Презентация по математике на тему Быстрый счет

В помощь арифметике.Выполнила: ученица 8 класса Б МАОУ СОШ № 21 г. Балаково Алексеева АнастасияУчитель: Рыженкова Татьяна Николаевна Арифметика зачастую не в силах собственными средствами строго доказать правильность некоторых из её утверждений. Ей приходится в таких случаях прибегать к обобщающим приёмам алгебры. К подобным арифметическим положениям, обосновываемым алгебраически, принадлежат, например, многие правила сокращённого выполнения действий , любопытные особенности некоторых чисел, признаки делимости и др. Мгновенное умножениеВычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 988² выполняется так: 988·988=(988 + 12) · (988 – 12) + 12²= 1000 · 976 + 144= 976 144 Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием: a²= a²- b²+ b²= (a + b) (a - b) + b² На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок. Например: 27²=(27 + 3) · (27 – 3) + 3² = 379 63²= 66· 60 +3²= 3969 Далее, умножение 986·977 выполняется так: 986·977 = (986-3) ·1000+3·14=983 042 На чём основан этот приём? Представим множитель в виде (1000-14)·(1000-3) и перемножим эти двучлены по правилам алгебры: 1000·1000-1000·14-1000·3+14·3 Делаем преобразования: 1000··(1000-14)-1000·3+14·3=1000·986-1000·3+14·3+1000·(986- 3)+14·3. 3)+14·3. Последняя строка и изображает приём вычислителя. Цифры 1,5, и 6 Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятёркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестёркой, также оканчивается шестёркой.Например, 46²=2116; 46³=97 336. Эту любопытную особенность цифр 1,5 и 6 можно обосновать алгебраическим путём. Рассмотрим её для 6.Числа, оканчивающиеся шестёркой, изображаются как:10a+6,10b+6 и т.д., где a и b- целые числа.как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.Тот же приём доказательств можно приложить к 1 и к 5.сказанное даёт нам право утверждать, что, например,386³ оканчивается на 6815² оканчивается на 5491³ оканчивается на 1
r Числа 25 и 78Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1,5 и 6. это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью- число 76. всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково: 100a +76, 100b+ 76 и т. д. Перемножим два числа этого вида; получим :10 000ab+7600b+7600a+5776= 10 000ab+7600 b +5700+76=100·(100 ab +76b +76 a +57)+76.Положение доказана: произведение будет оканчиваться числом 76.Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:376²=141 376,576³ +191 102 976 и т.п. Теорема Софии Жермен.Составные числа.Вот задача, предложенная французским математиком Софией Жермен.Доказать, что каждое число вида a⁴+4 есть составное (если a не равно 1).Решение Доказательство вытекает из следующих преобразований: a⁴+4 = a⁴+4 a²+4-4a²=(a²+2)²-4a²=(a²+2)²-(2a)²=(a²+2-2a)(a²+2+2a).Число a²+4 может быть, как мы убеждаемся, представлено в виде произведения двух множителей, не равных ему самому и единице, иными словами, оно - составное.Составное число- это натуральное число, большее 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, бо́льших 1. Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей , причём единственным способом (с точностью до порядка множителей). Спасибо за внимание!