Презентация по геометрии на тему Решение систем линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы

Реферат по алгебре и началам анализа Решение систем линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы. Содержание: Определение матрицыОпределители матрицыСпособы нахождения определителяСвойства определителяТеорема КрамераРешение систем линейных уравнений методом КрамераОбратная матрицаРешение систем линейных уравнений методом обратной матрицы Матрицы и определители.Определение 1. Матрицей размера (типа) тхп называется таблица чисел Величины aij, стоящие в строках и столбцах матрицы, называются элементами матрицы; это могут быть числа, переменные, функции и пр. При двух-индексном обозначении элементов aij первый индекс i указывает номер строки,а второй индекс j указывает номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Определение 2. Квадратной матрицей п-ого порядка называется матрица размера пхп: Например, квадратная матрица второго порядка имеет следующий вид Определители матриц (Детерминанты) Способ нахождения № 1: Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле Определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Данная формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу: Пример 1. Определение 4. Число называется определителем третьего порядка, соответствующим матрице Пример 2. Решение: Способ нахождения № 2 Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы.Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей. Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить,пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка. Свойства определителей. 1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами. Пример 3. 2. Если поменять местами в определителе какие-либо две строки (два столбца), то определитель изменит свой знак на противоположный Пример 4. 3. Если какая-либо строка (столбец) содержит общий множитель для всех ее (его) элементов, то этот множитель можно вынести за знак определителя. Пример 5. 4. Если какая-либо строка (столбец) определителя целиком состоит из нулей, то такой определитель равен нулю. Пример 6. 5. Определитель, содержащий две одинаковых строки (два одинаковых столбца), равен нулю. Пример 7. 6. Если элементы одной строки (одного столбца определителя) соответственно пропорциональны элементам другой строки (другого столбца) этого определителя, то такой определитель равен нулю Пример 8. (В этом определителе элементы третьей строки могут быть получены из элементов второй строки умножением на два.) Решение систем двух и трёх линейных уравнений методом Крамера. Решение: Ответ: (1;2). Пусть дана система трех линейных уравнений: Обозначим (3) Решение: Обратная матрица Решение систем двух и трёх линейных уравнений методом обратной матрицы. Обратная матрица для матрицы обозначается Таким образом, если существует, то . Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и где  -- алгебраические дополнения к элементам . Пример 1.   Найдите обратную матрицу для матрицы Решение. Находим определитель Так как то матрица -- невырожденная, и обратная для нее существует Находим алгебраические дополнения: Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй  строке: Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы. А11= (-1)1+1 = 3 А12= (-1)1+2 = -6 А13= (-1)1+3 = 3 А21= (-1)2+1 = -4 А22= (-1)2+2 = 2 А23= (-1)2+3 = -1 А31= (-1)3+1 = 2 А32= (-1)3+2 = -1 А33= (-1)3+3 = -4 Найдём алгебраические дополнения Ответ: Х1=4, Х2=3, Х3=5.