Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Основы тригонометрии». СПО 2 курс

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области
«Воронежский политехнический техникум»
(ГБПОУ ВО «ВПТ»)
РАССМОТРЕНО
на заседании цикловой комиссии
математических, естественно-научных дисциплин
Протокол от «___»_______ 201___ г.
№ ___ УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по учебной
работе
_________ Т.И. Агафонова
«____»____________ 20_____ г.
Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Основы тригонометрии».
по дисциплине Математика
19.02.10 Технология продукции общественного питания
23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
Разработал: ______преподаватель Л. Н. Ткаченко
Председатель
цикловой комиссии: _________ В.В. Солманова2016 г.
Пояснительная записка
В условиях реализации государственных образовательных стандартов нового поколения внеаудиторная нагрузка является обязательной формой работы для каждого студента и подлежит контролю и оцениванию со стороны преподавателя. Новизна требования образовательных стандартов для студентов состоит в том, чтобы сформировать желание и умение учиться и самосовершенствоваться, развиваться всю жизнь, работать в команде. В основе самостоятельной работы студента должен лежать деятельностный подход. Он заключается в том, что бы учащиеся получали не только готовые знания, но и добывали их сами, осознавая при этом содержание и формы своей учебной деятельности. Данные подходы развивают творческий потенциал личности и способствуют приобретению собственного опыта деятельности, способности адекватного принятия решения в условиях выбора. Вам будут предложены разнообразные формы работы:
работа с источниками информации, с современными средствами коммуникации;
решение познавательных и практических задач, отражающих типичные ситуации;
Методичка содержит основные вопросы теории по изучаемому разделу математики, примеры решения задач, контрольные вопросы по данному разделу для систематизации материала, а также задачи для самостоятельного решения.
Основы тригонометрии
Радианная мера угла. Тригонометрические функции числового аргумента.
Определение. Углом в один радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу.
Формула перехода от градусного измерения к радианному: .
Пример 1. Найти радианную меру угла, равного .
Решение.
Подставив в формулу вместо заданное значение, получим: .
Формула перехода от радианного измерения к градусному:
.
Пример 2. Найти градусную меру угла, равного .
Решение.
Подставив в формулу вместо заданное значение, получим: .
Определение. Абсцисса точки числовой единичной окружности, в которую перейдет конец начального радиуса при повороте на угол , называется косинусом числа . Обозначение: .
Определение. Ордината точки числовой единичной окружности, в которую перейдет конец начального радиуса при повороте на угол , называется синусом числа . Обозначение: .
Определение. Отношение синуса к косинусу называется тангенсом числа : .
Определение. Отношение косинуса к синусу называется котангенсом числа : .
Для синуса и косинуса областью определения является вся числовая прямая, т. к. угол поворота начального радиуса может быть каким угодно. Областью значений этих функций является отрезок [-1;1], т. к. координаты точек окружности единичного радиуса не превосходят единицу по модулю.
Для тангенса областью определения являются все значения числовой прямой, в которых косинус не равен нулю, т. е. все точки, кроме Для котангенса исключаются из числовой прямой точки, в которых синус равен нулю, т.е.
Область значения тангенса и котангенса ограничений не имеет.
Границы координатных четвертей в градусах и радианах.
I II III IV
Градусы
Радианы
Знаки функций по четвертям:
+
+
_ + _ +
_ _ _
+ + _

Четность и нечетность тригонометрических функций.
Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными. Для них справедливы следующие равенства:
, , .
Косинус является четной функцией, поэтому .
Таблица значений тригонометрических функций
0
sin 0 1 0
cos 1 0 -1
tg 0 1 _ -1 0
ctg _ 1 0 -1 _
Тригонометрические тождества
2 3
4 5 6
Пример 3. Найти и , если
Решение.
Выразим из формулы , получим ,
так как угол принадлежит второй четверти, а косинус во второй четверти принимает отрицательные значения.
Отсюда имеем . Так как , то

Пример 4. Упростить выражение: .
Решение.
Применим формулу квадрата суммы, приняв за первое слагаемое , а за второе - : =. Из формулы следует, что выражение в скобках равно 1, т.е.
=.
Пример 5. Упростить выражение: .
Решение.
Из тригонометрических тождеств следует: ,
, . Подставим полученные выражения в условие: =.
2. Основные тригонометрические формулы
Формулы двойного аргумента

или , или

Формулы сложения
5

6

Формулы суммы и разности



4
Формулы половинного аргумента
, 2 ,
3 , ,
Формулы приведения
С помощью формул приведения тригонометрическую функцию любого аргумента можно представить в виде функции острого угла, записав аргумент как сумму или разность двух углов, первый из которых представляет собой одну из границ координатных четвертей, а торой является острым.
Если граница выражена целым количеством числа (), функция сохраняет название. А если граница четвертей представлена дробным числом (), название функции меняется на противоположное ( на «кофункцию»), например, синус на косинус, тангенс на котангенс острого угла. Знак новой функции определяется по функции, стоящей в условии.
Пример 6.
Решение.
Так как граница представлена дробью, название функции изменено на «кофункцию», т.е. синус на косинус.

является углом IV четверти. Синус в этой четверти принимает отрицательные значения. Следовательно, новая функция будет также принимать отрицательное значение.
Пример 7.
Решение.
Так как граница представлена целым количеством , название функции сохраняется. является углом IV четверти. Тангенс в этой четверти принимает отрицательное значение.
Пример 8. Упростить .
Решение.
Так как , а , получим
.
Пример 9. Упростить .
Решение.
Применим к числителю формулы сложения: =
.
Пример 10. Вычислить , если .
Решение.
По формулам двойного аргумента имеем: . Отсюда подставив в формулу значение синуса, получим: .
Пример 11. Определить знак выражения .
Решение.
По формулам приведения имеем:
1);
2) ;
3) .
Подставив данные функции в условие и зная, что в первой координатной четверти все функции принимают положительные значения, получим: = =
Преобразования графиков тригонометрических функций.
1 Параллельный перенос
1.1 Для построения графика функции
,
где - постоянное число, надо перенести график функции на вектор вдоль оси ординат.
Рассмотрим функцию
.
Здесь график функции

параллельным переносом смещается вдоль оси ординат на вектор (0;2), т. е. на два единичных отрезка вверх.
Для функции

график функции

параллельным переносом смещается вдоль оси ординат на вектор (0;-3), т. е. на три единичных отрезка вниз.
1.2 График функции

получается из графика функции

переносом воль оси абсцисс на вектор (а;0). Если а положительное, то вектор направлен в положительном направлении, а при отрицательном значении а – в отрицательном.
Рассмотрим функцию
.
В этом случае график функции

параллельным переносом смещается вдоль оси абсцисс на вектор , т. е. на вправо. График функции

получается смещением графика функции

вдоль оси абсцисс на вектор (), т. е. на влево.
2 Деформация
2.1 Для построения графика функции

надо растянуть график функции

в k раз вдоль оси ординат.
Рассмотрим функцию
.
Здесь график функции

растягивается вдоль оси ординат в три раза. Поэтому областью значений функции будет отрезок . Точки графика функции
,
лежащие на оси абсцисс свое положение не изменят.Для функции

график функции

растянется в 0,5 раза, т. е. сожмется в два раза вдоль оси ординат.
2.2 Для построения графика функции

надо подвергнуть график функции

растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс.
Рассмотрим функцию
.
В этом случае график функции

растягивается в два раза вдоль оси абсцисс. Не меняет свое положение только точка с координатами (0;0).
Для функции

график функции

растягивается в раза, т. е. сжимается в два раза. Точка с координатами (0;1) не меняет свое положение.
Таким образом, при деформации вдоль оси абсцисс не меняет свое положение точка графика, лежащая на оси ординат.
Тригонометрические уравнения.
Теорема о корне
Если функция убывает или возрастает на некотором промежутке, и число а - любое из значений, принимаемых функций на этом промежутке, то уравнение

имеет единственный корень в этом промежутке.
1. Уравнение .
Если , уравнение не имеет решений, так как для любого х .Пусть .
Определение. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а .

Если , то формула корня имеет вид
( 1 )Если а =1, то
( 2 )Если а = -1, то
( 3 )Если а = 0, то
( 4 )Пример 1. Решить уравнение .
Решение.

Так как , то
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
, то есть
Выразим переменную х : ,
.
2. Уравнение .
Данное уравнение не имеет решений, если , так как область значений функции синуса принадлежит отрезку .
Определение. Арксинусом числа а называют такое число из отрезка ,синус которого равен а.

Общее решение уравнения принято записывать в виде формулы
( 5 )Если а = -1, то ( 6 )
Если а = 1, то ( 7 )
Если а = 0, то ( 8 )
Пример 3. Решить уравнение .
Решение.
По формуле ( 5 ) имеем, следовательно,
.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение.
По формуле (5) .
Так как , то или .
Выразим х: , .
3. Уравнение ,
При любом значении а данные уравнения имеют единственное решение.
Определение. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала , тангенс которого равен а.
; .
Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала , котангенс которого равен а .Для уравнения корень находят по формуле
(9)
Для уравнения корень находим по формуле
(10)
Пример 5. Решить уравнение .
Решение.
По формуле (9) имеем
или ,
откуда
или .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение.
По формуле (10) имеем или .
Уравнение, являющееся квадратным относительно одной тригонометрической функции, решается сначала как квадратное, а затем сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения.
Пример 7. Решить уравнение .
Решение.
Обозначим , получим уравнение . Найдем корни данного уравнения:
и .
Таким образом исходное уравнение сводится к решению двух простейших уравнений: и . Первое уравнение решения не имеет, учитывая область значений функции . Решая второе, получим: или .
Пример 8. Решить уравнение .
Решение.
Заменим на . Получим уравнение или
Обозначим , получим уравнение . Найдем корни данного уравнения:
и .
Таким образом исходное уравнение сводится к решению двух простейших уравнений: и . Из первого уравнения . Решая второе, получим: .
Тригонометрические неравенства.
Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится к решению простейших неравенств вида

и т.д.
Рассмотрим на примерах способы их решения.
Пример 7. Решим неравенство .
Решение.
Следовательно, все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство нестрогое, концы дуги входят в промежуток решения. Точка лежит на правой полуокружности, ее ордината равна , поэтому в качестве х можно взять значение .
Совершая обход дуги против часовой стрелки от точки к , легко увидеть, что и, следовательно, .
Значит, решением данного неравенства является отрезок , , учитывая периодичность функции.
Пример 8. Решим неравенство .
Решение.
Следовательно, все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство строгое, концы дуги не входят в промежуток решения. Точка
лежат на правой полуокружности, ее ордината равна , поэтому в качестве х можно взять значение .
Совершая обход дуги по часовой стрелке от точки к , легко увидеть, что и, следовательно, .
Учитывая периодичность функции, решением данного неравенства является интервал , .
Пример 9. Решим неравенство .
Решение.
Все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют абсциссы, меньшие . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство строгое, концы дуги не входят в промежуток решения. Точка лежит в верхней полуплоскости, ее абсцисса равна , следовательно, .
Совершая обход дуги против часовой стрелки от точки к , легко увидеть, что , следовательно, .
Учитывая периодичность функции, решением данного неравенства является интервал .
Пример 10. Решим неравенство .
Решение.
Период тангенса равен , поэтому все решения данного неравенства будут принадлежать промежутку . Проведем линию тангенсов, параллельную оси ординат и проходящую через точку с абсциссой. Проведем луч из начала координат в первой четверти, если а положительное и в четвертой, если отрицательное. Этот луч ограничит дугу, содержащую все точки, удовлетворяющие данному неравенству. Пусть
а =1. Тогда неравенство примет вид . Точка принадлежит дуге, следовательно, .
Т. к. неравенство нестрогое, эта точка принадлежит решению неравенства. С другой стороны, т. к. , следуя по дуге по часовой стрелке, увидим, что другой конец промежутка, содержащего решения, ограничен областью определения функции, а именно значением . Поэтому решением данного неравенства является промежуток
.
Контрольные вопросы
Дать определение тригонометрических функций.
Указать области определения и области значений каждой функции.
Записать основные тригонометрические формулы.
Таблица значений тригонометрических функций.
Четность и нечетность тригонометрических функций.
Записать границы координатных четвертей в градусах и радианах.
Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?
Перечислить виды преобразований графиков функций.
В чем заключается параллельный перенос графиков тригонометрических функций вдоль координатных осей.
В чем заключается деформация графиков тригонометрических функций вдоль координатных осей.
Сформулируйте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.
Сформулируйте свойство четности и нечетности обратных тригонометрических функций.
Перечислите формулы для решения тригонометрических уравнений вида , , , .
Домашнее задание/задание для самостоятельной работы:
1 А. Н. Колмогоров. стр. 224, 232, 238, 259
№ 1. Выполнить задания:
№ 1.
Упростить:

Вычислить , если .
Преобразовать в произведение .
Упростить:
№ 2.
Упростить:

Вычислить , если .
Преобразовать в произведение .
Упростить:

№ 3.
Упростить:

Вычислить , если .
Преобразовать в произведение .
Упростить:
№ 4.
Упростить:

Вычислить , если .
Преобразовать в произведение .
Упростить:

2. Построить графики функций:1) , 2), 3), 4) , 5) , 6) , 7) .
3. Решите уравнение:
№ 136. а) cosx=22, б) cosx=-12.
№ 137. а) 2cosx+3=0, б) 2cosx-1=0.
№ 138. а) sinx=12, б) sinx=-32.
№ 139. а) 2sinx+1=0, б) 2sinx+3=0.
№ 141. а) tgx+3=0, б) ctgx+1=0.
№ 144. а) sin-x3=22, б) tg(-4x)=13.
№ 146. а) cosπ6-2x=-1, б) sinπ3-x4=3.
№ 164. а) 2sin2x+sinx-1=0, б)3sin2x-5sinx-2=0.
№ 165. а) 6cos2x+cosx+1=0, б)cos2x+3sinx=3.
4. Решите неравенство:
№ 154. а) sinx≥22, б) sinx<-32.
№ 155. а) cosx≥-12, б) cosx<22.
№ 158. а) sinx2<12, б) cosx3>32.
№ 159. а) 2sinπ4+x2≥1, б) 2cos2x+π3≤1.
5. Н. В. Богомолов. Сборник задач по математике. Среднее профессиональное образование.
Вычислить:
№ 148. 1) arcsin0,7880, 2) arccos0,9063, 3) arctg2,145.
№ 149. 1) arcsin1+arccos1+arctg1+arcctg1,
2) arcsin0+arcsin1+arcsin-1,
6) arcsin-12+arccos-22+arctg0.
№ 150. 1) sinarcsin-32+arctg3,
3) cos2arcsin22-arctg3