободный. Общее количество часов по программе первого года обучения в 5 классах - 2 часа в неделю, второго года обучения в 6 классах - 2 часа, следующие годы обучения с 7 по 1 1 классы - по 4 часа в каждом классе. Продолжительность занятий в каждой группе - 2 часа.
Запланированы индивидуальные консультации: для 5-х классов -9 часов в год; для 6-х классов -9 часов в год: для 7-х,8-х,9-х, 10-х, I 1-х классов - по 18 часов в год.
Цель:
развивать любознательность, интерес к математике, смекалку, повышать логическую культуру;
формировать представление об идеях и методах: о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
подготовить обучающихся к олимпиадам и продолжению образования в вузах, где математику относят к числу профилирующих предметов.
Задачи:
как можно полнее развивать потенциальные способности каждого обучающегося, посещающего занятия;
формировать представление о постановке, классификации, приемах и методах решения олимпиадных задач;
создание условий для приобретения обучающимися навыков применения различных методов решения задач;
содействовать формированию у обучающихся навыков самостоятельной работы с дополнительной литературой, со справочной литературой.
Требования к результатам усвоения учебного материала.
Учащиеся должны знать:
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;
широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
различные методы решения задач по всем темам.
Учащиеся должны уметь:анализировать явление;
проговаривать вслух метод решения;
анализировать полученный ответ;
классифицировать предложенную задачу;
последовательно выполнять и проговаривать этапы;
решать задачи повышенной трудности.
владеть различными методами решения задач: аналитическим, графическим, экспериментальным и т.д.
владеть методами самоконтроля и самооценки.
Ожидаемые результаты:
У учащихся сформировано представление об идеях и методах математики, о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов. Ученики овладели математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне.
Техническое оснащение программы обеспечивается при помощи Internet.
УЧЕБНЫЙ ПЛАН
I – й год обучения ( 5 класс)
№
Раздел программы
Тема Количество часов
Всего Теория Практика
I. Натуральные числа 6 1 5
1. Введение: азбука решения задач, перспективы, основные требования. Диагностика учащихся при решении логических задач, распределение групп. Числа-великаны и числа малютки. 2 0,5 1,5
2. Текстовые задачи (задачи, решаемые с конца). 2 0,5 1,5
3. Повторение пройденного. Математическое соревнование. 2 2
II.Четные и нечетные числа. 4 1 3
4. Запись цифр и чисел у других народов.
Четность. Решение задач. 2 0,5 1,5
5. Теория игр. Крестики и нолики.
Повторение пройденного. Математическая карусель. 2 0,5 1,5
III. Делимость чисел. 4 1 3
6. Дело о делимости. Делимость. 2 0,5 1,5
7. Математика в логических упражнениях.
Повторение пройденного. 2 0,5 1,5
IV. Арифметические ребусы. 4 1 3
8. Викторина «Старт»
-недостающие цифры
-восстановление записи
-кто первый скажет «сто»
-расставить три числа 2 0,5 1,5
9. Решение логических задач
Игровые задачи
Повторение пройденного. Математическая карусель. 2 0,5 1,5
V. Дробные выражения. 4 1 3
10. Когда и где нужны десятичные дроби? Решение задач повышенной сложности. 2 0,5 1,5
11. Логические задачи.
Игровые задачи.
Повторение пройденного. Математический бой. 2 0,5 1,5
VI. Задачи на проценты и части. 4 1 3
12. Нахождение части и процента от числа.
Упражнение на быстрый счет. 2 0,5 1,5
13. Занимательные задачи на проценты.
Повторение пройденного. Математическая карусель. 2 0,5 1,5
VII. Принцип Дирихле. 4 1 3
14. Знакомство с принципом Дирихле.
Упражнение на быстрый счет 2 0,5 1,5
15. Текстовые задачи, решаемые с конца.
Повторение пройденного : «Считай, смекай, отгадывай» 2 0,5 1,5
VIII. Логические задачи. 4 1 3
16. Числа натурального ряда и мистические суеверия.
Математические фокусы. 2 0,5 1,5
17. Решение текстовых задач.
Повторение. Задачи для зачетного рубежа. 2 0,5 1,5
IХ. Взвешивания. 4 1 3
18. Работа по теме занятия.
Логические задачи. 2 0,5 1,5
19. Геометрические задачи.
Повторение: задачи зачетного рубежа. 2 0,5 1,5
Х. Переливания. 4 1 4
20. Текстовые задачи по теме на переливания. 2 0,5 1,5
21. Арифметические задачи.
Задачи на взвешивание.
Логические задачи. 2 0,5 1,5
ХI. Календарь, время, возраст. 4 1 3
22. Задачи по теме 2 0,5 1,5
23. Логические задачи.
Текстовые задачи .Повторение. Задачи для зачетного рубежа. 2 0,5 1,5
ХII. Шахматная доска. 6 1,5 4,5
24. Текстовые задачи (математические игры, выигрышные ситуации) 2 0,5 1,5
25. Логические задачи.
Поиск родственных задач.
Геометрические задачи. 2 0,5 1,5
26. Повторение. Задачи для зачетного рубежа. 2 0,5 1,5
ХIII. Задачи на части. 6 1,5 4,5
27. Арифметические задачи по теме. 2 0,5 1,5
28. Текстовые задачи по теме. 2 0,5 1,5
29. Логические задачи по теме.
Раскраски.
Повторение. Математический бой. 2 0,5 1,5
ХIV. Задачи на движение. 6 1,5 4,5
30. Текстовые задачи по теме. 2 0,5 1,5
31. Метод решения: поиск родственных задач.
Решение логических задач.
Геометрические задачи. Метод: графы. 2 0,5 1,5
32. Повторение изученного. Математическая карусель. 2 0,5 1,5
ХV. Задачи на разрезание и складывание. 4 1 3
33. Геометрические задачи по теме.
Инварианты.
Логические задачи. 2 0,5 1,5
34. Метод. Подсчет двумя способами.
Повторение. Задачи для зачетного рубежа. 2 0,5 1,5
Итого: 68 16,5 51,5
План индивидуальных занятий. Для 5-х классов.
№
Тема Всего часов
1. Натуральные числа. Четные и нечетные числа. 1
2. Теория игр. Делимость чисел. Арифметические ребусы. 1
3. Арифметические ребусы. Дробные выражения. 1
4. Задачи на проценты и части. 1
5. Принцип Дирихле. Логические задачи. Взвешивания. Переливания. 1
6. Числа натурального ряда и мистические суеверия. Математические фокусы. 1
7. Календарь, время, возраст. Шахматная доска. 1
8. Задачи на части. Задачи на движение. 1
9. Задачи на движение. Задачи на разрезание и складывание. 1
Итого: 9
Учебный план II –й год обучения ( 6 класс)
№
Раздел программы
Тема Количество часов
Всего Теория Практика
I. Числа. 8 2 6
1. Натуральные числа. Признаки делимости. Задачи на использование свойств делимости. 4 1 3
2. Четные и нечетные числа. Свойства четности. Решение задач на чередование, на разбиение парами, игры – шутки. 4 1 3
II. Делимость чисел. 6 1 5
3. Дело о делимости. Полный перебор остатков. Задачи на использование теории остатков. 4 1 3
4. Повторение. Математика в логических упражнениях. Арифметические ребусы. 2 2
III. Задачи на проценты и части. 8 2 6
5. Нахождение части и процентов от числа. «Банковские» проценты. 4 1 3
6. Игровые задачи. Логические задачи.
Повторение. Математический бой. 4 1 3
IV. Принцип Дирихле. 4 1 3
7. Принцип Дирихле как приложение свойств неравенств.
Упражнение на быстрый счет. 2 0, 5 1,5
8. Принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью. 2 0, 5 1,5
V. Раскраски. 4 1 3
9. Стандартные способы раскрасок. 2 0,5 1,5
10. Решение текстовых задач с применением идеи раскрасок в различных ситуациях. 2 0,5 1,5
YI. Конструктивные задачи. 8 2 6
11. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Задачи на построение примера. 4 1 3
12. Геометрические головоломки. Задачи на переливания. 4 1 3
YII. Графы. 8 2 6
13. Основные понятия теории графов. Степень вершины. Полный граф и его свойства. 4 1 3
14. Путь, маршрут и цикл в графе. Связные вершины. Компоненты связности графа. Мост и число ребер в дереве. 4 1 3
YIII. Шахматная доска. 4 1 3
15. Текстовые задачи (математические игры, выигрышные ситуации).
Логические задачи. 2 0,5 1,5
16. Поиск родственных задач.
Геометрические задачи. 2 0,5 1,5
IX. Задачи на инвариант. 4 1 3
17. Нахождение инварианта в задаче. 2 0,5 1,5
18. Текстовые задачи по теме. 2 0,5 1,5
Х. Задачи на движение, на работу. 6 1 5
19. Текстовые задачи на движение. Метод решения: поиск родственных задач. 2 0,5 1,5
20. Решение задач на работу. 2 0,5 1,5
21. Повторение изученного. Математическая карусель. 2 2
ХI. Задачи тему «Оценка + пример». 6 0,5 5,5
22. Решение текстовых задач по теме. 2 0,5 1,5
23. Поиск родственных задач. 2 2
24. Повторение. Решение зачетных задач. 2 2
ХII. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. 6 1 5
25. Решение задач по теме. 2 0,5 1,5
26. Решение текстовых задач.
Логические задачи. 2 0,5 1,5
27. Повторение. Математическая карусель. 2 2
Итого: 72 15,5 56,5
План индивидуальных занятий. Для 6-х классов
№ Тема Всего
1. Натуральные числа. Признаки делимости. Четные и нечетные числа. Свойства четности. 1
2. Дело о делимости. Полный перебор остатков. Задачи на использование теории остатков. Нахождение части и процентов от числа. «Банковские» проценты. 1
3. Задачи на проценты и части. Принцип Дирихле как приложение свойств неравенств. 1
4. Принцип Дирихле. Раскраски. 1
5. Конструктивные задачи. Графы. 1
5. Графы. Шахматная доска. 1
6. Шахматная доска. Задачи на инвариант. 1
7. Задачи на движение, на работу. 1
8. Задачи тему «Оценка + пример». 1
9. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. 1
Итого: 9
Учебный план III –й год обучения (7 класс)
№
Раздел программы
Тема Количество часов
Всего Теория Практика
I .Числа. 24 6 18
1. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Признаки делимости. Алгоритм Эвклида. 6 1,5 4,5
2. Веселое и занимательное о числах и фигурах. Восстановление пропущенных цифр. Обнаружение закономерностей и их проверка. 6 1,5 4,5
3. Деление с остатком. Понятие о сравнениях. Сведения из истории. 6 1,5 4,5
4. Задачи. Деление с остатком. Понятие о сравнениях. Сведения из истории и игры с использованием признаков и свойств делимости. 6 1,5 4,5
II .Решение задач повышенной сложности на дроби – проценты. 12 3 9
5. Задачи повышенной сложности на нахождение процентов и дробей от числа. 6 1,5 4,5
6. Составление уравнений по условию задач. Сложные проценты. 6 1,5 4,5
III. Логические задачи. 48 12 36
7. Принцип Дирихле. 6 1,5 4,5
8. Логические задачи. 6 1,5 4,5
9. Взвешивания. 6 1,5 4,5
10. Переливания. 6 1,5 4,5
11. Календарь, время, возраст. 6 1,5 4,5
12. Шахматная доска. 6 1,5 4,5
13. Множества и его элементы. Способы задания множеств. Подмножества. 6 1,5 4,5
14. Игры и стратегии 6 1,5 4,5
IV .Текстовые задачи повышенной сложности. 24 6 18
15. Задачи на работу. 6 1,5 4,5
16. Задачи на части. 6 1,5 4,5
17. Задачи на движение. 6 1,5 4,5
18. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. 6 1,5 4,5
V .Алгебраические задачи повышенной сложности. 18 4,5 13,5
19. Алгебраические преобразования. Упрощение выражений со степенями с натуральными показателями. Решение уравнений с модулями. 6 1,5 4,5
20. Графики функции: построение по заданному графику функции методом «хороших» координат различных графиков 6 1,5 4,5
21. Деление многочлена на многочлен, проверка умножением. Разложение многочленов на множители (примеры повышенной трудности) 6 1,5 4,5
VI .Геометрические задачи. 18 4,5 13,5
22. Центр окружности, описанной около треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник. Точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника). Точка пересечения высот (ортоцентр). Прямая Эйлера. Окружность девяти точек. Свойства центров тяжести системы материальных точек. 6 1,5 4,5
23. Задачи на построение: общая схема решения задач. Метод геометрических мест точек. Классические задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки. 6 1,5 4,5
24. Задачи на разрезание и складывание. Лист Мебиуса. Магические квадраты. 6 1,5 4,5
ИТОГО: 144 36 108
План индивидуальных занятий. Для 7-х классов.
№
п/п Тема Всего
часов
1. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Признаки делимости. Алгоритм Эвклида. Восстановление пропущенных цифр. Обнаружение закономерностей и их проверка. 1
2. Восстановление пропущенных цифр. Обнаружение закономерностей и их проверка. Деление с остатком. Понятие о сравнениях. 1
3. Деление с остатком. Понятие о сравнениях. Игры с использованием признаков и свойств делимости. 1
4. Дроби. Дробные выражения. Проценты. 1
5. Проценты. Принцип Дирихле. 1
6. Принцип Дирихле. Логические задачи. 1
7. Взвешивания. Переливания. 1
8. Переливания. Календарь, время, возраст. 1
9. Календарь, время, возраст. Шахматная доска. 1
10. Множества и его элементы. Способы задания множеств. Подмножества. Игры и стратегии. 1
11. Игры и стратегии. Задачи на работу. 1
12. Задачи на работу. Задачи на части. 1
13. Задачи на движение. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. 1
14. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. Алгебраические преобразования. Упрощение выражений со степенями с натуральными показателями. Решение уравнений с модулями. 1
15. Алгебраические преобразования. Упрощение выражений со степенями с натуральными показателями. Решение уравнений с модулями. Графики функции: построение по заданному графику функции методом «хороших» координат различных графиков. 1
16. Деление многочлена на многочлен, проверка умножением. Разложение многочленов на множители (примеры повышенной трудности). Центр окружности, вписанной в треугольник. Точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника). Точка пересечения высот (ортоцентр). Прямая Эйлера. Окружность девяти точек. Свойства центров тяжести системы материальных точек. 1
17. Центр окружности, вписанной в треугольник. Точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника). Точка пересечения высот (ортоцентр). Прямая Эйлера. Окружность девяти точек. Свойства центров тяжести системы материальных точек. Задачи на построение: общая схема решения задач. Метод геометрических мест точек. Классические задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки. 1
18. Задачи на построение: общая схема решения задач. Метод геометрических мест точек. Классические задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки. Задачи на разрезание и складывание. Лист Мебиуса. Магические квадраты. 1
ИТОГО: 18
Учебный план IY –й год обучения ( 8 класс)
№
Раздел программы
Тема Количество часов
Всего Теория Практика
I. Числа. 24 6 18
1. Множества и операции над ними. Множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел. Развитие понятия числа. 6 1,5 4,5
2. Основные свойства действительных чисел. Понятие о поле. Рациональные числа и их измерения. 6 1,5 4,5
3. Несоизмеримые отрезки и иррациональные числа. Плотность множества рациональных чисел. 6 1,5 4,5
4. Бесконечные множества. Счетные и несчетные множества. 6 1,5 4,5
II.Задачи повышенной сложности на дроби – проценты. 12 3 9
5. Решение задач повышенной сложности на дроби -проценты. 6 1,5 4,5
6. Проценты. Сплавы, растворы. 6 1,5 4,5
III Логические задачи. 48 12 36
7. Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний. 6 1,5 4,5
8. Логические задачи. 6 1,5 4,5
9. Математические парадоксы и софизмы. 6 1,5 4,5
10. Алгебра логики. Решение логических задач средствами алгебры логики. 6 1,5 4,5
11. Календарь, время, возраст. 6 1,5 4,5
12. Шахматная доска. 6 1,5 4,5
13. Комбинаторно-вероятностные задачи. 6 1,5 4,5
14. Моделирование формул логики высказываний релейно- контактными схемами. Анализ, упрощение и синтез релейно-контактных схем. 6 1,5 4,5
IV Текстовые задачи повышенной сложности. 24 6 18
15. Задачи на работу. 6 1,5 4,5
16. Задачи на части 6 1,5 4,5
17. Задачи на движение. 6 1,5 4,5
18. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. 6 1,5 4,5
V Алгебраические задачи олимпиадного характера. 18 4,5 13,5
19. Решение алгебраических задач с занимательным сюжетом, приводящих к решению квадратных уравнений. 6 1,5 4,5
20. Графики функции. 6 1,5 4,5
21. Доказательство неравенств. 6 1,5 4,5
VI Геометрические задачи олимпиадного характера. 18 4,5 13,5
22. Декартова система координат. Уравнения линий. Графики уравнений и неравенств. 6 1,5 4,5
23. Задачи на построение в координатах. 6 1,5 4,5
24. Движения. Применение движений к доказательству теорем и решению задач. Преобразование подобия. Применение теорем о подобии к решению задач. 6 1,5 4,5
ИТОГО: 144 36 108
План индивидуальных занятий. Для 8-х классов.
№ п/п Тема Всего часов
1. Множества и операции над ними. Множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел. Основные свойства действительных чисел. Понятие о поле. Рациональные числа и их измерения 1
2. Основные свойства действительных чисел. Понятие о поле. Рациональные числа и их измерения. Несоизмеримые отрезки и иррациональные числа. Плотность множества рациональных чисел. 1
3. Несоизмеримые отрезки и иррациональные числа. Плотность множества рациональных чисел. Бесконечные множества. Счетные и несчетные множества. 1
4. Дроби. Дробные выражения. Проценты. Сплавы, растворы. 1
5. Проценты. Сплавы, растворы. Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний. 1
6. Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний. Логические задачи. 1
7. Математические парадоксы и софизмы. Алгебра логики. Решение логических задач средствами алгебры логики. 1
8. Алгебра логики. Решение логических задач средствами алгебры логики. Календарь, время, возраст. 1
9. Календарь, время, возраст. Шахматная доска. 1
10. Комбинаторно-вероятностные задачи. Моделирование формул логики высказываний релейно- контактными схемами. Анализ, упрощение и синтез релейно-контактных схем. 1
11. Моделирование формул логики высказываний релейно- контактными схемами. Анализ, упрощение и синтез релейно-контактных схем. Задачи на работу. 1
12. Задачи на работу. Задачи на части. 1
13. Задачи на движение. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. 1
14. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. Решение алгебраических задач с занимательным сюжетом, приводящих к решению квадратных уравнений. 1
15. Решение алгебраических задач с занимательным сюжетом, приводящих к решению квадратных уравнений. Графики функции. 1
16. Графики функции. Доказательство неравенств. 1
17. Декартова система координат. Уравнения линий. Графики уравнений и неравенств. Задачи на построение в координатах. 1
18. Движения. Применение движений к доказательству теорем и решению задач. Преобразование подобия. Применение теорем о подобии к решению задач. 1
ИТОГО: 18
Учебный план Y-й год обучения (9 класс)
№ п/п Раздел программы
Тема Количество часов
Всего Теория Практика
I Математическая мозаика. 24 6 18
1. Контр- примеры в математике (исторический материал и задачи для самостоятельного решения). 6 1,5 4,5
2. Эвристики, аналогия, поиск закономерностей, выдвижение и обоснование гипотез. 6 1,5 4,5
3. Математическая индукция. 6 1,5 4,5
4. Занимательные задачи вероятностного характера. 6 1,5 4,5
II. Функции и графики 12 3 9
5. Возникновение и развитие понятия «функция». Элементарные приемы построения графиков функций. 6 1,5 4,5
6. Графики функций «с модулями». «Секреты» квадратичной параболы. Асимптотическое поведение функций. Дробно- линейные функции и их графики. 6 1,5 4,5
III Уравнения, неравенства и их системы. 48 12 36
7. Равносильность уравнений, неравенств, их систем. Следствия. Основные методы решения. 6 1,5 4,5
8. Как находить рациональные корни многочлена. Схема Горнера. Деление многочленов. Теорема Безу. Графическое исследование уравнений. Уточнение корней. 6 1,5 4,5
9. Иррациональные уравнения и методы их решения. Метод интервалов. 6 1,5 4,5
10. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Уравнения и неравенства с параметрами. Системы рациональных уравнений. Формулы Крамера. Графическое решение систем. 6 1,5 4,5
11. Метод математической индукции. Перестановки и сочетания. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.. 6 1,5 4,5
12. Неравенства, содержащие знак модуля. Построения графиков, включающих различные комбинации « модуля». 6 1,5 4,5
13. Простейшие комбинаторно-вероятностные задачи. 6 1,5 4,5
14. Игры и стратегии 6 1,5 4,5
IV Текстовые задачи. 24 6 18
15. Задачи на работу. 6 1,5 4,5
16. Задачи на части 6 1,5 4,5
17. Задачи на движение. 6 1,5 4,5
18. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. 6 1,5 4,5
V Алгебраические задачи. 18 4,5 13,5
19. Алгебраические преобразования. 6 1,5 4,5
20. Решение задач повышенной трудности. 6 1,5 4,5
21. Решение задач повышенной трудности 6 1,5 4,5
VI Геометрические задачи. 18 4,5 13,5
22. Геометрические задачи. 6 1,5 4,5
23. Задачи на построение. 6 1,5 4,5
24. Задачи на разрезание и складывание. 6 1,5 4,5
ИТОГО: 144 36 108
План индивидуальных занятий. Для 9-х классов.
№ п/п Тема Всего часов
1. Контр- примеры в математике (исторический материал и задачи для самостоятельного решения). 1
2. Контр- примеры в математике (исторический материал и задачи для самостоятельного решения). Эвристики, аналогия, поиск закономерностей, выдвижение и обоснование гипотез. 1
3. Математическая индукция. Занимательные задачи вероятностного характера. 1
4. Занимательные задачи вероятностного характера. 1
5. Элементарные приемы построения графиков функций. Графики функций «с модулями». «Секреты» квадратичной параболы. Асимптотическое поведение функций. Дробно- линейные функции и их графики. 1
6. Равносильность уравнений, неравенств, их систем. Следствия. Основные методы решения. Как находить рациональные корни многочлена. Схема Горнера. Деление многочленов. Теорема Безу. Графическое исследование уравнений. Уточнение корней. 1
7. Как находить рациональные корни многочлена. Схема Горнера. Деление многочленов. Теорема Безу. Графическое исследование уравнений. Уточнение корней. Иррациональные уравнения и методы их решения. Метод интервалов. 1
8. Иррациональные уравнения и методы их решения. Метод интервалов. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Уравнения и неравенства с параметрами. Системы рациональных уравнений. Формулы Крамера. Графическое решение систем. 1
9. Метод математической индукции. Перестановки и сочетания. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Неравенства, содержащие знак модуля. Построения графиков, включающих различные комбинации « модуля». 1
10. Неравенства, содержащие знак модуля. Построения графиков, включающих различные комбинации « модуля». Простейшие комбинаторно-вероятностные задачи. 1
11. Игры и стратегии. Задачи на работу. 1
12. Задачи на работу. Задачи на части. 1
13. Задачи на части. Задачи на движение. 1
14. Задачи на составление уравнений и систем уравнений. Алгебраические преобразования. 1
15. Алгебраические преобразования. Решение задач повышенной трудности. 1
16. Решение задач повышенной трудности. 1
17. Геометрические задачи. 1
18. Задачи на построение. Задачи на разрезание и складывание. 1
ИТОГО: 18
Учебный план YI –й год обучения (10 класс)
№
Раздел программы
Тема Количество часов
Всего Теория Практика
I .Решение задач повышенной сложности на тему: «Алгебраические выражения и элементарные функции». 14 3,5 10,5
1. Тождественные преобразования алгебраических выражений. 4 1 3
2. Определение функций. Основные свойства функций. 2 0,5 1,5
3. Периодические функции. 2 0,5 1,5
4. Обратная функция. 2 0,5 1,5
5. Преобразования графиков функций. 4 1 3
II. Решение задач повышенной сложности на тему: «Тригонометрия». 22 5,5 16,5
6. Тригонометрические функции. 2 0,5 1,5
7. Упрощения и тождественные преобразования тригонометрических выражений. 4 1 3
8. Обратные тригонометрические функции. 2 0,5 1,5
9. Тригонометрические уравнения. Различные методы решения тригонометрических уравнений. 8 2 6
10. Решение тригонометрических уравнений. 2 0,5 1,5
11. Решение уравнений с учетом специфики тригонометрических функций. 4 1 3
III. Решение уравнений олимпиадного характера. 24 6 18
12. Уравнения. Основные понятия и методы решений. Рациональные уравнения. 4 1 3
13. Решение уравнений высших степеней. Теорема Безу. Схема Горнера. 4 1 3
14. Симметрические, возвратные уравнения. Различные методы решения уравнений. 4 1 3
15. Уравнения с модулем. 4 1 3
16. Иррациональные уравнения. 2 0,5 1,5
17. Решение уравнений с двумя переменными. 4 1 3
18. Изображение решений уравнений с двумя переменными на координатной плоскости. 2 0,5 1,5
IV. Решение неравенств олимпиадного характера. 16 4 12
19. Решение неравенств методом интервалов. 4 1 3
20. Рациональные неравенства. 4 1 3
21. Неравенства с модулем. 4 1 3
22. Иррациональные неравенства. 2 0,5 1,5
23. Изображение решений неравенств с двумя переменными на координатной плоскости. 2 0,5 1,5
V. Системы уравнений повышенной сложности. 10 2,5 7,5
24. Методы решения систем уравнений. 2 0,5 1,5
25. Системы однородных уравнений. 2 0,5 1,5
26. Системы симметрических уравнений. 2 0,5 1,5
27. Метод Гаусса. Матричный метод, метод определителей. 4 1 3
VI. Задачи с параметрами. 10 2,5 7,5
28. Линейные уравнения и неравенства с параметром. 2 0,5 1,5
29. Квадратные уравнения и неравенства с параметром. 4 1 3
30. Графический метод решения уравнений и неравенства с параметром. 4 1 3
VII. Текстовые задачи повышенной сложности. 14 3,5 10,5
31. Решение задач на движение. 2 0,5 1,5
32. Решение задач на работу. 2 0,5 1,5
33. Решение задач на смеси и концентрации. 2 0,5 1,5
34. Решение задач на процентный прирост. 2 0,5 1,5
35. Решение логических, олимпиадных задач. 6 1,5 4,5
VIII. Методы решения планиметрических задач олимпиадного характера. 18 4,5 13,5
36. Опорные планиметрические задачи 2 0,5 1,5
37. Основные приемы и методы решения: дополнительное построение, геометрическое преобразование, метод подобия, метод площадей, метод вспом. окружности 4 1 3
38. Разновидности аналитических методов: метод поэтапного решения и метод составления уравнений. Метод координат. Векторный метод. 4 1 3
39. Геометрическое место точек (дуга, вмещающая данный угол, окружность Аполлония) 2 0,5 1,5
40. Задачи на максимум и минимум, геометрические неравенства. 2 0,5 1,5
41. Методы решения задач на построение: метод геометрических мест, подобие, методы, включающие использование параллельного переноса, симметрии и поворота в задачах на построение, алгебраический метод. Построения по формулам. Построения с ограниченными возможностями. 4 1 3
IX. Стереометрические задачи повышенной сложности и методы их решения 16 3 21
42. Основные принципы построения чертежей пространственных фигур. Опорные стереометрические задачи. 4 1 3
43. Построение сечений 4 1 4
44. Аналитические методы в стереометрии. 2 0,5 4
45. Специальные методы решения стереометрических задач: метод сечений, метод проекций, достраивание, развертка. 4 0,5 5
46. Различные задачи про многогранники, вписанные и описанные шары, круглые тела, комбинации. 2 0,5 4
ИТОГО: 144 36 108
План индивидуальных занятий. Для 10-х классов.
№ п/п Тема Всего часов
1. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Определение функций. Основные свойства функций. Периодические функции. 1
2. Обратная функция. Преобразования графиков функций. Тригонометрические функции. 1
3. Упрощения и тождественные преобразования тригонометрических выражений. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения. Различные методы решения тригонометрических уравнений. 1
4. Тригонометрические уравнения. Различные методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрических уравнений. 1
5. Решение уравнений с учетом специфики тригонометрических функций. Уравнения. Основные понятия и методы решений. Рациональные уравнения. 1
6. Уравнения. Основные понятия и методы решений. Рациональные уравнения. Симметрические, возвратные уравнения. Различные методы решения уравнений. 1
7. Уравнения с модулем. Иррациональные уравнения. Решение уравнений с двумя переменными. 1
8.. Решение уравнений с двумя переменными. Изображение решений уравнений с двумя переменными на координатной плоскости. Решение неравенств методом интервалов. 1
9. Рациональные неравенства. Неравенства с модулем. 1
10. Иррациональные неравенства. Изображение решений неравенств с двумя переменными на координатной плоскости. Методы решения систем уравнений. Системы однородных уравнений. 1
11. Системы симметрических уравнений. Метод Гаусса. Матричный метод, метод определителей. Линейные уравнения и неравенства с параметром. 1
12. Квадратные уравнения и неравенства с параметром. Графический метод решения уравнений и неравенства с параметром. 1
13. Решение задач на движение, на работу, на смеси и концентрации, на процентный прирост. 1
14. Решение логических, олимпиадных задач. Опорные планиметрические задачи. 1
15. Основные приемы и методы решения: дополнительное построение, геометрическое преобразование, метод подобия, метод площадей, метод вспомогательной окружности. Разновидности аналитических методов. 1
16. Геометрическое место точек. Задачи на максимум и минимум, геометрические неравенства. Методы решения задач на построение. 1
17. Стереометрические задачи и методы их решения. 1
18. Стереометрические задачи и методы их решения. 1
ИТОГО: 18
Учебный план YII –й год обучения (11 класс)
№ Раздел программы
Тема Количество часов
Всего Теория Практика
I. Решение текстовых задач повышенной сложности. 16 4 12
1. Решение задач на движение. 2 0,5 1,5
2. Решение задач на работу. 2 0,5 1,5
3. Решение задач на смеси, концентрации. 2 0,5 1,5
4. Решение задач на процентный прирост. 2 0,5 1,5
5. Решение задач экономического содержания. 2 0,5 1,5
6. Решение логических олимпиадных задач. 6 1,5 4,5
II .Решение уравнений олимпиадного характера с одной, двумя переменными. 16 3 13
7. Решение уравнений линейных, квадратных, кубических (формула Кордано). 2 2
8. Решение уравнений высших степеней. Схема Горнера. Теорема Безу. 4 1 3
9. Решение уравнений с двумя переменными. Однородные уравнения 4 1 3
10. Симметрические, возвратные уравнения. Различные методы решения уравнений. 4 1 3
11. Изображение решений уравнений с двумя переменными на координатной плоскости. 2 2
III. Решение неравенств олимпиадного характера с одной и с двумя переменными. 16 4 12
12. Решение неравенств методом интервалов. 4 1 3
13. Решение неравенств рациональных, иррациональных, содержащих модуль. 8 2 6
14. Изображение решений неравенств с двумя переменными на координатной плоскости. 4 1 3
IV. Системы уравнений повышенной сложности 10 1,5 8,5
15. Методы решения систем уравнений. 2 0,5 1,5
16. Системы однородных уравнений. 2 2
17. Системы симметрических уравнений. 2 2
18. Метод Гаусса, Матричный метод, метод определителей. 4 1 3
Y. Решение олимпиадных задач. 16 0,5 16
19. Решение олимпиадных задач на вступительных экзаменах. 8 8
20. Решение олимпиадных задач различного вида. 8 8
21. Линейные уравнения и неравенства с параметром олимпиадного характера. 2 0,5 1,5
VI. Задачи с параметром повышенной сложности. 20 5 15
22. Квадратное уравнения и неравенство с параметром. 4 1 3
23. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром. 4 1 3
24. Уравнения и неравенства, содержащие модуль с параметром. 4 1 3
25. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром. 6 1,5 4,5
VII. Решение комбинированных уравнений и неравенств. 10 10
26. Метод монотонности. 2 2
27. Метод ограниченности. 2 2
28. Применение производных при решении комбинированных уравнений. 2 2
29. Графический метод.
4 4
VIII. Решение нестандартных задач. 40 40
30. Решение нестандартных задач. 6 6
31. Решение задач в целых числах. 20 20
32. Решение олимпиадных задач. 10 10
33. Решение вариантов вступительных экзаменов. 4 4
ИТОГО: 144 18 126
План индивидуальных занятий. Для 11-х классов.
№ п/п Тема Всего часов
1. Решение задач на движение, на работу, на смеси, концентрации, на процентный прирост. 1
2. Решение задач экономического содержания. Решение логических олимпиадных задач. 1
3. Решение уравнений линейных, квадратных, кубических (формула Кордано). Решение уравнений высших степеней. Схема Горнера. Теорема Безу. Решение уравнений с двумя переменными. Однородные уравнения. 1
4. Решение уравнений с двумя переменными. Однородные уравнения. Симметрические, возвратные уравнения. Различные методы решения уравнений. Изображение решений уравнений с двумя переменными на координатной плоскости. 1
5. Решение неравенств олимпиадного характера с одной и с двумя переменными. 1
6. Решение неравенств олимпиадного характера с одной и с двумя переменными. 1
7. Системы уравнений повышенной сложности. 1
8. Решение олимпиадных задач на вступительных экзаменах. 1
9. Решение олимпиадных задач на вступительных экзаменах. 1
10. Задачи с параметром повышенной сложности. 1
11. Задачи с параметром повышенной сложности. 1
12. Решение комбинированных уравнений и неравенств. 1
13. Решение комбинированных уравнений и неравенств. 1
14. Решение нестандартных задач. 1
15. Решение задач в целых числах. 1
16. Решение олимпиадных задач. 1
17. Решение вариантов вступительных экзаменов. 1
18. Решение вариантов вступительных экзаменов. 1
ИТОГО: 18
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
V—IX КЛАССЫ ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ
Темы занятий «За страницами учебников математики» примыкают к основному курсу, углубляя отдельные, наиболее важные вопросы, систематизируя материал, изучаемый на уроках в разное время, дополняя основной курс сведениями, важными в общеобразовательном или прикладном отношении.
Темы занятий независимы друг от друга и могут изучаться в любом разумном порядке; объем материала в каждой из них допускает естественное сокращение. Распределение часов по темам дано из расчета 2 ч в неделю в 5-6 классах, 7-11 классах 4 ч в неделю, причем с избытком, обеспечивающим учителю возможность выбора тех тем, которые по каким-либо причинам для него предпочтительны.
Особое внимание следует уделять решению задач повышенной трудности. Решение задач по каждой теме основного курса целесообразно, по усмотрению учителя, рассредоточивать в промежутках между изучением тем занятий, а также органично включать в темы в соответствии с их содержанием.
В программу включается приложение «Математическая мозаика». Темы Математической мозаики» не имеют непосредственного отношения к основному курсу и носят преимущественно характер математических развлечений. Материалом этих тем рекомендуется систематически, по возможности на каждом занятии перемежать изучение вопросов раздела «За страницами учебников математики». Отдельные занятия можно полностью посвятить вопросам из «Математической мозаики».
VII КЛАСС
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА
Магические квадраты. Великаны и карлики в мире чисел. Математические ребусы и шифровки. Лист Мёбиуса. Математические игры.
ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Признаки делимости. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Единственность разложения числа на простые множители. Простейшие диофантовы уравнения. Деление с остатком.
Действия с остатками. Понятие о сравнениях. Сведения из истории. Задачи и игры с использованием признаков и свойств делимости.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
Построения с помощью циркуля и линейки. Общая схема решения задач на построение. Метод геометрических мест точек (построение точек как пересечения двух линий). Задачи на построение треугольников. Задачи на построение окружностей, касательных к окружностям. Необычные построения (построения с помощью одной линейки, одного циркуля, на ограниченном куске плоскости). Построения с помощью двусторонней линейки, угольника. Сведения из истории: классические задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Центр окружности, описанной около треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник. Точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника). Точка пересечения высот (ортоцентр). Прямая Эйлера. Окружность девяти точек. Свойства центров тяжести системы материальных точек.
VIII КЛАСС
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА
Принцип Дирихле.
Комбинаторные задачи.
Математические парадоксы и софизмы.
Логические задачи. Разрезание фигур.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
Множества и операции над ними. Множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел. Развитие понятия числа.
Основные свойства действительных чисел. Понятие о поле.
Рациональные числа и измерения.
Несоизмеримые отрезки и иррациональные числа. Плотность множества рациональных чисел. Приближение действительных чисел десятичными дробями и практические измерения.
Исторический очерк развития понятия числа.
Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
Несчетность множества действительных чисел. Понятие о равномощности множеств числовой и точечный континуумы.
МЕТОД КООРДИНАТ
Декартова система координат. Уравнения линий. Эллипс, гипербола, парабола. Графики уравнений и неравенств. Полярные координаты.
Решение задач на построение в координатах.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний.
Алгебра логики. Решение логических задач средствами алгебры логики.
Моделирование формул логики высказываний релейно-контактными схемами. Анализ, упрощение и синтез релейно-контактных схем.
Высказывательные формы и множества. Кванторы. Символическая запись формулировок аксиом, теорем, определений.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
Движения (симметрия относительно точки и прямой, поворот, параллельный перенос). Свойства движений. Понятие об ориентации плоскости. Теорема Шаля.
Теоремы о композициях двух симметрий, двух поворотов и т. д.
Применение движений к доказательству теорем и решению задач.
Симметрия в природе, искусстве, науке, технике. Преобразование подобия. Применение теорем о подобии к решению задач.
Понятие о группе преобразований.
IX КЛАСС
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЗАИКА
Контрпримеры в математике (исторический материал и задачи для самостоятельного решения).
Эвристики, аналогия, поиск закономерностей, выдвижение и обоснование гипотез; математическая индукция.
Занимательные задачи вероятностного характера.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Возникновение и развитие понятия «функция». Общее определение функции. Числовые функции и их графики. Четные и нечетные функции, свойства их графиков. Элементарные приемы построения графиков и исследования функций. Преобразование графиков функций.
Графики функций «с модулями».
«Секреты квадратичной параболы: зависимость формы графика от коэффициентов; определение коэффициентов по графику.
Элементарные методы исследования функций.
Асимптотическое поведение функций. Дробно-линейные функции и их графики. Понятие о функциях нескольких переменных. Функции в природе и технике.
УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫРавносильность уравнений, неравенств, их систем. Следствие из уравнения, неравенства системы.
Основные методы решения рациональных уравнений: разложение на множители, введение новой переменной. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Как находить рациональные корни многочлена. Схема Горнера. Деление многочленов. Теорема Везу.
Понятие о приближенном решении уравнений. Графическое исследование уравнений. Уточнение корней.
Иррациональные уравнения и методы их решения: возведение в степень, введение новой переменной и др.
Метод интервалов — универсальный метод решения неравенств. Методы доказательства неравенств. Неравенства о «средних». Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Уравнения и неравенства с параметрами.
Системы рациональных уравнений; основные методы решения. Системы линейных уравнений; их решение с помощью определителей. Формулы Крамера. Графическое решение систем неравенств с двумя переменными.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИТеорема Пифагора и ее роль в геометрии. Различные доказательства теоремы Пифагора. Обобщение теоремы Пифагора. Теоремы Чевы и Менелая. Теоремы Паппа и Дезарга. Теорема Паскаля.
ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ
Основные понятия и аксиомы планиметрии. Понятие о непротиворечивости и зависимости системы аксиом. Модели планиметрии.
Понятие о неевклидовых геометриях. Сведения из истории («Начала» Евклида, пятый постулат; Н. И. Лобачевский и его геометрия).
КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Метод математической индукции.
Основные понятия и принципы комбинаторики. Формулы для числа размещений, перестановок и сочетаний (с повторениями и без повторений). Формула бинома Ньютона, решение комбинаторных задач.
Случайные события. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики. Теорема сложения. Независимые чайные события; Независимые испытания. Условная вероятность. Формула Бернулли. Понятие о законе больших чисел.
VII-IX КЛАССЫ
УГЛУБЛЕНИЕ ОСНОВНОГО КУРСА
Учителю, ведущему занятия, следует прежде всего заботиться о доступности предлагаемого материала для учащихся и о планомерном развитии их интереса к предмету. Сложность задач должна нарастать постепенно. Прежде чем приступать к решению трудных задач, надо рассмотреть решение более простых, входящих как составная часть в решение сложных. Развитию интереса способствуют математические игры, викторины. Полезно разбирать математические софизмы, решать головоломки и просто шутить. Желательно оформлять занятия красочными таблицами, забавными схемами и т. п.
Программа для X -XI классов предусматривает подготовку к углубленному изучению математики в старших классах или к поступлению в средние учебные заведения, готовящие к профессиям, требующим хорошего знания математики.
Цель— подготовка учащихся к продолжению образования, повышение уровня их математической культуры. Преподавание строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности — повышенный, существенно превышающий применения учащимися знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.
Особая установка — целенаправленная подготовка учащихся к конкурсным экзаменам в вузы соответствующего профиля. Поэтому преподавание факультатива должно обеспечить систематизацию знаний и углубление умений учащихся на уровне, предусмотренном программой вступительных экзаменов в большинстве вузов.
В программе указана тематика задач, перечислены основные изучаемые методы их решения. Соответствующие теоретические вопросы входят в программу основного курса, на занятиях при необходимости они повторяются в ходе решения задач. Основная методическая установка— организация самостоятельной работы учащихся при ведущей и направляющей роли учителя.
Вполне допустимо и даже неизбежно, чтобы какая-то тема изучалась не подряд, а вразбивку, перемежаясь с другими темами.
VII КЛАСС
Веселое и занимательное о числах и фигурах. Ложные выводы и другие ошибки. Обманчивая наглядность. Восстановление пропущенных цифр. Обнаружение закономерностей и их проверка.
Множество и его элементы. Способы задания множеств. Подмножество. Пустое множество. Операции над множествами. Числовые множества.
Графики функций: построение по заданному графику функции y=f (х) методом «хороших» координат графиков функции
у = f (х)+в; у = f(x); у= 3 f (х); у =( f (х))2 ; у=1/ f(x); у= f (х) + ср(х); у = | f (х) | и графика уравнения | у | = f (х).
Упрощение выражений со степенями с натуральными показателями. Признаки равенства треугольников (решение задач по готовым чертежам). Решение «уравнений с модулями», например: | 2х+1| =2; | х/2—3|=5; х + | х-2 | =3 и т. п.
Деление многочлена на многочлен, проверка умножением. Признак делимости многочлена М (х) на двучлен х—а. Разложение многочленов на множители (примеры повышенной трудности). Решение геометрических задач на доказательство.
Решение задач на построение. Софизмы: «окружность имеет два центра», «два перпендикуляра к прямой, проведенные из одной точки», «две пересекающиеся прямые, параллельные третьей.
Решение задач повышенной трудности.
VIII КЛАСС
1. Задачи на построение. Необычные построения: одним циркулем, одной линейкой, «не помещающиеся» на чертеже.
Бесконечные множества. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Разные бесконечности. Несчетность множества действительных чисел.
Построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам. Свойство биссектрисы угла треугольника. Различные доказательства теоремы Пифагора. Построение среднего арифметического и среднего геометрического. Неравенство:
а + в/ 2 > √ а Ь. Построение √ n, где n € N. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма. «Золотое сечение» и его роль в искусстве.
Теоремы прямая и обратная, противоположные прямой и обратной. Связь между ними. Необходимые и достаточные условия. Решение задач.
Построение графика у=√ f (х) по графику функции у= f (х). Изображение на координатной плоскости множества точек, координаты которых
удовлетворяют заданным условиям (например, у + | у | = х+ |х| ;х2+у2=9|х|/2; |х2+у2—16| =|у| , идр.
Решение алгебраических задач с занимательным сюжетом, приводящих к решению квадратных уравнений.
Теорема Виета и ее применения. Устное решение квадратных уравнений. Решение неравенств методом интервалов. Неравенства, содержащие знак модуля, доказательство неравенств.
Решение планиметрических задач методом координат. Подобие треугольников. Задачи на вычисление различных элементов треугольника. Задачи на доказательство.
Решение задач повышенной трудности.
IX КЛАСС
Метод математической индукции. Квадрат многочлена. Перестановки и сочетания. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.
Преобразования графиков функций: параллельные переносы, растяжение и сжатие вдоль координатных осей. Чтение свойств функций по графику. Построение графиков функций, включающих различные комбинации «модуля». Графики уравнений ах2+вх+с= =0; ах2 = в / х и т. д.
Методы решения рациональных уравнений (разложение на множители, введение новой переменной). Методы решения систем уравнений. Неравенства, содержащие знак модуля.
Решение планиметрических задач векторным методом. Решение задач с применением тригонометрии.
Решение задач повышенной трудности.
X—XI КЛАССЫ
Главной особенностью является репроспективная направленность. Важнейшими, базовыми темами являются следующие: «Уравнения и неравенства». Текстовые задачи», «Задачи по планиметрии», «Квадратный трехчлен». Необходимо заметить, что принципы (можно даже сказать, идеология) решения уравнений и неравенств являются ведущими при решении и неравенств самых разных типов, поэтому они должны быть прочно усвоены и хорошо отработаны. Особенность состоит в том, что ученик получает возможность поработать сразу со всей планиметрией, охватить ее всю целиком, а не отдельные темы.
Есть темы, в которых даются дополнительные теоретические сведения, направленные на математическую олимпиаду, на устный экзамен.
Выделяются основные идеи, пронизывающие весь курс. Ведущие принципы и методы решения алгебраических уравнений и неравенств остаются таковыми и для тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Многие идеи, рассмотренные в теме Квадратный трехчлен», получают свое продолжение и развитие в теме « Нестандартные задачи». Здесь большое внимание уделяется методам, основанным на наглядно- геометрических интерпретациях. Подобные методы имеют ярко выраженный развивающий характер. Акцентируя внимание на них, мы рассчитываем в определенной мере компенсировать недостатки геометрического развития, присущие многим выпускникам средней школы, а также подчеркиваем первичность и приоритетность геометрических представлений в математике.
Для развития интеллектуальной мускулатуры необходимы разнообразные снаряды и упражнения, встречающиеся в реальной жизни, так как немало задач решаются при помощи специфических приемов, многие из которых далеки от идей и методов современной математики.
1.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ
Преобразование алгебраических выражений.
Основные принципы решения уравнений: равносильные преобразования и преобразования, при которых возможно появление посторонних корней, исключение посторонних корней.
Основные методы решения уравнений: разложение на множители, замена неизвестного.
Иррациональные алгебраические уравнения: основные понятия и принципы решения; область определения уравнения; преобразование иррациональных уравнений (возведение в квадрат, в куб).
Системы уравнений, общие принципы и основные методы решения: алгебраические преобразования систем, подстановка, исключение неизвестных, разложение на множители, замена неизвестных.
Симметричные системы.
Алгебраические уравнения, сводящиеся к системам уравнений.
Общие принципы решения неравенств.
Основной метод решения неравенств метод интервалов, их решения.
Уравнения и неравенства с модулями.
2. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Основные типы текстовых задач: на движение, работу, смеси и сплавы. Этапы решения задач: выбор неизвестных, составление уравнений, решение, проверка и анализ решения.
Нестандартные текстовые задачи: задачи на отыскание оптимальных значений, задачи
с ограничениями на неизвестные нестандартного вида (ограничения в виде неравенств, целочисленность неизвестных и др.); нестандартные методы решения (графические методы, перебор вариантов и т. д.). Арифметические текстовые задачи.
3. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ. НАЧАЛА АНАЛИЗА
Построение графиков функций без помощи производной. Операции над графиками функций: сложение, умножение. Линейные преобразования функций и графиков, модуль функции и функция от модуля. Построение графиков сложных функций. Элементарное исследование функций: возрастание, убывание, точки максимума и минимума, четность и нечетность, периодичность.
Дробно-линейные и дробно- рациональные функции, их графики. Понятие об асимптотах.
Графические методы решения, оценки числа корней уравнений и неравенств. Графики уравнений с двумя неизвестными. Графический анализ систем с двумя неизвестными. Исследование функций методами математического анализа. Касательная к графику функции.
Пределы, задачи на нахождение пределов. Непрерывность. Производная, нахождение производной.
Приложения производной. Задачи на максимум и минимум. Доказательство неравенств, сравнение значений функций, суммирование последовательностей.
4. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВЗадачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена. Задачи о расположении корней квадратного трехчлена.
Некоторые уравнения и неравенства, решаемые с помощью использования свойств квадратного трехчлена. Методы нахождения наибольших и наименьших значений, основанные на свойствах квадратного трехчлена.
Некоторые известные неравенства и методы их доказательства: неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, другие теоремы о среднем, неравенство Бернулли и др.
Задачи на доказательство алгебраических неравенств и методы их решения. Замена переменных при доказательстве алгебраических неравенств. Сравнение чисел.
5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИВычисление и сравнение значений тригонометрических функций.
Основные методы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители, замена неизвестного (наиболее распространенные виды замен, универсальная замена). Некоторые частные типы тригонометрических уравнений: уравнение a sin х + b cosx = с, однородные уравнения и др. Отбор корней в тригонометрических уравнениях и запись решений.
Основные принципы и методы решения систем тригонометрических уравнений. Запись ответа.
Решение и доказательство некоторых тригонометрических неравенств.
Построение графиков тригонометрических функций. Исследование функции на периодичность.
Значками выделен материал «второй степени значимости изучение, которого при желании или необходимости можно опустить.
6. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИВычисление и сравнение значений показательной и логарифмической функций.
Основные принципы и методы решения показательных и логарифмических уравнений логарифмирование и потенцирование уравнений, переход к одному основанию, типичные замены.
Показательные и логарифмические неравенства, основные методы решения : логарифмирование и потенцирование неравенств, замена неизвестного, метод интервалов, уравнения, систем уравнений, неравенства смешанных типов (включающие алгебраические, тригонометрические, показательные и логарифмические выражения).
Построение графиков сложных функций, содержащих показательные, логарифмические и тригонометрические и прочие зависимости.
7. ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИНатуральные числа. Разложение на множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (НОД и НОК).
Целые числа. Делимость и деление с остатком. Задачи на делимость. Уравнения в целых числах.
Рациональные и иррациональные числа. Доказательство иррациональности чисел.
Сравнение чисел. Приближенные вычисления. Производная в приближенных вычислениях.
Числовые последовательности. Прогрессии.
Индукция. Рекуррентные последовательности. Суммирование последовательностей.
Комплексные числа, комплексная плоскость. Решение уравнений в комплексных числах.
8. НЕСТАНДАРТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИУравнения и неравенства, решение которых основано на использовании монотонности и ограниченности входящих в них функций.
Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями и неравенствами: нахождение числа корней, определение целочисленных корней и др. Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами. Запись ответа. Аналитические методы решения. Разрешение уравнения относительно параметра.
Графические методы решения и исследования в задачах с параметрами. Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами, в которых требуется определить зависимость числа решений от параметра, при которых решение удовлетворяет заданным условиям. Задачи с логическим содержанием.
Производная и касательная в задачах с параметрами.
9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Ч. 1Основные этапы решения геометрической задачи: построение чертежа, выявление особенностей полученной конфигурации, выбор пути и метода решения, техническая реализация, анализ полученного результата.
Опорные планиметрические задачи.
Основные геометрические приемы и методы решения задач: дополнительные построения, геометрические преобразования, метод подобия, метод площадей, метод вспомогательной окружности и др.
Разновидности аналитических методов решения геометрических задач: метод поэтапного решения и метод составления уравнений. Метод координат. Векторный метод.
Задачи на вычисление элементов геометрических фигур.
10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Ч. II
Задачи на доказательство.
Важнейшие геометрические места точек (дуга, вмещающая данный угол, окружность Аполлония и др.). Задачи негеометрические места точек.
Задачи на максимум и минимум, геометрические неравенства.
Методы решения задач на построение: метод геометрических мест, подобие, методы, включающие использование параллельного переноса, симметрии и поворота в задачах на построение, алгебраический метод. Построения по формулам. Построения с ограниченными возможностями.
11. СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯОсновные принципы построения чертежей пространственных фигур. Опорные стереометрические задачи.
Задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Построение сечений.
Аналитические методы в стереометрии.
Специальные методы решения стереометрических задач: метод сечений, метод проекций, достраивание, развертка и др.
Векторы в пространстве. Скалярное и векторное произведения. Применение к решению задач.
Задачи на вычисление линейных и угловых элементов, поверхностей различных тел.
Различные задачи про многогранники, вписанные и описанные шары, круглые тела, комбинации тел.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ
Успешное освоение материала можно достигнуть путём чередования основных методов, способов и форм работы с учащимися: это индивидуальные и групповые занятия, практические и теоретические.
Методы работы: словесный, наглядный, игровой.
Методы обучения
Словесный:объяснение, рассказ, беседа, диалог.
Наглядный: показ образца решения, модели.
Игровой: игра на развитие, внимание, воображение
Эвристические методы: рефлексия, метод самоорганизации обучения, метод взаимообучения, метод рецензий, метод самооценки, метод контроля, «мозговой штурм»- быстрый поиск ответов на вопросы тренировочного характера, метод исследования, метод фактов, метод конструирования понятий, метод конструирования правил, метод гипотез, метод прогнозирования, метод ошибок, метод придумывания- это способ создания неизвестного ученикам ранее продукта в результате их определенных умственных действий, метод многомерных матриц (Ф.Цвики)- нахождение новых, неожиданных комбинаций известных и неизвестных элементов. Анализ признаков и связей, получаемых из различных комбинаций элементов (идей).
Способы проверки результатов:
наблюдение за развитием способностей;
тестирование;
проведение олимпиад.
ДИАГНОСТИКА
1. Вводная
диагностика анкетирование
тесты – задания, срезовые работы.
2. Диагностика за 1 полугодие анкетирование;
тесты – задания, срезовые работы.
3. Итоговая
диагностика анкетирование
олимпиады
викторины
тесты – задания, срезовые работы.
МОНИТОРИНГ КАЧЕСТВА РЕЗУЛЬТАТОВ
Объект Критерии Показатели Диагностический
инструментарий
Обучающийся Уровень
сформированности
способностей.
Уровень сформированости познавательного интереса
Умение решать задачи повышенной сложности.
Наблюдение, срезовые работы, олимпиады.
Методика «Познавательный интерес» Г.И.Щукиной в виде анкетирования.
Обучающийся Уровень
сформированности
творческого мышления у детей.
Умение выдвигать нестандартные и интересные решения и их доказывать.
Наблюдение, тесты, викторины, конкурсы.
Примечание:
Высокий– умение решать задачи высокого уровня сложности, выдвигать нестандартные решения и доказывать их.
Средний – умение решать задачи повышенной сложности.
Низкий – умение решать стандартные задачи, по образцу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ.
Математика (дополнительные главы) / Е.В. Смыкалова СПб:СМИО Пресс, 2001
Математика под редакцией Ф.Ф.Лысенко Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад 5-8 классы Часть I / Е.Г.Коннова Ростов на Дону 2009
Математика под редакцией Ф.Ф.Лысенко Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад 6-9 классы Часть II / Е.Г.Коннова Ростов на Дону 2009
Математические кружки 5- 8 классы / А.В.Фарков Москва 2007
Сказки и подсказки (задачи для занятий математического кружка) / Е.Г. Козлова Москва МЦНМО 2004
Как решают нестандартные задачи / А.Я.Канель — Белов Москва МЦНМО 2004
Подготовка школьников по олимпиадам по математике 5-6 классы / Г.И.Григорьева Москва 2009
Математические олимпиады 5-6 классы /А.В. Фарков Москва 2009
Сборник задач московских математических олимпиад 6 – 9 класс / Г.Н. Зубелевич Москва 1989
Алгебра в таблицах 7-11 класс / Л.И.Звавич, А.Р.Рязанский Москва 2003
Математика в ребусах, чайнвордах, криптограммах 7 класс / Л.М.Худодатова Москва 2002
Районные олимпиады школьников. Математика 8-11 класс /А.П.Тонких «Дрофа» 2009
Замечательные линии и точки в треугольнике 9 класс / Ю.В.Михеев ЮФМЛ Ханты-Мансийск 2008
Квадратичная функция 9 класс /В.П.Чуваков ЮФМЛ Ханты-Мансийск 2008
Варианты заданий по математике / В.В.Ню ЮФМЛ Ханты-Мансийск 2008
Все задачи «Кенгуру» / Санкт – Петербург 2005
Математические олимпиады школьников 9 класс / «Просвещение» Москва 1997
Математические олимпиады школьников 10 класс / «Просвещение» Москва 1998
Математические олимпиады школьников 9 класс / «Просвещение» Москва 1999
Математика. Интенсив. Выпускные, ЕГЭ, вступительные экзамены / А.Н.Рурукин Москва 2004
Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в ВУЗ / В.С.Крамор Москва 2000
Математика. Скорая помощь абитуриентам. / О.Ю.Черкасов «Московский лицей»
Математика на устном экзамене. Пособие для поступающих с повышенными требованиями. / О.С.Игудисман «Московский лицей» 1995
Математика. Всероссийские олимпиады / Н.Х. Агаханов «Просвещение» 2008
Факультативный курс по математике. Решение задач. /И.Ф. Шарыгин «Просвещение», 1989
Математика для школьников старших классов / И. Ф. Шарыгин «Дрофа» 1995
Сборник задач по математике для поступающих во втузы под ред. М. И. Сканави / Москва 1997
Алгебра и математический анализ 10 класс. Углубленное изучение./ Н.Я.Виленкин и др. «Просвещение» 1995
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ПЕДАГОГА.
Методика обучения учащихся стереометрии посредством решения задач./ В.А. Далингер. Омск Издательство ОмГПУ 2001
Планиметрические задачи на построение. / В.А. Далингер Омск Издательство ОмГПУ 1999
Обучение учащихся доказательству теорем. / В.А. Далингер Омск Издательство ОмГПУ 2002
Начала математического анализа. / В.А. Далингер. Омск Издательство ОмГПУ 2002
Задачи с модулями. / В.А. Далингер Омск Издательство ОмГПУ 2010
Задачи в целых числах / В.А. Далингер Омск Издательство ОмГПУ 2010
Математика 7-8 классы. Задания для подготовки к олимпиадам. / Ю.В. Лепехин
Волгоград 2010
Сборник задач по математике для поступающих во втузы под ред. М. И. Сканави / Москва 1997
Математика. Решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности: основные методы и приемы. 9 - 11 классы / М.А. Куканов «Учитель» Волгоград 2009
Приложение
МАТЕРИАЛ
ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ
и решения
с критериями оценивания